Cônicas. 2. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação. x y 4y 0 e a. y 4 x.

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1 Cônicas 1. (Espcex (Aman) 014) Sobre a curva 9x + 5y 6x + 50y 164 = 0, assinale a alternativa correta. a) Seu centro é (,1). b) A medida do seu eixo maior é 5. c) A medida do seu eixo menor é 9. d) A distância focal é 4. e) Sua excentricidade é 0,8.. (Fuvest 014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana parábola α de equação y 4 x. a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com α. x y 4y 0 e a b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola α. Indique, no seu desenho, o conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x.. (Uem 01) Sobre a cônica de equação x 4y 9, assinale o que for correto. 01) Trata-se de uma elipse. 0) A cônica intercepta o eixo das abscissas em (,0) e (,0). 04) Se A e B são pontos da cônica que não são colineares com os focos D e E da cônica, os triângulos ADE e BDE possuem o mesmo perímetro. 08) A circunferência centrada na origem e de raio tangencia essa cônica. 1 16) O ponto, pertence à cônica. Página 1 de 17

2 4. (Ufpe 01) A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y x 8x 1 e y x 4x. Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. ( ) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas (1, 6). ( ) O vértice da parábola A é o ponto (4,). ( ) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y x 6. ( ) A distância entre os vértices das parábolas A e B é 10. ( ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, ). 5. (Epcar (Afa) 01) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação x 9y 8x 54y 88 0 é correto afirmar que a) tem raio igual a 1. b) tangencia o eixo das abscissas. c) é secante ao eixo das ordenadas. d) intercepta a reta de equação 4x y (Unesp 01) Os pontos A e C são intersecções de duas cônicas dadas pelas equações x y 7 e y x 1, como mostra a figura fora de escala. Sabendo que tomando o ponto B0, 7, determine a medida aproximada do ângulo tg 49 e ˆ ABC, em graus. 7. (Fgv 01) Sendo m o maior valor real que x pode assumir na equação analítica (x ) 4(y 5) 6, e n o maior valor real que y pode assumir nessa mesma equação, então, m n é igual a a) 8. b) 7. c) 6. d) 4. e). Página de 17

3 x y 8. (Udesc 01) A área delimitada por uma elipse cuja equação é 1 é dada por a b A ab π. Então, a área da região situada entre as elipses de equações 16x 5y 400 e 16x 9y 144 é: a) 1π u.a. b) 0π u.a. c) 8π u.a. d) 56π u.a. e) π u.a. 9. (Ufrn 01) Um arquiteto projetou, para um salão de dimensões m por 18 m, um teto de gesso em formato de elipse com o eixo maior medindo 0 m e o eixo menor, 16 m, conforme ilustra a figura abaixo. O aplicador do gesso afirmou que saberia desenhar a elipse, desde que o arquiteto informasse as posições dos focos. Para orientar o aplicador do gesso, o arquiteto informou que, na direção do eixo maior, a distância entre cada foco e a parede mais próxima é de a) m. b) 4 m. c) 5 m. d) 6 m. 10. (Uftm 01) Os pontos P e Q estão na parábola dada por y = 4x + 7x 1, e a origem do sistema de coordenadas cartesianas está no ponto médio de PQ. Sendo assim, P e Q são pontos que estão na reta 15x a) y. b) y 7x. 1x c) y. d) y 6x. e) 11x y. Página de 17

4 11. (Uepb 01) Deseja-se construir uma praça em forma de elipse em um terreno retangular de dimensões x metros e y metros, com x y, de perímetro 00 m e área 5000 m, conforme nos mostra a figura. Estando previstas as instalações de duas torres de iluminação, uma em cada foco da elipse, F1 e F, local de melhor distribuição e aproveitamento das mesmas, concluímos que a distância em metros entre as torres é a) 100 b) 5 c) 50 d) 40 e) 0 1. (Espcex (Aman) 01) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação 9x y 6x 8y 11 é dada por a) duas retas concorrentes. b) uma circunferência. c) uma elipse. d) uma parábola. e) uma hipérbole. 1. (Espcex (Aman) 01) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica, conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como unidade, a elipse é descrita pela x y equação 1. Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em lados do 6 60 retângulo MNPQ. Assim, a distância entre as retas MN e PQ é a) 48 m b) 68 m c) 84 m d) 9 m e) 96 m Página 4 de 17

