Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

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1 setor Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES E OREM A [a ] det(a) a ETERMINANTES E OREM a a (produto dos elementos da diagonal secundária) a A a a a a a a a a a a a 3 4 a a (produto dos elementos da diagonal principal) Exercícios Calcule: a) 9 3 Resposta: ETERMINANTES E OREM 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a a 3 a a 3 a 3 a a a 33 a 3 a a 3 Os determinantes podem ser definidos a partir de permutações dos índices das colunas no produto a a a a nn. No entanto, para obtê-los, usaremos métodos mais práticos que serão apresentados nesta e nas próximas aulas. REGRA PRÁTICA E SARRUS (apenas para determinantes de ordem 3): na direção da diagonal secundária: a 3 a a 3 a 3 a 3 a a 33 a a a a a a a 3 a a a 3 a a a 3 a 3 a 33 a 3 a 3 b) senx cosx cosx senx sen x cos x Resposta: 3 c) Resposta: 0 na direção da diagonal principal: a a a 33 a a 3 a 3 a 3 a a 3 ALFA ANGLO VESTIBULARES

2 . Mostre que a equação x 0 m x 0 admite raízes reais, para qualquer constante real m. x 0 m mx x 0 0 x (m )x m 0 [ (m )] 4m (m ) 4m m m 4m (m ) Para todo real m, temos 0 (c.q.d) ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Leia o item, cap.. Leia os exemplos a 5, cap.. Resolva os exercícios a 3, série. Resolva os exercícios 4 a 7, série. Resolva o exercício 0, série. Aula 40 ETERMINANTES: TEOREMA E LAPLACE MENOR COMPLEMENTAR Seja A uma matriz de ordem n, n e seja a ij um elemento qualquer de A. Eliminando a linha i e a coluna j de a ij obtemos uma matriz de ordem n, cujo determinante ij é chamado de menor complementar de a ij. 0 Considerando a matriz A e os menores complementares dos elementos da sua primeira linha, temos 3 5,, 3 e, portanto, , e 3 4. COFATOR Sendo a ij um elemento qualquer de uma matriz A de ordem n, n, chamamos de cofator (ou complemento algébrico) de a ij ao produto A ij ( ) i j ij. Considerando os cofatores dos elementos da ª linha, no exemplo acima, temos: A ( ) ()(6) 6 A ( ) ( )( ) A 3 ( ) 3 3 ()( 4) 4 TEOREMA E LAPLACE O determinante de uma matriz de ordem n, n, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos seus respectivos cofatores. Escolhendo a ª- linha no exemplo anterior, temos: det(a) a A a A a 3 A 3 det(a) 6 0 ( 4) det(a) 8 Exercícios 0. O valor do determinante 0 3 é a) 5 b) 5 c) 4 d) 4 e) ALFA ANGLO VESTIBULARES

3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 0 (9 3) (3 ) (6 3 ) ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Leia os itens e 3, cap.. Leia os exemplos 6 a 0, cap.. Resolva os exercícios 6 e 7(d), série. Resolva o exercício 7(a, b, c), série. Resolva o exercício 8, série. 0. O determinante 0 igual a: a) b) c) 0 d) e) ( ) ( ) 4 3 ( 3) ( 3 4) ALFA ANGLO VESTIBULARES

4 Aula 4 ETERMINANTES: PROPRIEAES Sendo A, B e C matrizes quadradas de ordem n, e k uma constante, temos as seguintes propriedades: condição propriedade exemplo B A t (transposta de A) P: det(b) det(a) A e B A t det(b) det(a) B é obtida de A, P: multiplicando-se uma det(b) k det(a) 0 0 A e B fila de A por um det(a) e det(b) 0 det(a) 0 número k. B k A P3: det(b) k n 0 0 det(a) A e B det(a) e det(b) 0 det(a) 00 B é obtida de A, P4: permutando-se duas det(b) det(a) 3 4 A e B 3 4 fila paralelas. det(a) e det(b) det(a) Há, em A, duas filas paralelas iguais. P5: det(a) 0 A det(a) P6: (teorema de Binet): det(a B) det(a) det(b) A, B e AB det(a), det(b) 3 e det(ab) 6 c: A, B e C diferem em, P7: no máximo, uma fila k. c: nesta fila k, cada det(c) det(a) det(b) A, B, C elemento c ij é igual a (diferem apenas na ª coluna) a ij b ij. det(c) det(a) det(b) 6 8 Todos os elementos de P8: A situados abaixo ou acima det(a) a a... a nn e da diagonal principal são nulos. é o produto dos elementos da diagonal principal. ALFA ANGLO VESTIBULARES

