Argeu Cardim - Módulo MATEMÁTICA FINANCEIRA. MATEMÁTICA FINANCEIRA

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1 1 MATEMÁTICA FINANCEIRA

2 SUMÁRIO 01. PORCENTAGEM JUROS SIMPLES EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS JUROS COMPOSTOS EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DESCONTOS RENDAS CERTAS VALOR PRESENTE LÍQUIDO TAXA INTERNA DE RETORNO AMORTIZAÇÃO

3 ESTUDO DA PORCENTAGEM 1) PORCENTAGEM a Dizemos que uma fração está escrita na forma percentual a% quando ela tem denominador 100. Quando isto ocorrer ela poderá ser 100 indicada por a%, que se lê a por cento. Portanto o símbolo da porcentagem (%) significa simplesmente sobre 100 ou dividido por 100. a por cento EXEMPLOS E.1) 20% = E.2) 170% = E.3) Como transformar um número decimal como 0,037 em porcentagem? E.4) 0,1379 = E.5) E como transformar uma fração como 8 1 em porcentagem? EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. O preço de um MP3, com 20% de desconto, é R$ 144,00. Qual o preço sem o desconto? 02. Após um aumento de 30%, o salário de um trabalhador passou a ser de R$ 910,00. Qual o salário antes do aumento? 3

4 03. Uma pessoa, após receber uma indenização, aplicou 60% em um fundo de renda fixa, 25% em ações e os R$4500,00 restantes usou para saldar dividas antigas. Qual o valor da indenização? 04. Os preços anunciados de um fogão e de uma geladeira são R$ 400,00 e R$ 700,00, respectivamente. Tendo conseguido um desconto de 8% no preço da geladeira e tendo pago R$ 1000,00 na compra dessas duas mercadorias, o desconto, em porcentagem, obtido no preço do fogão foi: 2) AUMENTOS E DESCONTOS FATOR DE REAJUSTE No estudo da Matemática Financeira, é muito importante para o aluno entender que para cada aumento ou desconto percentual corresponde um fator multiplicativo. Vejamos os seguintes exemplos. EXEMPLOS E.1) Se um produto custa x e vai aumentar 20%, quanto ele passa a custar? E.2) Se um produto custa y e vai aumentar 35%, quanto ele passa a custar? E.3) Se um produto custa z e vai sofrer um desconto de 30%, quanto ele passa a custar? Com os exemplos, observamos que um aumento ou desconto i corresponde ao fator (1 + i). OBSERVAÇÃO O aumento é considerado positivo e o desconto, negativo. 4

5 Aumento/Desconto Fator + 20% + 35% - 30% - 15% + 100% + 200% + 170% - 60% i 1 + i EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Uma geladeira custa R$ 480,00, mas José conseguiu um desconto de 25%, pois argumentou que pagaria a vista. Qual será o valor pago por José? 02. (CESGRANRIO)Durante o primeiro semestre de 2009, as montadoras de veículos venderam, no Brasil, 1,45 milhão de automóveis. Nos primeiros seis meses de 2010, as vendas foram ainda maiores, registrando um crescimento de 9% em relação ao mesmo período do ano anterior. Quantos milhões de automóveis, aproximadamente, foram vendidos no Brasil, no primeiro semestre de 2010? a) 1,64 b) 1,58 c) 1,52 d) 1,48 e) 1,30 5

6 03. Um objeto foi vendido por R$ 272,00 após o comprador conseguir um desconto de 15%. Qual o valor sem desconto desse objeto? 04. Um carro era vendido em janeiro por um determinado valor e em fevereiro o seu preço foi aumentado em 12% passando a custar R$ ,00. Qual era o preço cobrado, por esse carro, em janeiro? 05. Um fogão foi comercializado por R$ 405,00 após o comprador conseguir um desconto de 25%. Qual o valor desse fogão sem o desconto? 3) REAJUSTES SUCESSIVOS Considere que uma mercadoria que custa A sofre um reajuste percentual sobre A e passa a custar B, em seguida, sofre um novo reajuste percentual sobre B, passando a custar C. Sendo assim, estes dois reajustes (de A para B e de B para C) são chamados reajustes sucessivos. A B C EXEMPLOS E.1) Se um produto sofre dois aumentos consecutivos de 30% e 40%, esses dois aumentos correspondem a um único aumento de quanto? 6

