Matemática Financeira Autor: Prof. Dr. Lin Chau Jen Janeiro de 2013 LISTA DE EXERCÍCIOS. Parte I)

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1 Matemática Financeira Autor: Prof. Dr. Lin Chau Jen Janeiro de 13 LISTA DE EXERCÍCIOS Parte I) JUROS SIMPLES 1.Calcule a taxa simples mensal proporcional de juros correspondente a: a) 15% a.a.; b) 7,2% ao quadrimestre; c) 63,2% ao biênio. Resposta: a) 1,25%; b) 1,80%; c) 2,63%. 2. Calcule a taxa simples semestral proporcional de juros correspondente a: a) 273% ao triênio; b) 3,6% a.m. Resposta: a) 45,5%; b) 21,60%. 3. Calcule o montante de $ aplicado por 3 semestres e 60 dias a uma taxa simples de 24% a.a. (considere um mês com 30 dias). Resposta: $ Após 7 meses aplicado, um capital inicial formou um montante de $ e estima-se que, daqui a 5 meses, esse montante já será de $ Calcule o capital inicial aplicado e a taxa de juros, considerando regime de juros simples. Resposta: $3.900, 33,3% a.m. 5. Determine quanto renderá um capital de $ aplicado durante um período de 11 meses à taxa mensal de 4,5%, considerando regime de juros simples. Resposta: $ Uma loja vende seus produtos com pagamento em duas prestações iguais, sem juros. A primeira prestação é paga no ato da compra e a segunda, um mês após. Entretanto, um desconto de % é concedido se o cliente pagar a vista. Qual são os juros que, na realidade, essa loja cobra, nas vendas a prazo? Resposta: 25% a.m. 7. O preço a vista de uma mercadoria é de $ O comprador pode, entretanto, pagar % de entrada no ato e o restante em uma única parcela de $1.002 vencíveis em 90 dias. Admitindo-se o regime de juros simples, qual é a taxa de juros anuais cobrada na venda a prazo? Resposta: 1%. 8. Se aplicarmos determinada quantia durante oito meses, seu montante será de $ Caso a aplicação durasse 13 meses, o montante seria de $ Qual é a taxa mensal (capitalização simples) empregada? Resposta: 5,00%. 9. Dois capitais foram aplicados a uma taxa de 72% a.a., sob regime de juros simples. O primeiro pelo prazo de quatro meses e o segundo por cinco meses. Sabendo-se que a soma dos juros totalizou $ e que os juros do segundo capital excederam os juros do primeiro em , qual foi a soma dos dois capitais? Resposta: $ JUROS COMPOSTOS. Paulo conseguiu um empréstimo de $0.000 em um banco que cobra 5% ao mês de taxa de juros. Quanto deverá pagar se o prazo do empréstimo for de cinco meses? Resposta: $