5 Exercícios a d g. Sabendo que b e h c f i Calcule: a 3d g b 3e h c 3f i ( 6) a 3d g b 3e h c 3f i a d g 3( ) b e h c f i 3. Sendo A uma matriz de ordem 3 e deta 4, calcule: a) det(a ) b) det(a) a) det (A ) det (A A) det A det A (det A) 4 6 b) det(a) ordem 3 A: as 3 linhas de A ficam multiplicadas por. det (A): de cada uma das 3 linhas sai um em evidência. Assim: det (A) 3 det A det (A) 8 4 det (A) 3 a d a d. O determinante b e b e vale: c f c f a) 0 b) c) a b d) a b c e) n.r.a. a d a a d d b e e b e b c f c c f f ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Leia o item 4, cap.. Resolva os exercícios 5, 7 e 0, série. Resolva os exercícios, 4, 8 e 9, série. ALFA ANGLO VESTIBULARES

6 Aula 4 ETERMINANTES: TEOREMA E JACOBI TEOREMA E JACOBI Exemplo : Exemplo : e Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se somarmos a uma fila qualquer de A um múltiplo de uma outra fila paralela, obtemos uma matriz B, cujo determinante é igual ao de A, isto é, det(b) det(a) NOTA ( ) ( ) () Assim, por exemplo, temos , pois (7, 8, 9) (4, 5, 6) ( ) (,, 3) Exercícios. Calcule o determinante: Se, numa matriz quadrada, uma fila for igual a uma soma de múltiplos de outras filas paralelas, então seu determinante é nulo. ( ) () ( 3) () 7 3 ( 4 ) 6. Resolvendo a equação na incógnita x, temos: x a a a x x a a x x x a x x x x a) {0} b) {0, a} c) {0, a} d) {a} e) {0, a, a} 0 x a a a x x a a x x x a x x x x x a a a 0 x a x a x a 0 0 x a x a x a 0 x a 0 0 x ( ) x a x a 0 0 x a x a x a x (x a) 3 0 x 0 ou x a S {0, a} 0 ( ) ALFA ANGLO VESTIBULARES

7 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Resolva os exercícios 34 e 35, série. Leia o item 5, cap.. Resolva os exercícios 30 e 33, série. Aula 43 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A A A I n onde I n é a matriz identidade de ordem n. OBSERVAÇÃO Pode-se provar que: º-) Se A A I, então A A I. º-) A é invertível se, e somente se, deta 0. 3º-) det A Exercícios. eterminar x de modo que a matriz A 0 x 3 0 evemos ter det A 0 0 x 3 0 x 3 0 x 9 x 9 0 det A seja invertível.. Obtenha a matriz inversa da matriz: A 0 I det A ( A ) II seja A a b c d A A a b I 0 c d a c b d 0 c d 0 a c b d 0 c 0 c 0 d d a 0 a b 0 b Resposta: A ALFA ANGLO VESTIBULARES

8 3. Seja A 5 x. O valor de x tal que det A é: 3 3 x a) d) 4 b) e) 0 c) 3 det A det A x x det A 5 x x ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Leia os itens a 5, cap. 3. Resolva os exercícios a 5, série 3. Resolva os exercícios, 6 e 8, série 3. Assim: x 5 3x 4x 6 x 4 Aula 44 SISTEMAS LINEARES: APRESENTAÇÃO E REGRA E CRAMER SISTEMA LINEAR Tratemos, agora, dos sistemas de m equações a n incógnitas x, x,... x n, da forma a x a x... a n x n b a x a x... a n x n b.. a m x a m x... a mn x n b m em que a ij, i m, j n são constantes chamadas de coeficientes e b i são constantes chamadas de termos independentes. Nestas aulas, consideraremos que incógnitas e constantes sejam números reais, embora toda a teoria a ser vista também seja válida com números complexos. Consideraremos, também, que as incógnitas estejam numa mesma ordem nas equações. a reação química dada por xh yo zh O, temos x z e y z. Temos o sistema linear de duas equações e três incógnitas x 0y z 0 30x y z 0 SOLUÇÃO E UM SISTEMA LINEAR Um conjunto ordenado de números (k, k,... k n ) será uma solução do sistema se, e somente se, substituindo x por k, x por k,... e x n por k n, nas m equações, obtivermos todas as igualdades verificadas. exemplo: Note que (0, 0, 0) e (,, ) são soluções de x 0y z 0. 30x y z 0 Na verdade, esse sistema admite infinitas soluções e todas elas são da forma (α, α, α). Podemos afirmar que o conjunto solução desse sistema é {(α, α, α)}, em que α IR. CLASSIFICAÇÃO E UM SISTEMA Levando em conta o número de soluções, temos a seguinte classificação de sistemas: determinado possível sistema indeterminado impossível um sistema possível e determinado (spd) admite uma única solução ALFA ANGLO VESTIBULARES

