Exercícios Funções Exponenciais e Logarítmicas

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1 Eercícios Funções Eponenciais e Logarítmicas. (Udesc ) Considere a função 5 f(). Sejam (a,a,a,...) uma progressão aritmética de razão e f(a ). Analise as proposições. 8 I. a5 57 II. A soma dos primeiros termos da progressão aritmética é 5. III. f(a 5) IV. (f(a ),f(a ),f(a ),...) é uma progressão geométrica de razão 6. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. d) Somente as afirmativas III e IV são verdadeiras. e) Todas as afirmativas são verdadeiras.. (Ufsc ) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). ) O domínio da função f dada por f() é + { ; }. ) O único valor inteiro que pertence à solução da inequação + < é. ) O conjunto solução da equação modular é S {}.,se < 8) A função R(),se é crescente em,se > todo o seu domínio. 6) Se uma função f : é simultaneamente par e ímpar, então f(). ) Os gráficos das funções f : e g:, 6) dadas respectivamente por f() e g(), para todo real, se intersectam em eatamente um único ponto. para todo real.. (Mackenzie ) Seja f : + + uma função tal que f( + y) f( ) f( y) para quaisquer + e y. + a) b) c) Se f 8, o valor de f é ( ) 6 Página d) e). (Ufpr ) Uma pizza a 85 C foi retirada de um forno quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir 65 C será possível segurar um de seus pedaços com as mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do tempo t, em,8 t minutos, pela epressão T Qual o tempo necessário para que se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas, sem se queimar? a),5 minutos. b),68 minutos. c),5 minutos. d) 6,6 minutos. e), minutos. 5. (Unicamp ) A altura (em metros) de um arbusto em uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser epressa pela função h(t),5+ log (t+ ), onde o tempo t é dado em anos. a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de,5 m para,5 m? b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de desenvolvimento, tem sua altura epressa pela função composta g(t) h(t+ ). Verifique que a diferença g(t) h(t) é uma constante, isto é, não depende de t. 6. (Pucrs ) O modelo da cobertura que está sendo colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura abaio. Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque pode ser considerada uma restrição da representação da função dada por a) y log() b) y c) y d) y e) y

2 7. (Ufrn ) A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos. Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo matemático, at N k, com t em horas e N em milhares de microorganismos. Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t horas e t 8 horas. Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto, nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) 8.. b) 6.. c).. d).. 8. (Pucrs ) A desintegração de uma substância radioativa é um fenômeno químico modelado pela k t fórmula q, onde q representa a quantidade de substância radioativa (em gramas) eistente no instante t (em horas). Quando o tempo t é igual a, horas, a quantidade eistente q vale 5. Então, o valor da constante k é a) 5 5 b) c) 5 d) e) 9. (Espm ) Em 997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva no interior do país, dando origem a uma pequena cidade. Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido segundo a P,+ log 996, onde P é a população função ( ) no ano, em milhares de habitantes. Considerando,, podemos concluir que a população dessa cidade atingiu a marca dos 6 habitantes em meados do ano: a) 5 b) c) d) 7 e). (Uem ) Considere a seguinte função f() cujo domínio é conjunto dos números reais. Com relação a essa função, assinale o que for correto. ) O mínimo da função f ocorre em. ) O conjunto solução da inequação f () < é S < <. ) Para, tem-se logf(). 8) O conjunto solução da inequação f () > 8 é + S < ou >. 6) log f () não eiste.. (Unioeste ) O Saccharomyces cerevisiae é um fungo com bastante importância econômica. É utilizado como fermento para a massa de pão, produzindo dióido de carbono e fazendo a massa crescer. É também utilizado na produção de bebidas alcoólicas fermentadas, pois converte o açúcar em álcool etílico. Sob certas condições de cultura, este fungo cresce eponencialmente de forma que a quantidade presente em um instante t dobra a cada,5 horas. Nestas condições, se colocarmos uma quantidade q deste fungo em um meio de cultura, a quantidade q(t) eistente do fungo, decorridas t horas com t [, ), pode ser calculada pela função q t q. a) ( ) t q t t q + q. 9 b) ( ) c) ( ) q t q. d) ( ) t q t q. e) ( ) t q t q.. (Ucs ) Um modelo matemático para determinar o número de bactérias em determinado objeto é a função definida por N( t) 5 t, em que t é o tempo, em horas, a partir da observação inicial. Segundo esse modelo, o tempo, em horas, para que a quantidade de bactérias no objeto atinja 7., é dado por um número pertencente ao intervalo a) [99, ]. b) [, ]. c) [6, 7]. Página