7 E.2) Se um produto sofre dois descontos sucessivos de 30% e 40%, esses dois descontos correspondem a um único desconto de quanto? E.3) Um aumento de 40%, seguido de um desconto de 30% é equivalente a um único: a) aumento de 10%; b) desconto de 10%; c) aumento de 5%; d) aumento de 2%; e) desconto de 2%; EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Dois aumentos sucessivos de 25% e 28% equivalem a um único aumento de quanto? 02. Dois descontos sucessivos de 10% e 20% equivalem a um único desconto de quanto? 03. Se a cotação do dólar comercial sofreu uma desvalorização 10% no 1 o semestre de 2008 e aumentou 50% no 2 o semestre de 2008, então no ano de 2008 a cotação do dólar comercial aumentou: a) 40% b) 30% c) 65% d) 45% e) 35% 7

8 04. O índice IBOVESPA sofreu uma queda de 40% no ano de 2008 e teve uma alta de 80% no ano de Sendo assim no biênio 2008/2009 o índice IBOVESPA: a) Teve uma alta de 8% b) Teve uma alta de 16% c) Teve uma alta de 28% d) Teve uma alta de 40% e) Teve uma queda de 28% 05. Um relógio custa R$ 300,00, mas o vendedor desse decidiu aumentar seu valor em 15% e com isso a procura por esse produto caiu. Para tentar recuperar seus clientes o comerciante reajustou o novo valor e agora deu um desconto de 20% sobre o novo valor. Após todas essas transações, qual o valor final desse relógio? 4) TAXA APARENTE E TAXA REAL A taxa real é a taxa de rendimento de uma aplicação depois de descontada a inflação do período. CONCLUSÃO: Sendo assim para calcular a taxa real vamos utilizar a seguinte fórmula: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM ( 1 + i ap ) = ( 1 + i inf ).( 1 + i real ) 01. Uma aplicação rendeu 26% ao longo do ano de Sabendo que a inflação de 2006 foi de 5%, calcule a taxa real de rendimento desta aplicação. 8

9 02. Um capital de R$10.000,00 foi aplicado no inicio de 2005 e no último dia útil de 2006 foi resgatado todo o montante de R$14.850,00. Nesse período, as taxas de inflação foram, respectivamente: 2005: 10% 2006: 8% A taxa real desse investimento, nesse período, foi de a) 30,5% b) 29,0% c) 28,0% d) 26,5% e) 25,0% EXERCÍCIOS PROPOSTOS (PORCENTAGEM) 01. (BNB2003) Um operário gastava mensalmente 10% de seu salário com transporte. Depois de um aumento no preço das passagens ele passou a gastar R$ 5,00 (cinco reais) a mais por mês, comprometendo 12% do seu salário com transporte. O valor do salário desse operário está contido no intervalo: A) R$ 220,00 a R$ 235,00 B) R$ 240,00 a R$ 255,00 C) R$ 260,00 a R$ 275,00 D) R$ 280,00 a R$ 295,00 E) R$ 300,00 a R$ 315, Fábio vendeu um rádio e um relógio por R$ 150,00 cada. Com relação aos valores que estes objetos lhe custaram, Fábio teve um prejuízo de 25% na venda do rádio e um lucro de 25% na venda do relógio. Nessas condições, é correto afirmar que, relativamente ao custo dos objetos, no resultado total dessa transação, Fábio a) não teve lucro e nem prejuízo. b) teve um prejuízo de R$ 20,00. c) teve um lucro de R$ 20,00. d) teve um prejuízo de R$ 25,00. e) teve um lucro de R$ 25,00. 9

