Engenharia Econômica

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO UFPE CENTRO ACADÊMICO DO AGRESTE NÚCLEO DE TECNOLOGIA ENGENHARIA CIVIL Engenharia Econômica Aula I Professora Jocilene Otilia da Costa, Dra

2 Conteúdo Juros Simples Juros Compostos Descontos

3 INTRODUÇÃO Engenharia Econômica A Matemática Financeira tem base nos conceitos de fluxo monetário, tempo e equivalência financeira Trata-se da relação entre valores financeiros e o tempo a que tais valores estão associados Fluxo monetário Caracteriza-se por conviverem, distribuídos na escala de tempo, entradas e saídas de valores monetários, representando eventos e suas dimensões financeiras

4 Tempo INTRODUÇÃO Não existe valor monetário isoladamente, mas sempre correlacionado a um determinado tempo ou período Um valor monetário nominal hoje é diferente deste mesmo valor nominal daqui a dois anos Na escala de tempo são considerados o momento 0, que pode ser a data de início de um projeto, bem como o tempo final (N), quando finda o projeto

5 Capital INTRODUÇÃO Conjunto de bens à disposição do sistema econômico para uso na capacidade produtiva da natureza e do trabalho humano, expresso em dinheiro Montante Montante é a soma do Capital Inicial com o juro produzido em determinado tempo

6 Taxa de juros INTRODUÇÃO Corresponde ao fator percentual que, aplicado ao valor monetário, resulta na parcela de juros Taxa Nominal Quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital não coincide com aquele a que a taxa está referida 12% ao ano capitalizados mensalmente

7 Taxa Efetiva INTRODUÇÃO Quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida 2% ao mês capitalizados mensalmente Taxa Real Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela inflação do período da operação

8 Engenharia UNIDADE Econômica III Taxas equivalentes INTRODUÇÃO Duas taxas i 1 e i 2 são equivalentes, se aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo período de tempo, através de diferentes sistemas de capitalização, produzem o mesmo montante final S 1 = S 2 P.(1+i 1 ) n1 = P.(1+i 2 ) n2 Afirmar que a taxa nominal de uma aplicação é de 30% a.a. capitalizada mensalmente, significa uma taxa de 2,5% está sendo aplicada mês a mês

9 INTRODUÇÃO Taxas equivalentes A fórmula básica que fornece a equivalência entre duas taxas é: Tabela 1: Situações possíveis com taxas equivalentes Fórmula Taxa Período Np 1+i a = (1+i sem ) 2 i sem semestre 2 1+i a = (1+i quad ) 3 i quad quadrimestre 3 1+i a = (1+i trim ) 4 i trim trimestre 4 1+i a = (1+i mes ) 12 i mes mes 12 1+i a = (1+i quinz ) 24 i quinz quinzena 24 1+i a = (1+i semana ) 52 i semana semana 52 1+i a = (1+i dias ) 365 i dias dia i a = (1+i p ) Np Em que: Np: nº de períodos em 1 ano; i a : taxa anual; I p : taxa ao período.

10 Juros JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Representa a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva Ocorrem de rendimentos de capital ou advindos de empréstimos ou investimentos empresariais Regimes de juros: Simples Composto

11 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Juros simples Somente o Capital rende juros, comportando-se como se fosse uma progressão aritmética (PA) Se n é o número de períodos, i é a taxa unitária ao período e P é o valor principal, então os juros simples são calculados por: j = P.i.n Tabela 1: Exemplo de aplicação do regime de juros simples (i=10%; j=100; P=1.000; n=5) ANO SALDO NO INICIO JUROS APURADOS SALDO AO FINAL CRESCIMENTO ANUAL DE CADA ANO PARA CADA ANO DE ANO DO SALDO

12 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Juros compostos Engenharia Econômica O regime de capitalização composta apresenta um comportamento igual a uma progressão geométrica (PG), crescendo os juros de forma exponencial ao longo do tempo Neste critério os juros se incorporam ao capital ao final de cada período de capitalização, assim sendo no início de cada período tem-se um novo capital

13 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Juros compostos Em juros compostos, o problema principal consiste em calcular o montante (soma) S obtido pela aplicação de um único valor principal P no instante t=0, à taxa i de juros (por período) durante n períodos S n = P.(1+i) n J = P.[(1+i) n 1] Tabela 2: Exemplo de juros compostos (i=10%; P=1.000; n=5) ANO SALDO NO INÍCIO SALDO AO FINAL JUROS APURADOS DE CADA ANO DE ANO PARA CADA ANO , ,00 100, , ,00 110, , ,00 121, , ,10 133, , ,51 146,41

14 JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Equivalência financeira Por equivalência financeira entende-se que fluxos de valores diferentes, com igual número de períodos ou não, podem ter o mesmo valor equivalente Podem ter a mesma resposta financeira

15 DESCONTOS Desconto (D) é a diferença entre o Valor Nominal de um título (N) e o Valor Atual (A) deste mesmo título Tabela 3: Simbologia utilizada no estudo dos descontos Símbolo D A N i n Descrição Desconto realizado sobre o título Valor Atual de um título Valor Nominal de um título Taxa de desconto Número de períodos para o desconto Há dois tipos básicos: descontos comerciais (por fora) ou descontos racionais (por dentro), podendo ser simples ou compostos