3 d) [, ]. e) [, ].. (Ufpr ) Um grupo de cientistas decidiu utilizar o seguinte modelo logístico, bastante conhecido por matemáticos e biólogos, para estimar o número de pássaros, P(t), de determinada espécie numa área de 5 proteção ambiental: P(t), t + sendo t o tempo em anos e t o momento em que o estudo foi iniciado. a) Em quanto tempo a população chegará a indivíduos? b) À medida que o tempo t aumenta, o número de pássaros dessa espécie se aproima de qual valor? Justifique sua resposta.. (Uftm ) A população P de um país no ano t pode ser estimada através da função t P(t) m n, para n. Sabendo-se que a população atual desse país é de 5, milhões de habitantes, e que sua taa anual de crescimento é de %, então, m n é igual a a), 6. b),5 6. c), 7. d),5 7. e), (Ufpe ) Em uma aula de Biologia, os alunos devem observar uma cultura de bactérias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a população final e a população inicial. Antônio observa a cultura de bactérias por minutos e informa um valor Q. Iniciando a observação no mesmo instante que Antônio, Beatriz deve dar sua informação após hora, mas, sabendo que a população de bactérias kt obedece à equação P( t) P e, Beatriz deduz que encontrará uma potência do valor informado por Antônio. Qual é o epoente dessa potência? 6. (Ufpr ) Uma quantia inicial de R$., foi investida em uma aplicação financeira que rende juros de 6%, compostos anualmente. Qual é, aproimadamente, o tempo necessário para que essa quantia dobre? (Use log (,6),8.) população havia sido reduzida à quarta parte da população inicial. Com estes dados, podemos afirmar que o valor da constante de eficácia deste produto é igual a a) 5 b) 5 c) d) e) Solução Funções Eponenciais e Logarítmicas Resposta da questão : [B] Sendo f(a ) e a o primeiro termo da progressão 8 aritmética (a,a,a, K ) de razão igual a, vem a 5 a 5 8 a. Assim, o termo de ordem n da progressão aritmética (a,a,a, K ) é an + (n ) n. [I] Verdadeira. Tem-se a [II] Falsa. De fato, sendo S a soma dos primeiros termos da progressão aritmética (a,a,a, K ), vem + S 76. [III] Verdadeira. Como a5 5, temos 5 5 f(a ) f(). 7. (Espce (Aman) ) Na pesquisa e desenvolvimento de uma nova linha de defensivos agrícolas, constatou-se que a ação do produto sobre a população de insetos em uma lavoura pode ser kt descrita pela epressão N( t) N, sendo N a população no início do tratamento, N(t), a população após t dias de tratamento e k uma constante, que descreve a eficácia do produto. Dados de campo mostraram que, após dez dias de aplicação, a [IV] Verdadeira. Devemos mostrar que para todo n. Com efeito, n ((n + ) ) 5 6n f(a n+ ) 6. f(a ) (n ) 5 6n 9 f(a n+ ) 6 f(a ) n Página