10 03. Sabendo que, no ano de 2005, a cotação do barril de petróleo teve uma valorização de 40% e no ano de 2006, teve uma desvalorização de 30%, então referente ao biênio 2005/2006 podemos afirmar que: a) A cotação do barril de petróleo teve uma valorização de 10%. b) A cotação do barril de petróleo teve uma valorização de 2%. c) A cotação do barril de petróleo teve uma desvalorização de 10%. d) A cotação do barril de petróleo teve uma desvalorização de 2%. e) A cotação do barril de petróleo se manteve estável. 04. Um determinado produto teve seu preço reajustado duas vezes. Na primeira vez, o reajuste foi de 35% e, na segunda vez, de 20%. Sabendo que o preço do produto depois do segundo reajuste era de R$ 567,00, calcule o preço do produto antes do primeiro reajuste. a) R$350,00 b) R$380,00 c) R$400,00 d) R$420,00 e) R$450, Na questão anterior, qual foi o reajuste acumulado? a) 55% b) 58% c) 60% d) 62% e) 65% 06. Uma rede de lojas comprou uma mercadoria à vista, com 20% de desconto sobre o preço de tabela e teve uma despesa de R$50,00 com transporte e impostos. Na venda dessa mercadoria, obteve um lucro de 20% sobre o total desembolsado. Se o preço de venda foi R$ 540,00 então calcule o preço de tabela. a) R$500,00 b) R$400,00 c) R$450,00 d) R$600,00 e) R$350, Sobre Matemática Financeira, considere as seguintes afirmativas: I) Dois descontos sucessivos de 30% e 40% equivalem a um único desconto de 82%. II) Quatro aumentos sucessivos de 25%, 16%, 20% e 30% equivalem a um único de 126,2%. III) Se Guilherme comprou 12 sabonetes com um desconto de 20% e pagou R$ 6,00, então cada sabonete, sem desconto, custa R$ 0,60. Podemos afirmar que: a) Todas as afirmativas são falsas b) Apenas a afirmativa I é verdadeira c) Apenas a afirmativa II é verdadeira 10

11 d) Apenas a afirmativa III é verdadeira e) Apenas uma afirmativa é falsa 08. Um comerciante vendeu um produto com um desconto de 25% sobre o preço anunciado e ainda assim obteve um lucro de 20% sobre o preço de custo. Se tivesse vendido o produto sem desconto qual teria sido o seu lucro? a) 45% b) 50% c) 60% d) 65% e) 70% 09. Se a cotação do dólar comercial aumentou 90% no 1 o semestre de 1999 e sofreu uma desvalorização de 20% no 2 o semestre de 1999, então no ano de 1999 a cotação do dólar comercial aumentou: a) 70% d) 72% b) 88% e) 68% c) 52% 10. Depois de dois anos sem reajuste salarial uma categoria conseguiu um aumento de 26,5% nos salários. Sabendo que a inflação acumulada no período (2 anos) foi de 10%, calcule o aumento real nos salários desta categoria. a) 17% b) 16,5% c) 16% d) 15,5% e) 15% 11. Se o governo decide dar um aumento real de 5% no salário mínimo e a inflação acumulada desde o último reajuste foi de 4%, então o valor em reais do salário mínimo deverá ser reajustado em: a) 9% b) 9,1% c) 9,2% d) 9,3% e) 9,4% 12. (BNB2004) Em 01/01/2003 um certo veículo, zero km, custava R$ ,00 a vista. Em 01/01/2004 o mesmo modelo do veículo, também zero km, custa R$26.400,00. Tendo sido de 10 % a inflação do ano de 2003, pergunta-se qual foi o aumento real do veículo neste período. a) 10,00 % no ano b) 20,00 % no ano c) 22,00 % no ano d) 30,00 % no ano e) 32,00 % no ano GABARITO: B B D A D A C C C 1 E C B 11

12 ESTUDO DOS JUROS SIMPLES 1) JUROS SIMPLES É a modalidade de aplicação financeira onde a taxa de rendimento incide sempre sobre o capital inicial. Nos juros simples, temos algumas fórmulas importantes que vão ser detalhadas em aula: OBSERVAÇÃO A unidade de tempo deve estar de acordo com a unidade de tempo da taxa. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ ,00 por um período de 150 dias à taxa de juros simples de 4% ao mês. 02. Qual o capital que deve ser aplicado, no regime de juros simples, à taxa de 5% a.m. para que no final de um ano se obtenha um montante de R$ 4.800,00? 12