5 14. (Ufpb 011) A secretaria de infraestrutura de um município contratou um arquiteto para fazer o projeto de uma praça. Na figura a seguir, está o esboço do projeto proposto pelo arquiteto: uma praça em formato retangular medindo 80 m x 10 m, onde deverá ser construído um jardim em forma de elipse na parte central. Estão destacados na figura os segmentos AC e BD que são, respectivamente, o eixo maior e o menor da elipse, bem como os pontos F 1 e F, que são os focos da elipse onde deverão ser colocados dois postes de iluminação. Com base nessas informações, conclui-se que a distância entre os postes de iluminação será, aproximadamente, de: a) 68 m b) 7 m c) 76 m d) 80 m e) 84 m 15. (Ime 010) Uma hipérbole de excentricidade tem centro na origem e passa pelo ponto 5,1. A equação de uma reta tangente a esta hipérbole e paralela a y x é: a) y x 6 b) y x c) y 6x d) y x 4 e) y x 16. (Uft 010) Considere IR o conjunto dos números reais e b IR. Encontre os valores de b, tais que no plano cartesiano xy, a reta y = x + b intercepta a elipse ponto. A soma dos valores de b é: a) 0 b) c) 5 d) 5 e) 5 x 4 y 1em um único Página 5 de 17

6 17. (Unesp 010) A figura mostra a representação de algumas das ruas de nossas cidades. Essas ruas possuem calçadas de 1,5 m de largura, separadas por uma pista de 7 m de largura. Vamos admitir que: I. os postes de iluminação projetam sobre a rua uma área iluminada na forma de uma elipse de excentricidade 0,94; II. o centro dessa elipse encontra-se verticalmente abaixo da lâmpada, no meio da rua; III. o eixo menor da elipse, perpendicular à calçada, tem exatamente a largura da rua (calçadas e pista). Se desejarmos que as elipses de luz se tangenciem nas extremidades dos eixos maiores, a distância, em metros, entre dois postes consecutivos deverá ser de aproximadamente: Dado: 0,94 0,889 e 0,111 a) 5. b) 0. c) 5. d) 0. e) (Udesc 009) Analise as afirmações dadas a seguir, classifique-as como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A equação x - x + y + y + 1 = 0 representa uma circunferência que é tangente, tanto ao eixo das abscissas quanto ao eixo das ordenadas. ( ) A elipse de equação 9x + 4y = 6 intercepta a hipérbole de equação x - 4y = 4 em apenas dois pontos, que são os vértices da hipérbole. ( ) O semieixo maior da elipse 9x + 4y = 6 é paralelo ao eixo real da hipérbole x - 4y = 4. Assinale a alternativa que contém a sequência correta, de cima para baixo. a) V - V - V b) V - V - F c) F - V - F d) F - F - V e) V - F - F 19. (Ita 008) Dada a cônica ë: x - y = 1, qual das retas abaixo é perpendicular à ë no ponto P = (, )? a) y = x 1 b) y = x c) y = x 1 d) y = - x 7 e) y = - 5 x 4 Página 6 de 17

7 0. (Unesp 008) Suponha que um planeta P descreva uma órbita elíptica em torno de uma estrela O, de modo que, considerando um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, sendo a estrela O a origem do sistema, a órbita possa ser descrita aproximadamente pela x y equação = 1, com x e y em milhões de quilômetros A figura representa a estrela O, a órbita descrita pelo planeta e sua posição no instante em que o ângulo PÔA mede 4 π. A distância, em milhões de km, do planeta P à estrela O, no instante representado na figura, é: a) 5. b) 10. c) 5. d) 10. e) Página 7 de 17