2 11. Após quantos meses um capital empregado a 5% a.m. duplica seu valor? Resposta: 15 meses. 12. Paulo emprestou a um amigo $2.500, o qual liquidou a dívida pagando $2.730 após dois meses. Qual a taxa de juros envolvida na transação? Resposta: 4,5% a.m. 13. Paulo tem uma dívida formada por três parcelas com vencimentos em dois meses, cinco meses e seis meses, sendo os valores $800, $1.000 e $600, respectivamente. O credor, para quem o dinheiro vale % ao mês, aceita que a dívida seja liquidada imediatamente, ou que o total seja pago em um ano. Quanto José teria que pagar (a) agora e (b) em um ano? Resposta: a) $1.621; b) Paulo deve a Carlos dois títulos de $.000 cada um, vencíveis em três e cinco meses. Quanto José deverá aplicar no banco para que possa pagar os títulos com este dinheiro? Considere que o banco paga 7% ao mês? Resposta: $ Em que prazo uma aplicação de $73.500, à taxa de 5,6% a.m., forma um montante de $5.000, sob o regime de capitalização composta? Resposta: 6,55 meses. 16. Uma pessoa tem condições de aplicar seu dinheiro a 2% a.m. no mercado de capitais, capitalizável mensalmente. Se um amigo pedir-lhe emprestado $ por um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente nesse período? Resposta: $ Uma pessoa depositou determinado capital num banco, a juros compostos, com capitalização mensal. Sabendo-se que, após meses, o saldo era de $16.000, e que, após 15 meses da aplicação, o saldo já era de $18.500, determine a taxa de juros. Resposta: 2,95% a.m. 18. Guilherme possui uma pequena empresa de confecções cujo faturamento cresce 3% a.a. Calcule em quanto tempo o faturamento: a) duplicará; b) estará 150% maior. Resposta: a) 23,45 anos; b) 31,00 anos. 19. Pedro obteve um montante de $30.000, resultante da aplicação de determinado capital por um período de tempo, sob regime de capitalização composta, com juros de 3% a.m. Na mesma época, Joaquim resgatou $43.500, fruto da aplicação de um capital igual ao de Pedro, durante o mesmo período, a uma taxa composta de juros igual a 5% a.m.. Determine: a) o período de aplicação; b) o capital inicial aplicado. Resposta: a) 19,32 meses; b) Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de $2.500 e $6.000, vencíveis, respectivamente, em 5 e 7 anos. Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o valor atual (data zero), determine o valor a pagar, considerando uma taxa de juros de 25% a.a. Resposta: $ Um dívida é composta de três pagamentos no valor de $3.500, $4.0 e $5.000, vencíveis em 60, 90 e 150 dias, respectivamente. Considere que o mês possui trinta dias. Conhecendo a taxa de mercado, que é de 5% a.m., determine o valor da dívida caso os pagamentos sejam liquidados: a hoje; b daqui a 8 meses. Resposta:. 22. Determine o montante, ao fim de 4 meses, resultante da aplicação de um capital de $56.000, a uma taxa de juros de 6,5% a.m., sob o regime de capitalização composta. Resposta: $ Sabe-se que a taxa de juros cobrada de 2 em 2 meses por uma instituição financeira é de 8%.

3 Calcule o prazo em que o empréstimo de $ será resgatado por $ Resposta: 7, períodos de 2 meses. 24. Quanto deve ser aplicado hoje para que se resgate, daqui a 18 meses, um montante de $35.700, sabendo-se que o fundo de capitalização composta remunera a uma taxa de 8,2% a cada três meses? Resposta: $ Luísa é microempresária e deseja comprar uma máquina. Depois de muito pesquisar, encontrou uma loja que oferecia duas formas de pagamento: compra a vista pelo valor de $0.000, ou pagamento em 5 prestações mensais de $ sem entrada a uma taxa mensal de 5%. Por qual alternativa Luísa deve optar, a fim de que obtenha o menor custo de aquisição possível? Resposta: a vista. 26. Uma taxa efetiva de juros com capitalização trimestral é aplicada a um capital, gerando um total de juros, ao cabo de 15 meses, igual a 140% do valor do capital aplicado. Qual o valor dessa taxa de juros? Resposta: 19,14% a.t. 27. Se fizermos hoje duas aplicações que juntas somam $0.000, sujeitas, respectivamente, às taxas de 5% e % ao mês, e soubermos que dentro de um ano o montante produzido pelo primeiro capital será a metade do montante produzido pelo segundo capital, quais os valores desses capitais? Resposta: $ e $ A soma dos montantes, ou valores futuros, produzidos por dois capitais é $ O segundo montante é o dobro do primeiro, as taxas de juros utilizadas foram de 3% e 5% ao mês, respectivamente, para o primeiro e o segundo capitais e o período de aplicação é de 2 anos. Calcular os capitais. Resposta: $ e $ JUROS SIMPLES E COMPOSTOS 29. Depois de quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 2,5% a.m., triplica de valor, considerando as seguintes situações: a) regime de capitalização simples; b) regime de capitalização composta. Resposta: a) 80,0 meses; b) 44,5 meses. FLUXOS DE CAIXA 30. Represente sob a forma de fluxos de caixa as seguintes alternativas de negócios: a) a compra de um bem a vista por $X ou em três vezes iguais, sendo uma entrada de entrada e acréscimo de 40%. em três vezes iguais, sem entrada e acréscimo de 60%. b uma dívida de $ com vencimento em um mês pode ser rolada por seis meses, ficando o débito em prestações de $ Dados os diagramas de fluxo de caixa a seguir, calcule o que se pede: P =? i = 7% a.a. i = % a.a. F =? Resposta:. (a) (b)