13 03. Uma pessoa aplicou um capital de R8.000,00 no regime de juros simples por um período de 5 meses e obteve no final um montante de R$ 9.000,00. Qual a taxa mensal da aplicação? 04. Supondo-se que são necessários, no regime de juros simples, n meses para triplicar um determinado capital à taxa de 4% ao mês, calcule n. 05. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 por um período de 50 dias à taxa de juros simples de 7% ao mês. 2) TAXAS EQUIVALENTES (TAXAS PROPORCIONAIS) Duas taxas de juros são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital produzem no mesmo período de tempo, o mesmo montante. J 1 = J 2 C. i 1. n 1 = C. i 2. n 2 ( C) i 1. n 1 = i 2. n 2 Como n 1 e n 2 são períodos iguais, só estão em unidades distintas. Assim sendo: i 1. n 1 = i 2. n 2 OBSERVAÇÃO: 13

14 No regime de juros simples taxas equivalentes são proporcionais. EXEMPLOS No regime de juros simples as taxas de: 5% a.m. e 60% a.a. são equivalentes. 4% a.m., 8% a.b., 12% a.t., 24% a.s. e 48% a.a. são equivalentes. 3% a.m. e 0,1% a.d. são equivalentes. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Como é que transformamos, no regime de juros simples, uma taxa de 2% ao mês em uma taxa anual? 02. Como é que transformamos, no regime de juros simples, uma taxa de 36% ao ano em uma taxa mensal? 03. Como é que transformamos, no regime de juros simples, uma taxa de 0,1% ao dia em uma taxa mensal? 04. Como é que transformamos, no regime de juros simples, uma taxa de 4% ao bimestre em uma taxa trimestral? 3) EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS SIMPLES Dois ou mais capitais representativos em uma certa data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resultados iguais numa data comum(data focal). Observe a linha do tempo abaixo. Na equivalência de capitais a juros simples vamos usar as seguintes fórmulas: M = C. 1 + i. n C = M (1 + i. n) 14

15 OBSERVAÇÃO: Data focal é a data que eu tomo como referencial, ou seja, a que desejo. VOCABULÁRIO PRÓPRIO R$1.000,00, hoje, é R$1.200,00 daqui a dois meses. Note que os capitais são equivalentes a uma taxa de j.s. de 10% a.m. e considerando como data focal a data 2. Também seriam se considerássemos como data focal a data zero. Mas se considerarmos como data focal a data 1 eles já não são equivalentes. OBSERVAÇÃO: Em problemas de equivalência de capitais a juros simples é comum que seja informada a data focal. Caso isso não ocorra, considerase que a data focal é a data zero. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Qual o capital equivalente a R$ 1000,00 daqui a 6 meses aplicado no regime de juros simples à uma taxa de 5% ao mês? 02. Um capital de R$ 6000,00 daqui a 5 meses equivale a quanto hoje a uma taxa de 4% ao mês no regime de juros simples? OBSERVAÇÃO!!! 03. Uma pessoa tem de pagar três parcelas no valor de R$ 2000,00 cada uma, que vence todo dia 05 dos próximos três meses. Todavia, ela combina com seu credor um único pagamento equivalente no dia 05 do terceiro mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando o regime de juros simples de 5% ao mês e data focal 3. 15

16 04. Uma pessoa toma hoje um empréstimo de R$9.000 para ser quitado em doze meses com uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Sabendo que ao final do quinto mês ela paga R$4.400, ao final do décimo mês X reais e ao final do décimo segundo mês R$2.480, calcule o valor de X. a) b) c) d) e) Uma pessoa toma hoje um empréstimo de R$ para ser quitado em dez meses com uma taxa de juros simples de 18% ao ano. Sabendo que ao final do quarto mês ela paga R$ 5.995,00 ao final do oitavo mês R$ 3.090,00 e ao final do décimo mês ela quita a divida, calcule o valor do último pagamento. 06. Uma pessoa tem de pagar dez parcelas no valor de R$500,00 cada uma, que vencem todo dia 10 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 10 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 4% ao mês e data focal 10. OBSERVAÇÃO: Soma dos termos de uma Progressão Aritmética(P.A.) finita. Em alguns problemas de Matemática Financeira vamos precisar da fórmula da soma dos termos de uma P.A. finita. Segue abaixo a fórmula: S n = a 1+a n 2. n EXERCÍCIOS PROPOSTOS (JUROS SIMPLES) 01. Um indivíduo aplica R$ ,00 à taxa de juros simples de 12% a.m. Calcule o montante obtido nessa aplicação depois de 50 dias. 16