9 um sistema possível e indeterminado (spi) admite mais que uma solução um sistema impossível (si) não admite solução Exemplos: x y z 5 a) O sistema y z 0 é possível e determinado; seu z conjunto solução é {(5,, )}. x y z 0 b) O sistema y z 0 é possível e determinado; seu z 0 conjunto solução é ((0, 0, 0)). x y z 5 c) O sistema é possível e indeterminado; seu y z 0 conjunto solução é {(5, α, α)}. x y z 5 d) O sistema y z 0 é impossível, seu conjunto solução é y z. SISTEMAS LINEARES HOMOGÊNEOS Um sistema linear em que os termos independentes b i são todos nulos é chamado de sistema linear homogêneo. Note que estes sistemas são, em todos os casos, possíveis, pois admitem a solução (0, 0,..., 0). REPRESENTAÇÃO MATRICIAL Todo sistema linear de m equações a n incógnitas pode ser expresso na forma A m n X n B m, em que A é a matriz dos coeficientes, X é a matriz das incógnitas e B é matriz dos termos independentes. O sistema 0 x y z 5 y z 0 x y z 5 0 pode ser representado por TEOREMA Um sistema linear de n equações a n incógnitas é possível e determinado se, e somente se, o determinante da matriz A (dos seus coeficientes) é diferente de zero. Note que, nesse caso, temos: A X B A (A X) A B (A A) X A B I X A B X A B Obs.: Se o determinante de A for igual a zero, haverá necessidade de mais um estudo, pois teremos dois casos possíveis: º: o sistema é possível e indeterminado; º: o sistema é impossível. A REGRA E CRAMER (Caso Particular) ax by r r Considere o sistema, a coluna e os determinantes: cx dy s s a b c d ad bc r b x rd sb (a coluna de x foi substituída) s d a r y sa rc (a coluna de y foi substituída) c s Se 0, o sistema é possível e determinado, e x ey x y. Justificativa: Multiplicando, membro a membro, a primeira equação por d e a segunda por b, temos adx bdy rd bcx bdy sb Subtraindo membro a membro resulta a equação (ad bc)x rd sb, isto é, x x. Sendo 0, temos x x. o sistema dado, temos, multiplicando, membro a membro, a primeira equação por c e a segunda por a, acx bcy rc acx ady sa Subtraindo membro a membro, resulta a equação (ad bc)y sa rc, isto é, y y. Sendo 0, temos y y. REGRA E CRAMER Seja o determinante da matriz A dos coeficientes de um sistema linear de n equações a n incógnitas x, x,... x n. O sistema será possível e determinado se, e somente se, 0 e, nesse caso, cada incógnita é dada por x, em i que i é o determinante da matriz obtida de A pela substituição da i a coluna pela coluna dos termos independentes. ALFA ANGLO VESTIBULARES

10 Exercícios. Resolver, aplicando a regra de Cramer: x y x 3y 3z x z x y 3 4 z x Logo, x y y z z S {(,, )} 3. Resolver pela Regra de Cramer: 3 ax y b bx y a a b a b b x b a (a b) a a b y a b (a b)(a b) b a x (a b) x a b y (a b) (a b) y a b a b S {(, a b)} (a b). Para que valores de m o sistema: mx 3y 7 4x y 9 é possível e determinado? a) m 3 d) m 6 b) m 3 e) m, m IR c) m 6 evemos ter: 0 m m 0 m 6 ORIENTAÇÃO E ESTUO Livro Unidade IV Leia os itens,, 3, 5 e 6, cap. 4. Resolva os exercícios, e (a), série 4. Resolva os exercícios (c, d) e, série 4. ALFA ANGLO VESTIBULARES