4 Resposta da questão : [] Incorreto. Lembrando que uma função está bem definida apenas quando se conhece o seu domínio, o contradomínio e a lei de associação, vamos supor que a proposição seja: O maior subconjunto dos números reais para o qual a função f, dada por definida é { ; }. Desse modo, < ou + f(), está + e, portanto, o maior subconjunto dos números reais para o qual a função f está definida é { ;< ou }. [] Correto. Tem-se + < ( ) ( ) < < <. Portanto, a única solução inteira da inequação + < é. [] Incorreto. Sabendo que a b a± b, vem ± ( ) 5 ou. g apresentam pelo menos um ponto de interseção no intervalo, (esboce os gráficos para concluir que eiste um único ponto nesse intervalo). [6] Incorreto. Suponhamos por absurdo que, para todo real. Nesse caso, teríamos ( ), o que obviamente vale apenas para. Na verdade, real. Resposta da questão : [A], para todo Se f(+ y) f() f(y) para quaisquer + e y +, então f() a (a> ). Assim, f() 8 implica em a 8 e, portanto, f 8 6. Resposta da questão : [C],8t,8t,8t T 6 + 5,8t ,8 t,8t t,5 minutos Por conseguinte, 5 S,. Resposta da questão 5: a) O valor de t para o qual se tem h(t),5 é [8] Incorreto. A função f é decrescente para <. [6] Correto. Se f é simultaneamente par e ímpar, então f( ) f() e f( ) f(), para todo real. Daí, segue-se que f() f( ) para todo real. [] Incorreto. Como f() g(), segue-se que o ponto (,) é comum aos gráficos de f e de g. Além disso, há pelo menos mais um ponto de interseção no intervalo,. Com efeito, note que f é decrescente e g é crescente para ],[. Logo, sendo f( ) > g( ) e f < g, segue que os gráficos de f e de,5,5+ log (t+ ) t. Para h(t),5, obtemos,5,5+ log (t+ ) t+ t. Portanto, serão necessários anos para que a altura aumente de,5m para,5m. b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma g(t) h(t+ ),5+ log (t+ + ),5+ log (t+ ),5+ log+ log (t+ ) + h(t). Página

5 Por conseguinte, g(t) h(t) + h(t) h(t), para todo t. Resposta da questão 6: [A] Resposta da questão 9: Queremos calcular o valor de para o qual se tem P,6. Assim,,5,6,+ log ( 996) ,, ou seja, a cidade atingiu a marca dos 6 habitantes em meados de 7. Resposta da questão : () Falso. f(), o mínimo da função ocorre para b vértice vértice ( ) vértice a (). O gráfico da função y log() é o que mais se aproima da curva considerada. Resposta da questão 7: Do gráfico, temos a (,) k k () Verdadeiro. f() < < < Calculando as raízes, obtemos:. Estudando os sinais da função, temos: e a (, ) a a. t Logo, N(t) e, portanto, se o modelo estiver correto, o aumento na quantidade de microorganismos entre t e t 8 horas deve ter sido de N(8) N() 6.. Resposta da questão 8: Para t,h sabe-se que q 5g. Logo, k,,k 5,k k. Logo, S < < () Verdadeiro. Para, tem-se log f() log log. (8) Verdadeiro. f() > 8 > 8 > 5> Calculando as raízes, obtemos: + 5. Estudando os sinais da função, temos: Página 5

6 6 decimal. Desse modo, m 5, e n +,,. Portanto, o resultado pedido é: 6 5, 6 7 5,5., Resposta da questão 5: 6. + Logo, S < ou > (6) Falso. () () log f() log log Resposta da questão : [E] q(t) q k q q q(t) q k k k Logo, t q(t) q. Resposta da questão : Queremos calcular o valor de t para o qual N(t) 7. Logo, t t 5 7. Portanto, como t ],[. t 8< < 6 < <, segue que Resposta da questão : a) Para t? temos P(t) Portanto: 5 t 5 t 5 t t t + + A população de bactérias após minutos é dada por k P() P e, supondo t em minutos. Logo, P() k e Q. P Após 6 minutos, a população de bactérias é dada k 6 por P(6) P e. Portanto, P(6) 6k k 6 6 e (e ) Q. P() Resposta da questão 6: Cálculo de Juros Compostos M montante t C capital M C(+ i) onde i taa t tempo Portanto: t t t (+,6),6 log,6 log t(,8) t,9 anos Resposta da questão 7: [B] De acordo com as informações, vem N k k N k 5. t b) Para t muito grande, o valor tende a ser ; 5 logo, P(t) será dado por P(t) 5. Portanto, + o número de pássaros dessa espécie se aproima a 5. Resposta da questão : t Na lei P(t) m n, temos que m é a população inicial (para t ) e n + i é o fator de crescimento, sendo i a taa de crescimento na forma Página 6