17 a) R$23.200,00 b) R$23.600,00 c) R$24.000,00 d) R$24.400,00 e) R$24.800, Qual o capital que deve ser aplicado à taxa de juros simples de 5% a.m. para que se obtenha, ao final de um ano, o montante de R$ 2.000,00? a) R$800,00 b) R$950,00 c) R$1000,00 d) R$1150,00 e) R$1250, Calcular o montante de uma aplicação de R$ ,00 por um período de 210 dias à taxa de juros simples de 2% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) NRA 04. Qual o capital que deve ser aplicado, no regime de juros simples, à taxa de 2,5% a.m. para que após 10 meses se obtenha um montante de R$ ,00? a) R$ 7.500,00 b) R$ 8.000,00 c) R$ 8.500,00 d) R$ 9.000,00 e) NRA 05. Uma pessoa aplicou um capital de R$ 3.200,00 no regime de juros simples por um período de 9 meses e obteve no final um montante de R$ 5.000,00. Qual a taxa mensal da aplicação? a) 4% b) 4,5% c) 5% d) 5,75% e) 6,25% 06. (FCC/Aud. Fiscal Pref. São Paulo-2007) Uma pessoa necessita efetuar dois pagamentos, um de R$2.000,00 daqui a 6 meses e outro de R$2.382,88 daqui a 8 meses. Para tanto, vai aplicar hoje a juros simples o capital C à taxa de 3% ao mês, de forma que: - daqui a 6 meses possa retirar todo o montante, efetuar o pagamento de R$2.000,00 e, nessa data, aplicar o restante a juros simples, à mesma taxa, pelo resto do prazo; - daqui a 8 meses possa retirar todo o montante da segunda aplicação e efetuar o segundo pagamento, ficando com saldo nulo e sem sobras. Nessas condições, o valor de C é igual a: a) R$3.654,00 b) R$3.648,00 c) R$3.640,00 d) R$3.620,00 e) R$3.600, (ESAF/AFTN-1998) Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples comercial de 36% ao ano, produzindo um montante de R$4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. 17

18 a) R$4.067,00 b) R$3.986,00 c) R$3.996,00 d) R$3.941,00 e) R$4.000, (ESAF/AFTN-1998) A quantia de R$10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos, do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do mesmo ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos. a) R$705,00 b) R$725,00 c) R$715,00 d) R$720,00 e) R$735, A quantia de R$15.000,00 foi aplicada a juros simples comercial, do dia 27 de junho ao dia 17 de setembro do mesmo ano. Calcule o montante obtido, à taxa de 27% ao ano, desprezando os centavos. a) R$15.900,00 b) R$15.877,00 c) R$15.855,00 d) R$15.887,00 e) R$15.865, O juro simples comercial obtido da aplicação de R$3.500,00, a taxa de 18% ao ano, do dia 23/03/2005 ao dia 03/09/2005 é: a) R$276,16 b) R$280,00 c) R$283,06 d) R$287,00 e) R$290, (ESAF/AFTN-1998) Indique, nas opções abaixo, qual a taxa unitária anual equivalente à taxa de juros simples de 5% ao mês. a) 1,0 b) 0,6 c) 60,0 d) 12,0 e) 5,0 12. (ESAF/AFRF-2002) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período. a) R$ 2.080,00 b) R$ 2.084,00 c) R$ 2.088,00 d) R$ 2.096,00 e) R$ 2.100,00 13.(ESAF/AFRF 2002)Indique qual o capital hoje equivalente ao capital de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia. a) R$ ,00 b) R$ ,00 18

19 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Uma pessoa tem de pagar vinte parcelas de mesmo valor, que vencem todo dia 10 dos próximos vinte meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no valor de R$7.800,00 no dia 10 do vigésimo mês para quitar a dívida. Calcule o valor de cada parcela considerando juros simples de 10% ao mês e data focal 20. a) R$196,00 b) R$200,00 c) R$205,00 d) R$210,00 e) R$216, Uma pessoa tem de pagar oito parcelas no valor de R$700,00 cada uma, que vencem todo dia 03 dos próximos oito meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 03 do oitavo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros simples de 3% ao mês e data focal 8. a) R$6.188,00 b) R$6.272,00 c) R$6.230,00 d) R$6.350,00 e) R$6.420,00 16.(ESAF/AFTN-96) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo-primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é: A) R$ 816,55 B) R$ 900,00 C) R$ 945,00 D) R$ 970,00 E) R$ 995, Uma pessoa toma hoje um empréstimo de R$9.000 para ser quitado em doze meses com uma taxa de juros simples de 2% ao mês. Sabendo que ao final do quinto mês ela paga R$4.400, ao final do décimo mês X reais e ao final do décimo segundo mês R$2.480, calcule o valor de X. a) b) c) d) e)