8 Gabarito: Resposta da questão 1: [E] 9x + 5y 6x + 50y 164 = 0 9(x 4x + 4) + 5(y + y + 1) = (x ) + 5(y + 1) = 5 (x ) (y 1) Equação de uma elipse com centro no ponto (, 1), eixo maior igual a 10, eixo menor igual a 6, distância focal igual a 8 e excentricidade e = 4/5 = 0,8. Portanto, a afirmação [E] é a verdadeira. Resposta da questão : a) Resolvendo o sistema formado pelas equações de λ e α, obtemos x y 4y 0 x 4 y y 4 x y 5y 4 0 x 4 y y 5y 4 0 x 4 y y 1 ou y 4 (, 1) ou (0, 4). b) Completando os quadrados, obtemos x y 4y 0 (x 0) (y ) 4. Logo, λ possui centro em (0, ) e raio. Por outro lado, a equação canônica de α é y (x 0) 4. Assim, o ponto de máximo do gráfico de α é (0, 4). Além disso, de (a) sabemos que α intersecta λ em (, 1) e (, 1). Portanto, o conjunto dos pontos (x, y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações x y 4y 0 e y 4 x pertencem à região sombreada da figura abaixo. Página 8 de 17

9 Resposta da questão : =. [01] Correto. Reescrevendo a equação, obtemos x y 1, que é a equação de uma elipse centrada na origem, com a e b. [0] Correto. De (01), segue que a elipse intersecta o eixo das abscissas nos pontos (a,0) (,0) e ( a,0) (,0). [04] Correto. Pela definição de elipse, temos AD AE BD BE. Logo, como DE é lado comum, segue o resultado. [08] Incorreto. De [01], sabemos que a elipse intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada y. Por outro lado, a circunferência centrada na origem e de raio intersecta o eixo das ordenadas no ponto de ordenada. Daí, como 1,4 1,5, concluímos que a elipse e a circunferência não se intersectam. [16] Correto. Temos 1 ( ) Resposta da questão 4: V F F F V. Resolvendo o sistema formado pelas equações das parábolas, encontramos: y x 8x 1 x 1 e y 6. y x 4x x 5 e y Logo, os pontos de interseção das parábolas são (1, 6) e (5, ). A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas tem por equação y 6 (x 5) y x 8 x Completando o quadrado, obtemos: ya x 8x 1 (x 4), donde concluímos que o vértice da parábola A é o ponto (4, ) (4, ). Completando o quadrado, vem Página 9 de 17

10 yb x 4x (x ) 7. Daí, segue que o vértice da parábola B é o ponto (, 7). A distância entre os vértices das parábolas A e B é dada por (4 ) [ ( 7)] A parábola B intersecta o eixo das ordenadas no ponto em que x 0, ou seja, (0, ). Resposta da questão 5: [B] x 9y 8x 54y 88 0 x 8x (y 6y + 9) = (x 4) + 9 (y ) = 9 (x 4) (y ) 1 1 Como o eixo maior da elipse mede 6 ( + ), concluímos que a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse possui centro no (4, ) e raio ; portanto, tangente ao eixo x. Resposta da questão 6: Determinando os pontos A e C através da resolução de um sistema com as equações da parábola e da circunferência. x y 7, y x 1 A(,) e C(,) (figura abaixo) Página 10 de 17

11 Considerando, agora, o triângulo CDO: tg α α 49 COD ˆ 41 AOC ˆ 8 AOC ˆ ˆ 8 ABC 41 (ângulo inscrito) Resposta da questão 7: [C] Reescrevendo a equação (x ) 4(y 5) 6, obtemos (x ) (y 5) 1, 6 que é a equação de uma elipse centrada em (, 5), com o semieixo maior paralelo ao eixo das abscissas. Logo, como a 6 e b, temos m 6 8 e n 5. Portanto, m n 8 ( ) 6. Resposta da questão 8: [C] Reescrevendo as equações das elipses, obtemos x y 16x 5y e x y 16x 9y Logo, traçando os gráficos dessas elipses, vem Página 11 de 17