16 DESCONTOS Descontos simples são obtidos com cálculos lineares, mas os Descontos compostos são obtidos com cálculos exponenciais Desconto Simples Comercial (por fora) Desconto Simples Racional (por dentro) Desconto Comercial composto (por fora) Desconto Racional composto (por dentro)

17 DESCONTOS Desconto Simples Comercial (por fora) O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Nominal N do título Tabela 4: Comparação entre o cálculo de descontos simples comercial e juros simples Objeto Desconto por fora Objeto Juros simples D D = N i n j j = P i n N Valor Nominal P Principal i Taxa de desconto i Taxa de juros n Número de períodos n Número de períodos O valor atual no desconto por fora é dado por: A = N D = N N.i.n = N.(1 i.n)

18 DESCONTOS Desconto Simples Racional (por dentro) Engenharia Econômica O cálculo deste desconto é análogo ao cálculo dos juros simples, substituindo-se o Capital P na fórmula de juros simples pelo Valor Atual A do título Tabela 5: Comparação entre o cálculo de descontos simples racional e juros simples Objeto Desconto por dentro Objeto Juros simples D D = A i n j j = P i n A Valor Atual P Principal i Taxa de desconto i Taxa de juros n Número de períodos n Número de períodos

19 DESCONTOS Desconto Simples Racional (por dentro) Engenharia Econômica O cálculo do desconto racional é feito sobre o Valor Atual do título, sendo: N = A+D = A+A.i.n O valor atual é dado por:

20 DESCONTOS Desconto Comercial composto (por fora) Engenharia Econômica Este tipo de desconto NÃO é usado no Brasil Também é similar ao cálculo dos Juros compostos, substituindo-se o Principal P pelo Valor Nominal N do título Tabela 6: Comparação entre o cálculo de desconto comercial composto e juros simples Objeto Desconto composto por fora Objeto Juros compostos Fórmula A = N.(1 i) n Fórmula S = P.(1+i) n A Valor Atual P Principal i Taxa de desconto negativa i Taxa de juros n Número de períodos n Número de períodos

21 DESCONTOS Desconto Comercial composto (por fora) Engenharia Econômica Para n=1, o desconto composto por fora funciona como o desconto simples por fora, sendo o valor atual do título com valor nominal N dado por: A 1 = N.(1 i) Para n=2, devemos reaplicar o mesmo processo, substituindo agora N por A 1, para obter A 2, isto é: A 2 = A 1 (1 i) = N(1 i) 2

22 DESCONTOS Desconto Racional composto (por dentro) Engenharia Econômica Por este raciocínio, temos que, para cada número natural n: A n = N.(1 i) n Esta fórmula é semelhante à fórmula S = P(1+i) n para o cálculo do montante composto Este tipo de desconto e muito utilizado no Brasil. Como D = N A e como N = A(1+i) n, então

23 DESCONTOS Desconto Racional composto (por dentro) Engenharia Econômica O melhor estudo que se pode fazer com o desconto racional composto é considerar o Valor Atual A como o capital inicial de uma aplicação e o Valor Nominal N como o montante desta aplicação

24 Valor Presente - VP FLUXO DE CAIXA Valor com o qual fazemos operações financeiras, sendo que este VP se refere ao capital inicial, ou seja na data zero Valor Futuro - VF É o valor presente VP i acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este só pode ser colocado no final VF I i I j VP 1 i n VF j

25 Período de tempo - n FLUXO DE CAIXA Significa o tempo que será usado na operação financeira, mês, ano, bimestre, trimestre, etc Prestação Parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, é função com a qual calcula-se

26 FLUXO DE CAIXA Engenharia Econômica Objeto gráfico com dados sobre Entradas e Saídas de capital, realizadas em certos períodos O fluxo de caixa pode ser apresentado como uma linha horizontal (linha de tempo) com os valores indicados nos respectivos tempos ou na forma de uma tabela com estas mesmas indicações

27 FLUXO DE CAIXA Engenharia Econômica A entrada de dinheiro em um caixa do sistema bancário poderá ser indicada por uma seta para baixo Enquanto que o indivíduo que pagou a conta deverá colocar uma seta para cima A inversão das setas é algo comum e pode ser realizada sem problema

28 FLUXO DE CAIXA Engenharia Econômica Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa são: A escala horizontal representa o tempo (dias, semanas, meses, anos etc) O ponto 0 representa a data inicial. O ponto n representa o número de períodos passados As entradas de dinheiro são os recebimentos. Têm sinal positivo e setas para cima As saídas de dinheiro são os pagamentos. Têm sinal negativo e setas para baixo

29 SÉRIES DE PAGAMENTOS Quanto ao número de prestações Engenharia Econômica Finitas: quando ocorrem durante um período pré-determinado de tempo Infinitas: quando os pagamentos ou recebimentos duram de forma infinita Quanto à periodicidade dos pagamentos Periódicas: os pagamentos ocorrem a intervalos constantes Não-periódicas: os pagamentos acontecem em intervalos irregulares de tempo