20 GABARITO: C e A B e e e d a 1 B B a C B a b a ESTUDO DOS JUROS COMPOSTOS 1) JUROS COMPOSTOS É a modalidade de aplicação financeira onde a taxa de rendimento incide sempre sobre o montante. Nos juros compostos, temos também duas fórmulas importantes que serão detalhadas em aula: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Qual o montante obtido por um capital de R$ 5.000,00, quando aplicado à taxa de 5% ao trimestre num período de 21 meses, no regime de juros compostos? 20

21 02. Qual o capital que deve ser aplicado à taxa de 2% ao mês para se obter, no final de um ano, no regime de juros compostos, o montante de R$ ,00? (1,02) 12 1,3 03. Seu Victor aplicou R$ ,00 numa caderneta de poupança a uma taxa de 20% ao ano no regime de juros compostos. Depois de 3 anos, quanto a aplicação rendeu de juros? 04. Uma pessoa aplicou um capital de R$ 4.000,00 no regime de juros compostos por um período de 10 meses e obteve no final um montante de R$ 7.869,00. Qual a taxa mensal da aplicação? 05. Uma pessoa aplicou um capital de R$ ,00 a uma taxa de 21% ao ano por um período de 6 meses. Qual o montante obtido nesta aplicação considerando... a)... o regime de juros simples? b)... o regime de juros compostos? 21

22 2) TAXA EQUIVALENTES Duas taxas de juros são equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital produzem no mesmo período de tempo, o mesmo montante. M 1 = M 2 C. (1 + i 1 ) n 1 = C. (1 + i 2 ) n 2 ( C) (1 + i 1 ) n 1 = (1 + i 2 ) n 2 OBSERVAÇÃO!!! Note que n 1 e n 2 são o mesmo tempo, mas não necessariamente a mesma unidade de período, ou seja, n 1 vale 1 ano e n 2 vale 12 meses, vejam que representam a mesma coisa, mas estão em unidades diferentes. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Como uma taxa anual é equivalente a uma taxa mensal, no regime de juros compostos? 02. Como uma taxa mensal é equivalente a uma taxa diária, no regime de juros compostos? 03. Como uma taxa semestral é equivalente a uma taxa anual, no regime de juros compostos? 04. Como uma taxa trimestral é equivalente a uma taxa mensal, no regime de juros compostos? 05. No regime de juros compostos, qual a taxa anual equivalente a taxa de 3% ao mês? 06. No regime de juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a taxa de 79,59% ao ano? 07. No regime de juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a taxa de 36,05% ao ano? 22

23 3) TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Este tópico mostra a armadilha da matemática financeira, tome muito cuidado, por exemplo; Se você encontrar uma aplicação de 12% ao ano com capitalização mensal, ou seja, a taxa está numa unidade (ano) e a capitalização em outra unidade (mensal) é a dica para dizer que isso é uma taxa nominal e não uma taxa efetiva. E o lado cruel é que apesar de ter dito que a taxa anual é 12% ao ano, quando você calcular não dará 12% ao ano, e é o que então? Inicialmente, você vai calcular a taxa proporcional dessa taxa nominal como se fosse taxa equivalente de juros simples, ou seja: i = 12% a. a. com capitalização mensal; i = 12% 12 = 1% a. m., e essa taxa já é uma taxa efetiva (mensal); É IMPORTANTE LEMBRAR QUE QUANDO FALA COM CAPITALIZAÇÃO MENSAL QUEREM JÁ DEIXAR IMPLÍCITO QUE É REGIME DE JUROS COMPOSTOS. Aí sim, calcula a taxa equivalente desse 1% ao mês que você acabou de determinar, daí temos: 1 + i anual 1 = 1 + i mensal i anual = 1 + 0, i anual = 1, i anual = 1,1268 i anual = 12,68% Note que de fato a taxa efetiva não era 12% ao ano, e sim 12,68% ao ano. Mas hoje a lei proíbe que os bancos divulguem a taxa nominal e, sim, a efetiva. Então muito cuidado quando você encontrar essa informação na questão: com capitalização mensal. IMPORTANTE!!! ROTEIRO DE CÁLCULO DA TAXA EFETIVA 1 ) Trazer a taxa nominal para o período de capitalização utilizando o conceito de taxas proporcionais (taxa efetiva no regime de juros simples) assim ao trazer para a taxa de capitalização, aí a taxa já virou efetiva. 2 ) Daí com o valor da taxa efetiva em mãos é só calcular a taxa equivalente para o período em que está a taxa nominal utilizando o regime de juros compostos. OBSERVAÇÃO!!! Lembre-se que CAPITALIZAR significa incorporar ao capital os juros. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Num contrato de financiamento consta que a taxa de juros é de 24% ao ano com capitalização mensal. Calcule a taxa efetiva mensal e anual. 23