12 e, portanto, a área sombreada é dada por π(5 4 4) 8πu.a. Resposta da questão 9: [C] Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, com origem no ponto médio do segmento F1 F, considere a figura. Temos A 1 ( 10, 0), A (10, 0), B 1 (0, 8), B (0, 8), F 1 ( c, 0) e F (0, c), com c 0. Logo, da relação fundamental da elipse, vem 1 1 B F OF OB 10 c 8 c 6. Portanto, a distância pedida é dada por OP OF m. Página 1 de 17

13 Resposta da questão 10: [B] Considere a figura, com,. Como P(, ) e Q(, ) pertencem ao gráfico da parábola Portanto, a equação da reta que passa por P e Q é dada por: 7 y x x 7x. 1 Resposta da questão 11: [C] Sabendo que o perímetro do terreno mede 00 m e sua área (x y) 00 x y 150 xy 5000 xy 5000 x 100 e y 50 ou. x 50 e y 100 Porém, como x y, segue-se que x 100 e y 50. y 4x 7x 1, segue que 5000 m, temos Daí, sendo OF f, pelo Teorema de Pitágoras, vem Página 1 de 17

14 x y f 50 5 f f 5 f 5 m. Portanto, o resultado é f 5 50 m. Resposta da questão 1: [E] Completando os quadrados, obtemos 9x y 6x 8y 11 9(x 4x) (y 8y) 11 9[(x ) 4] [(y 4) 16] 11 9(x ) (y 4) 9 (x ) (x ) 1, 1 que é a equação de uma hipérbole com eixo real paralelo ao eixo Ox. Resposta da questão 1: [E] Considere a figura. Sejam F 1 e F os focos da elipse. Queremos calcular F 1 F OF 1. Sabendo que F1B 1 60 e OB1 6, da relação fundamental, vem F B OB OF OF 60 6 OF 04 1 OF 48 m. Portanto, OF m. 1 Página 14 de 17

15 Resposta da questão 14: [D] d 0 50 d 1600 d 40m d 80m (distância focal) Resposta da questão 15: [A] c c a (I) a c a b (II). De (I) e (II), temos: a = b, logo a equação da hipérbole será x y a. Substituindo o ponto ( 5,1) na equação acima, temos: 5 1 a a 4. Logo, a equação da hipérbole será dada por: x y 4. Página 15 de 17

16 A equação da reta pedida é da forma y = x + k, já que é paralela à reta y = x. Considerando o sistema equação: x y 4 (I) y x k (II) e substituindo (II) em (I), encontraremos a seguinte x + 4kx + k 4 = 0 que deverá ter o discriminante igual a zero, já que a reta deve ser tangente à circunferência. 4k 4 k k 1K K 48 0 K. Considerando k = e multiplicando a equação + y x por temos a equação y x 6 apresentada alternativa [A]. Resposta da questão 16: [A] Resolvendo um sistema com as equações temos: x ( x b) 4 x x 4 x 5x 4x 16b 1 xb b 8bx 4b 80 8xb 4b Para que a reta seja tangente o delta deverá ser zero. 0-16b + 80 = 0-16b = - 80 b = 5 b= 5 Logo, a soma será 0. Resposta da questão 17: c 0,94 c 0,94a a Página 16 de 17

17 a = 5 + c a = 5 + (0,94a) a = 5 + 0,889a 0,111a = 5 a = 5 0, ,111 a = A distância é ª =.15 = 0m Resposta da questão 18: [B] i) Verdadeira. x x y y 1 0 ( x 1) ( y 1) 1 C(1, 1) e r 1 ii) Verdadeira. 9x 4y 6 (, 0) e (, 0) x 4y 4 x 4 y 1 a 4 a A (, 0) e 1 A (, 0) iii) Falsa. x 4 y 1 a 9 e b 4 A1 A Oy e B1B 9 x y 1 a 4 e b 1 A' 1 A' Ox 4 Portanto, A A A '. 1 ' 1 A Ox Resposta da questão 19: [E] Resposta da questão 0: [B] Página 17 de 17