4 32. Para uma taxa de juros de 8,5% a.m. (capitalização composta), qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor: a) pagamento integral de $ a vista; b) $ de entrada, $ em 90 dias e $ em 150 dias. Resposta: parcelado. 33. Um produto foi adquirido em 3 pagamentos trimestrais de $1.500 cada, sem pagamento na entrada. Contudo, ele poderia ser adquirido pagando-se 15% de seu valor como entrada e o restante ao cabo de 6 meses. Qual o valor da prestação vencível ao final de 6 meses, sabendo que a taxa nominal de juros com capitalização mensal composta é de 28% a.a.? Resposta: $ PARTE II) 1. Dados os diagramas de fluxos de caixa a seguir, calcule o que se pede: F =? i = 6%a.a. i = 5,6%a.m. P = $3.500 P =? F = $ meses (a) Resposta: anos (b) 2. Qual deve ser a taxa global anual a ser cobrada por um banco que quer 1% ao mês além da correção monetária que é prevista em 15% ao trimestre? Resposta: 97,08%. 3. Qual a taxa efetiva anual de 30% a.a. com capitalização trimestral? Resposta: 33,6 % a.a. 4. Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 12% ao semestre? Resposta: 1,9% ao mês. 5. Qual a taxa semestre equivalente a % ao mês? Resposta: 77,2% a.s. 6. Qual a taxa equivalente mensal de 42% ao ano capitalizada trimestralmente? Resposta 3,38% a.m. 7. Qual é a taxa efetiva anual de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? Resposta: 60,1%. 8. Uma companhia planeja depositar $0.000 em um fundo no fim de cada cano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de juros de 6,0% ao ano, com capitalização quadrimestral, quanto a companhia terá no fim do sexto ano? Resposta: $ José tem os seguintes compromissos financeiros: (a) $ vencíveis em 2 meses e (b) $ vencíveis em 5 meses. Após cumpri-los, ainda no 5 o mês, ele deseja comprar um carro no valor de $ Determine o valor do capital a ser depositado na poupança com taxa de juros simples de 6% a.a. de modo que sejam sacados os compromissos sem deixar saldo final na conta. Resposta:.. Sejam dados: a) capital inicial: $18.7; b) montante resgatado: $24.000; c) período de capitalização: 4 meses. Considerando uma capitalização composta, calcule a taxa anual equivalente.

5 Resposta: 1,7%. 11. Uma instituição financeira veicula na televisão a seguinte propaganda: aplique $500 hoje e receba $1.000 daqui a 7 meses. Determine a taxa mensal e anual efetiva de juros (regime de juros compostos) oferecida por essa instituição. Resposta:,41% a.m.; 228,1% a.a. 12. Uma pessoa deposita $ numa instituição financeira por 2 anos à taxa nominal de % a.a. Calcule o montante composto, sabendo que no 1o ano, os juros são capitalizados bimestralmente e que no 2 o ano, a capitalização é trimestral. Resposta: $ Uma pessoa aplica um capital de $ Calcule o valor do resgate (valor futuro) nas seguintes condições (considere sempre um regime de capitalização composta): a) i = 38% a.a., n = 3 anos; b) i = 2,5% a.m., n = 6 meses; c) i = 0,2% a.d., n = 42 dias; d) i = 15% a.s., n = 13 meses; Resposta: a) $7.884; b) $3.479; c) $3.263; d) Após um período de capitalização em regime composto, Carlos resgatou a quantia de $.000. Calcule: a) a taxa de juros, considerando que n = 4 meses e P = $2.750; b) o capital aplicado, sabendo que i = 32,5% a.a. e n = 6 meses; c) o período de capitalização, sendo dados P = $4.500 e i = 0,3% a.d. Resposta: a) 38,09% a.m.; b) $8.519; c) 267 dias. 15. A caderneta de poupança é um dos investimentos mais difundidos entre os brasileiros. Em programa de televisão, André observou que nos últimos anos ela pagou juros anuais de 6%. No entanto, André sabe que esse investimento tem capitalização mensal e, por isso, resolveu calcular a rentabilidade efetiva desse investimento. Qual o valor encontrado por André? Resposta: 6,17% a.a. 16. Seja uma taxa nominal de 15% a.a. com capitalização trimestral. Calcule: a) a taxa efetiva trimestral; b) a taxa efetiva anual. Resposta: a) 3,75% a.t.; b) 15,87% a.a. 17. Um agiota empresta dinheiro para mensalistas apertados nas seguintes condições: te dou $5.000 e tu me devolverás $5.500 em uma semana. Qual a taxa de juros anual envolvida na transação? Resposta: 14.0% a.a. PARTE III) 1. Represente os fluxos de caixa abaixo por meio de séries combinados com valores isolados (a)

