2. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz

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Ilda Barateiro Lameira
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1 1 Projeto Jovem Nota (Uff 2000) Numa progressão aritmética, de termo geral aš e razão r, tem-se a=r=1/2. Calcule o determinante da matriz mostrada na figura adiante. 2. (Ufrj 2003) Os números reais a, b, c e d formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule o determinante da matriz Justifique. 3. (Ita 2005) Sejam A e B matrizes 2 x 2 tais que AB = BA e que satisfazem à equação matricial A + 2AB - B = 0. Se B é inversível, mostre que (a) AB = B A e que (b) A é inversível 4. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d números reais não-nulos. Exprima o valor do determinante da matriz na forma de um produto de números reais.

2 2 Projeto Jovem Nota (Ita 2004) Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A = A. II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a Œ = 0, para todo i, j = 1,..., n, com i j. Determine as matrizes quadradas de ordem 3 que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. 6. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17. Considere o determinante de ordem 3 abaixo: Demonstre que esse determinante é divisível por (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (a Œ) Ö, tal que a Œ = 2, se i < j a Œ = 3i + j, se i µ j, encontre o DETERMINANTE da matriz A. 8. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação encontramos 3 raízes reais. Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.

3 9. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes Calcule: a) o determinante da matriz (B - A). b) a matriz inversa da matriz (B - A). 10.(Unesp 2004) Considere a matriz a) Determine todos os números reais para os quais se tem det (A - I) = 0, onde I é a matriz identidade de ordem 3. b) Tomando = - 2, dê todas as soluções do sistema ý(6 - ) x - 3y = 0 þ- 3x + (6 - ) y = 0 ÿx - y + (2 - ) z = 0

4 11.(Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde Com base na fórmula p(x) = det A, determine: a) o peso médio de uma criança de 5 anos; b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg. 12.(Unesp 2006) Sejam matrizes reais. a) Calcule o determinante de A, det(a), em função de x e y, e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x,y) que satisfazem a inequação det(a) det(b). b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.

5 13. (Unicamp 2000) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear a seguir: ý x + y + z = + 2 þ x + y + z = + 2 ÿ x + y + z = + 2 a) Ache as raízes da equação: deta=0. b) Ache a solução geral desse sistema para = (Unicamp 2003) Seja a um número real e seja: a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0. b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.

6 15.(Unifesp 2002) Considere a matriz mostrada na figura adiante, onde x varia no conjunto dos números reais. Calcule: a) o determinante da matriz A; b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante. 16.(Ufsc 2005) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) O par ordenado (x, y) = (5, 2) é a única solução do sistema da figura 1. (02) A matriz A = (a Œ)Öƒ, tal que a Œ = i -3j é A = [ ]. (04) A soma dos elementos da inversa da matriz da figura 2 é igual a 2. (08) Uma matriz quadrada A se diz anti-simétrica se A = -A, sendo A a transposta da matriz A. Nessas condições pode-se afirmar que a matriz da figura 3 é anti-simétrica. (16) Se as matrizes P, Q e R são escolhidas entre as listadas na figura 4, para que PQ - R seja uma matriz nula, o valor de x deve ser 2. A e B são matrizes quadradas de ordem 2 tais que A = 5B. Nestas condições pode-se afirmar que det(a) = 5 det(b), sendo que det(a) e det(b) designam, respectivamente, os determinantes das matrizes A e B.

7 17. (Ufsc 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) Uma pequena indústria produz três tipos de produto que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada produto e o faturamento bruto da empresa em três meses consecutivos são os dados na tabela abaixo. Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser, respectivamente, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00. (figura 1) (02) Se um sistema de equações é indeterminado, então não se pode encontrar solução para ele. (04) A solução da equação (figura 2) é x = 1. (8) A matriz (figura 3) não possui inversa. 18.(Ufpr 2001) Dadas as matrizes é correto afirmar: (01) O determinante de A nunca é negativo, qualquer que seja o valor de x. (02) A - B = - A (04) Sempre que o valor de x está no intervalo aberto (0, /2), a matriz A tem inversa. (08) A matriz A. B é a transposta de A. Soma ( )

8 19.(Ufpr 2002) Para cada número x, considere as matrizes A e B mostradas na figura adiante. Então, é correto afirmar: (04) Existe número real x tal que det A = det B. (08) Existe número real x tal que A é inversa de B. (16) O número complexo 1 + i é raiz da equação det A = 0. (32) (det A)(det B) é um polinômio cujas raízes têm soma igual a 3. Soma ( )

9 20. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). (01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48. (02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem. (4) A soma das raízes da equação (08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas. (16) O sistema ý3x - 2y = 0 þ é indeterminado. ÿx + y = 0 Soma ( )

10 GABARITO Projeto Jovem Nota det M = Como a, b, c, d estão em PA, então, para algum número real n, temos b = a + n, c = a + 2n, d = a + 3n. Portanto, deta = e ò ¾ - e ò ¾ = a) Se B é inversível, temos: AB = BA Ì AB. B = BA. B Ì A = BA. B Ì B. A = B. BA. B Ì B. A = A. B c.q.d. b) Como A e B comutam, tem-se: A + 2AB - B = 0 Ì B = A(A +2B) Aplicando determinantes em ambos os membros, obtemos: det B = det [ A (A+2B) ] Ì det B = det A. det (A+2B) Como B é inversível, det B = k, k 0. Supondo que A não é inversível, isto é, det A = 0, temos: k = 0. det (A+2B) Ì k = 0 O que é uma contradição, pois k 0. Portanto, A é inversível. c.q.d. 4. (b - a) (c - a) (d - a) (c - b) (d - b) (d - c)

11 5. Ver figura de resolução. Projeto Jovem Nota det = det = 136 det = é divisível por det (A ) = ; 2 + Ë7 e 2 - Ë7 9. a) 50 b) 10. a) = 2 ou = 3 ou = 9 b) S = { (0, 0, 0) } 11. a) 18 kg b) 11 anos

12 12.a) det(a) = y 4x Projeto Jovem Nota 10 b) x = 1 e y = a) 1 e - 2 b) V = {( ; ; )} Æ R 14. a) 3; 1-2i; 1 + 2i b) {a Æ IR - 3 < a 5} 15. a) det A = sen x. cos x + 8 b) valor máximo = 8,5 valor mínimo = 7, = proposições corretas: 04 e 08 proposições incorretas: 01 e = =

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