AULA 10 FUNÇÃO COMPOSTA. x x + 2 >0 EXERCÍCIOS DE SALA MATEMÁTICA A1. Resolução: Determinando as somas: f(x) + g(x) = x 2x 3 x 1. f(x) + g(x) = x x 4

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1 MATEMÁTICA A AULA 0 FUNÇÃO COMPOSTA Sejam as unções : A B e g: B C, chama-se unção composta de g com à unção h: A C tal que h() = g[()] = g o (). Determinando as somas: () + g() = () + g() = e g() - () = + g() - () = + Analisando as proposições:. Falsa, pois () + g() é uma parábola e por tanto possui dois zeros.. Verdadeira, pois a,b[,] se a < b tem-se h(a) < h(b) onde h() = () + g().. Verdadeira, pois sendo g() () = + >0 para qualquer que pertence ao intervalo (0,).. Falsa, pois (og)(0) = (g(0)) = (-) = 0 (go)(0) = g((0)) = g(-) = - R: Alternativa a EXERCÍCIOS DE SALA 0) Sejam e g duas unções reais tais que () = e g() =. Então a unção (og)() é igual a: a) b) + c) d) + e) - Resolução R: Alternativa c (og)() (g()) (og)() ( ) (og)() ( ) (og)() (og)() 0) (UFPR) Considere as airmativas abaio a respeito das unções () e g(), com R: 0) (ACAFE) Dadas as unções reais () = - 6 e g() = a + b, se [g()] = + 8, o valor de a + b, é: a) 0 b) c) d) 0 e) 8 R: Alternativa b g 8 g 6 8 g 67 Mas, g ab Então : ab 0) O gráico abaio representa a unção (), deinida no intervalo [, ].. A unção () + g() tem eatamente três zeros.. A unção () + g() é crescente no intervalo [,].. A unção g() () é positiva no intervalo aberto (0,).. Quando = 0, tem-se (og)() = (go)(). Assinale a alternativa correta. a) Somente as airmativas e são verdadeiras. b) Somente as airmativas e são verdadeiras. c) Somente as airmativas e são verdadeiras. d) Somente as airmativas e são verdadeiras. e) Somente as airmativas e são verdadeiras. Considerando que g() = ( ), assinale o que or correto.

2 MATEMÁTICA A 0. g() + g() = 0. g() = 0. (g()) = 08. g((0)) = 0 Analisando o gráico 0. g 0 g g g verdadeira 0. g verdadeira g 0 g verdadeira 0 g 0 g 0 verdadeira REGRA PRÁTICA Dada uma unção bijetora : A B a sua unção inversa será a unção : B A, cuja sentença é assim obtida: Soma: AULA º) substituí-se na sentença de, "" por "y" e "y" por "". º) isola-se "y" num dos membros, Obtendo-se (). FUNÇÃO INVERSA DEFINIÇÃO Seja : A B uma unção. Se eistir uma unção g: B A tal que: g g Dizemos que g : B A é a unção inversa de e se indica por. EXERCÍCIOS DE SALA 0) (UDESC) Seja () uma unção com domínio sobre a reta real. A unção que epressa a inversa de é: a) b) () c) () d) () e) () TEOREMA Se a unção : A B admite inversa então, necessariamente a unção e bijetora. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Os gráicos de e são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (º e º). + () = y + = = y + - = y - =y - - () = Resposta: a

3 MATEMÁTICA A 0) Determine a unção inversa da unção :IR IR deinida por e construa os gráicos das duas unções em um mesmo sistema de reerências. () y y 0) (UDESC) Se : IR {} IR {a} deinida por () é inversível, então, o valor de a é: a) b) c) d) 0 e) () y Trocando por y e y por : y (y ) y () Assim, 0. R: Alternativa d EXERCÍCIOS-TAREFA AULAS 0 e 0) Sejam as unções reais e g tais que () = + e g() = -. O valor da epressão [() + g()] é igual a: a) 0 b) c) - d) e) - g g g Resposta: d 0) Considere as unções reais e g tais que () = + e g() = -. O valor de 0 g() é: a) b) c) d) e) g g 0 g F(0) g 0 g Resposta: c 0) Sejam as unções reais e g tais que () = + e g() = -. O valor da epressão [(g()) + g(())] é igual a: a) 0 b) c) - d) 0 e) g g g g g g g g g g Resposta: b 0) Considere as unções reais e g tais que () = + e g() = -. A unção (g 0 )() é deinida como sendo: a) + b) + c) - d) + e) + g g g g 6 g Resposta: e 0) Se ( + ) = +, então () é igual a: a) b) c) 6 d) e) 8 6 Resposta: c