6 (b) Represente os fluxos de caixa formados por: a) uma série A no valor de $0 e de dez períodos mais dois valores isolados de $50 cada um, um no terceiro período, outro no sétimo período. b) uma série A de $5 mais uma série G de $2, ambas de 15 períodos. c) uma série A de $0 menos uma série G de $3, ambas de períodos. 3. Mostre por meio de um exemplo que uma série uniformemente decrescente pode ser decomposta em uma série A menos uma série G. 4. Ache os seguintes fatores na tabela financeira ou calcule-os utilizando as fórmulas: a) Valor atual de um montante quando n=48 e i=1,5%; b) (P/G; 41%; 21); c) (A/G; 2,25%, 36). Resposta: a) 0,4894; b) 5,907; c) 15, Ache os seguintes fatores na tabela financeira ou calcule-os utilizando as fórmulas: a) (A/F, 35%, 15); b) Valor hoje de uma quantia depositada há um ano atrás rendendo juros de 15% ao mês. Resposta: a) 0,003926; b) 5, Calcule com auxílio de uma calculadora: a) (F/G; 75%; ); b) (P/F; 12,5%; ); c) (P/G; 21%; 45) Resposta: a) 463,8; b) 0,3079; c) 22, Qual o valor atual dos seguintes fluxos de caixa: a) i = %

7 b) i = % Ache a série uniforme equivalente ao seguinte fluxo de caixa: i = % a) Nos dez primeiros aniversários de Paulo, seu tio investirá $.000 por ano em letras (letras de $.000). As letras rendem 40% ao ano e se destinam a financiar os estudos universitários de José, bem como a ajudar no pagamento de seu primeiro carro por ocasião de sua formatura. Se José retirar $ no 18 o aniversário, $ no 19 o, $ no o, $ no 21 o e $ no 22 o, quando irá sobrar no 23 o aniversário para dar entrada na compra do carro? b) Se a inflação for de 35% a.a., quanto representa esta quantia em moeda atual (na data do nascimento de José)? Resposta: a) $ ; b) $ Uma pessoa deseja formar, em quatro anos, um fundo de aposentadoria através de depósitos mensais em um banco que paga 7% ao ano de juros. Aposentando-se em seguida, se o valor da aposentadoria for de $500 ao mês, qual deve ser o valor dos depósitos? Resposta: $ Você é o dono de uma loja que pretende vender em três vezes sem entrada e sem acréscimo ou a vista com X% de desconto. Após um estudo das demais variáveis envolvidas na transação, você chegou à conclusão de que a taxa de juros deve ser de % ao mês. Qual deverá ser o valor de X? Resposta: 17,%. 12. Como diretor financeiro de uma escola, você quer oferecer uma alternativa para que os alunos possam efetuar os pagamentos das taxas escolares em cinco mensalidades iguais sem entrada e não mais em uma entrada mais três prestações. Se a taxa de juros a ser considerada na transação é de 4% ao mês, em quantos por cento esta mudança irá alterar o valor da mensalidade? Resposta: 15,2% a menos. 13. Paulo comprou uma casa financiada em 0 prestações mensais. A primeira prestação custa