30 SÉRIES DE PAGAMENTOS Quanto ao prazo dos pagamentos Engenharia Econômica Postecipadas: as anuidades iniciam após o final do primeiro período Antecipadas: o primeiro pagamento ocorre na entrada, no início da série Quanto ao valor das prestações Uniformes: as prestações são iguais Não-uniformes: ocorrem quando os pagamentos apresentam valores distintos

31 SÉRIES DE PAGAMENTOS Quanto ao primeiro pagamento Engenharia Econômica Diferidas: ou com carência, quando houver um prazo maior que um período entre a data do recebimento e data de pagamento da primeira prestação Não diferidas: quando não existir prazo superior a um período entre o início da operação e o primeiro pagamento ou recebimento

32 SÉRIES DE PAGAMENTOS Séries de pagamento uniformes Engenharia Econômica No sistema de pagamentos de série uniforme há quatro variáveis, que são: P ou S, N, I, R As variáveis encontram-se relacionadas por expressões matemáticas de tal forma que, desde que sejam conhecidas três delas, pode-se calcular a quarta

33 Séries de pagamento uniformes FC genérico de série uniforme VP SÉRIES DE PAGAMENTOS Engenharia Econômica Carência m +1 R = número de pagamentos iguais 0 R = Prestações ou Pagamentos

34 SÉRIES DE PAGAMENTOS Séries de pagamento uniformes Engenharia Econômica

35 SÉRIES DE PAGAMENTOS Séries de pagamento não-uniformes Engenharia Econômica Nem sempre o fluxo financeiro se dá por séries uniformes de pagamentos, ou seja, por valores iguais distribuídos em intervalos de tempos idênticos Nas situações mais comuns do mercado são encontradas séries não uniformes, ou melhor, com valores diferentes colocados em tempos distintos (intervalos irregulares)

36 Exercícios

37 MÉTODOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO DE INVESTIMENTOS A avaliação de projetos de investimentos envolve um conjunto de técnicas que estuda sua viabilidade econômica e financeira Nesta avaliação deve ser estudada a Taxa Mínima de Atratividade Normalmente esta avaliação é feita através de: Payback (prazo de retorno inicial) TIR (Taxa Interna de Retorno) VPL (Valor Presente Líquido) do investimento

38 MÉTODOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO DE INVESTIMENTOS Taxa Mínima de Atratividade O dinheiro tem valor no tempo, por esta razão alguns métodos de análise de investimentos de projetos econômicos requerem uma taxa de juros para equacionamento É necessária a definição prévia de uma taxa para servir como parâmetro de aceitação ou rejeição de um determinado projeto de investimento Essa taxa de aceitação recebe o nome de Taxa Mínima de Atratividade (TMA)

39 MÉTODOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO DE INVESTIMENTOS Taxa Mínima de Atratividade A TMA deve ser a taxa mínima alcançada pelo investimento para ele seja viável economicamente A TMA é taxa de desconto a ser utilizada no cálculo do VPL

40 MÉTODOS DE ANÁLISE E SELEÇÃO DE INVESTIMENTOS Taxa Mínima de Atratividade O custo médio de capital é uma média ponderada do custo de capital próprio e do custo de capital de terceiros As fontes de capital de uma empresa são consideradas levando em conta a proporção de que cada um constitui o investimento Permiti ao gestor saldar suas obrigações, sejam elas de capital próprio ou de terceiros, e o excedente de capital adquirido aumenta a riqueza da empresa

41 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Valor Presente Líquido (VPL) é um dos métodos mais utilizados pela engenharia econômica, sendo de grande valia para avaliar investimentos É utilizado para fornecer qual seria o ganho monetário que se teria na realização de um investimento a uma determinada taxa de juros O VPL de um projeto de investimento é o valor atual das entradas de caixa (retornos de capital esperados), incluindo o valor residual (se houver) menos o valor atual das saídas de caixa (investimentos realizados)

42 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) Por considerar explicitamente o valor do dinheiro no tempo, o valor presente líquido é considerado uma técnica sofisticada para a análise de investimentos Este tipo de técnica de uma forma ou de outra, desconta os fluxos de caixa de uma empresa a uma taxa especificada Essa taxa, frequentemente chamada de taxa de desconto (i), custo de oportunidade de capital ou custo de capital

43 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) A função do VPL consiste em trazer as entradas e saídas de capital para a data zero do investimento

44 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) O cálculo do VPL é descrito pela seguinte função: FC 0 : fluxo de caixa verificado no momento zero (momento inicial); FC j : representa o valor de entrada (ou saída) de caixa para cada intervalo de tempo; i: taxa de desconto; n: período de tempo.

45 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) No caso de única alternativa de investimento: Se o VPL > 0, aceita-se o projeto; Se o VPL < 0, rejeita-se o projeto; Se o VPL = 0, é indiferente investir ou não nesse projeto. A grande vantagem para o uso VPL como indicador para avaliação de investimentos sustenta-se na revelação do quanto o projeto enriquecerá a empresa, representado pelo próprio valor do VPL

46 Exercícios