4 MATEMÁTICA A 06) A unção : IR IR é tal que (8) = (). Se (8) = 6, então () vale: a) 6 b) c) 8 d) e) Resposta: b 07) Seja : IR IR uma unção tal que ( +) =. Então (a) é: a) a b) a + c) - a d) a e) a y y- y Resposta: d y y y y y y a a 08) Se e g são unções de IR em IR tais que () = - e (g()) = -, então: a) g b) g c) g d) g e) g g g g Alternativa b 09) (UDESC) Considere as unções e g de IR em IR deinidas por: e g a) 8 b) 6 c) 7 d) e) -8 6,, se 0 se 0, se 0, se 0 Calcule g 6 g 7 Resposta: c g. 0) (UDESC) A unção é tal que ( + ) = +. Nessas condições, ( + ), é igual a: a) 9 b) c) d) e) y y y y y y 9 y y 9 y y y Resposta: a Então: ) Uma unção de variável real satisaz à condição ( + ) = () + (), qualquer que seja o valor da variável. Sabendo que () =, podemos concluir que () é igual a: a) b) c) d) e) 0

5 MATEMÁTICA A ( +) = () + () = () = () () () () () () () () () () () R: Alternativa C. ) (UFSC) Seja uma unção polinomial do primeiro grau, decrescente, tal que () = e (()) =. Determine a abscissa do ponto onde o gráico de corta o eio. Se a unção é de primeiro grau e decrescente, então: ab Como ab b a R: 0 a ab b a abb Mas, b a então : a a a a a a 0 Resolvendo a equação: a' = - ou a" = (nãoserve) Logo :b Assim : (), que corta o eio em 0 ) (UDESC) Sejam as unções e g dadas por e g ; portanto, o valor a) b) c) 0 d) e) numérico de g g é: g( ) (g( )) () ( ) ( ) g(( )) g( ) (g( )) g(( )) ( ) 0 R: Alternativa C. ) Os gráicos das unções reais deinidas por () = e g()= k, k > 0, se interceptam num ponto de abscissa. O valor de (g(k)) é: g k gp,y g g k g 8 k 8 k g P,8 k g ) Os valores positivos de a e b, sabendo que () () = + e que () = a +b são respectivamente: a) e b) e c) e d) e e) e / () () a b a(a b) b aabb aabb a a a bb b b R: Alternativa E. 6) (ACAFE) Sendo :IR IR, deinida por, todas as alternativas estão corretas, eceto. a) () é uma unção crescente. b) O valor de (0) é igual a. c) A unção inversa de é dada por. d) O gráico () é uma reta que intercepta o eio OX no ponto (,0). e) () é positiva para () y y y () (). R: Alternativa D. 7) Consideremos a unção inversível cujo gráico é visto abaio. A lei que deine a) y = + / b) y = - / é:

6 MATEMÁTICA A c) y = (/) - d) y = (/) + e) y = - - / P(0,) P(,) Na inversa : P(,0) P(,) a b 0 () ab a b a a b () R: Alternativa C. 8) A unção inversa de uma unção cujos pares são (, y) é uma outra unção em que os pares são invertidos, isto é, da original passa a ser y e viceversa. Encontre a unção inversa de y. a) y b) y c) y d) y e) y y y y.y y y y y y Logo: y 0. Verdadeira y y 0 y 0, 0. Falsa, é uma unção decrescente pois a< Verdadeira g g Verdadeira 6. Verdadeira y y y. Verdadeira g g g g g g 6. Falsa. v b v a 0 v 0 V 0, a 0... Resposta: (VFVVVVF) 6. Img y / y 9) (UFSC) Sejam e g unções de R em R deinidas por: () = - + e g() =. Determine a soma dos números associados à(s) proposição (ões) VERDADEIRA(S). 0. A reta que representa a unção intercepta o eio das ordenadas em (0,). 0. é uma unção crescente. 0. e + são os zeros da unção g. 08. Im(g) = {y R / y -}. 6. A unção inversa da é deinida por ().. O valor de g (()) é. 6. O vértice do gráico de g é o ponto (0,0). 6

7 MATEMÁTICA A 0) (UFSC) Sendo : IR IR deinida por () y, determine a soma dos números associados às airmativas VERDADEIRAS. 0. O gráico de () é uma reta. 0. () é uma unção injetora. 0. Sua inversa é. 08. () é uma unção par. 6. O valor de () é igual a.. () é uma unção bijetora. 0. Falsa. 0. Verdadeira. Como injetora. 0. Verdadeira. y y y.y y.y y y y 08. Falsa. 6. Verdadeira. Verdadeira. a unção é Como Im e o CD a unção é sobrejetora. Como a unção é injetora, a unção é bijetora. Resposta: (FVVFVV). 0) D 0) C 0) B 0) E 0) C 06) B 07) D 08) B 09) C 0) A ) C ) 0 ) C ) ) E 6) D 7) C 8) E 9) 6 0) GABARITO AULAS 0 e 7