8 $50.000, a segunda $49.700, a terceira $49.400, e assim sucessivamente, diminuindo periodicamente de $300. Sabendo que a taxa foi de 1,5% ao mês, calcule: a) o valor financiado; b) qual seria a prestação caso ela fosse uma série uniforme. Resposta: a) $ ; b) $ Um televisor está custando cerca de $1.500 à vista. O comprador se propõe, entretanto, a dar uma entrada de $500 e a pagar o restante em prestações mensais, consecutivas e iguais. Se os juros cobrados forem de 5% ao mês, de quanto será cada pagamento mensal? Resposta: 129, Você participou do Jogo do Milhão e recebeu como prêmio $ Imaginou o seguinte esquema: aplicar em uma instituição que paga 2% ao mês e, durante 24 meses, viajar pelo mundo todo. Para tanto, pretende efetuar retiradas mensais de $ O saldo será retirado em 2 parcelas anuais, sendo a 1 a um ano após o último saque mensal. Qual o valor das retiradas se eles forem nominalmente iguais? E se elas forem equivalentes? Resposta: $ ; $ e $ Uma mercadoria é vendida a vista por $0.000 ou a prazo na seguinte condição: entrada de $ e mais cinco parcelas mensais. Determinar o valor máximo de cada parcela mensal se o mercado financeiro oferece juros compostos de 6% a.m. Resposta: $ Um equipamento cujo valor a vista é de $ pode ser pago por meio de uma entrada e 18 prestações mensais e consecutivas de $ Se há um período de três meses para início do pagamento das prestações, qual é o valor da entrada, considerando-se uma taxa de juros efetiva composta de 5% a.m.? Resposta: Os gastos mensais para operação e manutenção de determinado equipamento são de $5.000 no primeiro mês, sendo acrescidos de $600 mensais até o 30 o mês, inclusive, estabilizando-se daí por diante e permanecendo inalterados até o final da vida útil, que é de 3 anos. Esse equipamento foi adquirido por $ Qual o valor dos custos (compra, operação e manutenção) na data 0 se a taxa de juros for de 4% ao mês? Resposta: $ Quanto deverá ser investido agora por uma empresa para que ela possa atender ao desembolso de despesas da ordem de $ ao final do 1 o ano, $ ao final do 2 o ano, $ ao final do 3 o ano, $ ao final do 4 o ano e $ ao final do 5 o ano, se a taxa de juros é de 30% ao ano (efetiva)? Resposta: $ Parte IV) SISTEMA FRANCÊS 1. Uma pessoa consegue um empréstimo de $0.000 a ser pago em prestações iguais e semestrais a uma taxa efetiva de 50% a.a. Calcule: (a) a taxa semestral; (b) o valor das prestações. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE 2. Considere um empréstimo de $0.000 a ser pago pelo Sistema de Amortização Constante em prestações semestrais, sendo a taxa de 22,5% ao semestre. (a) Qual o valor da primeira prestação?; (b) Qual o valor da última prestação? VALOR PRESENTE LÍQUIDO 3. Uma empresa de participação dispõe de $150 mil e conta com duas oportunidades para investir além de deixar seus recursos em uma aplicação financeira que rende % ao mês. A empresa considera essa taxa sua TMA. As duas oportunidades de investimento são lotes disponíveis de diversos títulos bancários que deverão apresentar um rendimento médio da seguinte forma.

9 VALOR ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE 4. Uma empresa dispõe de $ e conta com duas alternativas de investimento em um tipo de equipamento industrial: Equipamento da marca A: exige um investimento inicial de $ e proporciona um saldo líquido anual de $5.000 por sete anos. Equipamento da marca B: investimento inicial de $ e saldo líquido de $6.500 por sete anos. Determine a melhor alternativa de investimento, sabendo que a TMA da empresa é 30% a.a. PAYBACK 5. Compare em termos do payback as seguintes alternativas de investimento: a Um investimento de $ milhões que gere retornos líquidos anuais de $5 milhões, a partir do final do primeiro ano, durante anos. b Outro investimento de $18 milhões de gere resultados líquidos de $6 milhões por ano, durante quatro anos.