24 02. Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a uma taxa de 36% ao ano com capitalização trimestral durante 15 meses. Calcule o montante obtido. 4) EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS EM JUROS COMPOSTOS Dois ou mais capitais representativos em certa data dizem-se equivalentes quando, a certa taxa de juros, produz resultados iguais numa data comum. Na equivalência de capitais a juros compostos vamos usar as seguintes fórmulas: M = C. 1 + i n C = M 1 + i n EXEMPLOS R$1.000,00 hoje é R$1.210,00 daqui a dois meses são equivalentes a uma taxa de juros compostos de 10% a.m. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Uma pessoa tem de pagar três parcelas no valor de R$1.000,00 cada uma, que vencem todo dia 05 dos próximos três meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 05 do terceiro mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros compostos de 4% ao mês. 24

25 02. (AFRF 2005) Ana quer vender um apartamento por R$ ,00 à vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ ,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (JUROS COMPOSTOS) 01. Qual o montante obtido por um capital de R$ 2.000,00, quando aplicado à taxa de 5% a.m. num período de 10 meses, no regime de juros compostos? a) R$3.000,00 b) R$3.068,00 c) R$3.123,00 d) R$3.186,00 e) R$3.257, Uma pessoa aplicou um capital de R$ 2.000,00 no regime de juros compostos a uma taxa de 3% ao mês e obteve no final um montante de R$ 3.209,40. Qual o prazo desta aplicação da aplicação? a) 15 meses b) 16 meses c) 17 meses d) 18 meses e) 20 meses 03.(ESAF/AFCE-98) Obtenha o capital que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 (aproxime o resultado para reais). a) R$625,00 b) R$630,00 c) R$636,00 d) R$650,00 e) R$676, (CEF/2004) Um capital de R$ 500,00 foi aplicado a juro simples por 3 meses, à taxa de 4% ao mês. O montante obtido nessa aplicação foi aplicado a juros compostos por 2 meses à taxa de 5% ao mês. Ao final da segunda aplicação, o montante obtido era de a) R$ 560,00 b) R$ 585,70 c) R$ 593,20 d) R$ 616,00 e) R$ 617,40 25

26 05.(GEFAZ MG-2005) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros compostos de 8% ao trimestre aumenta 100%? a) 12,5 b) 12 c) 10 d) 9 e) 8 Devemos procurar o fator mais próximo de 2 na coluna dos 8% na tabela 01 e vamos acha-lo na linha do n=9 06.(AFTN/ESAF) Uma pessoa tem um compromisso de R$ ,00 para ser pago daqui a 2 anos. Admitindo-se a taxa de juros compostos de 18% ao ano, com capitalização quadrimestral, a pessoa deve depositar hoje, para poder honrar o compromisso, a importância de: a) R$ ,30 b) R$ ,20 c) R$ ,50 d) R$ ,20 e) R$ , Sobre Matemática Financeira, considere as seguintes afirmativas: I) O capital que, aplicado a juros compostos durante 12 meses, à taxa de 4% ao mês, atinge o montante de R$ 1.000,00 é x (1,04) -12. II) A taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal é de ((1,01) 12 1).100% III). A taxa anual equivalente a taxa mensal de 5%, juros compostos, é (1,05) % IV) À taxa de juros simples de 6% a.a., o valor presente de uma dívida de R$20.600,00, a vencer em 6 meses, é de exatamente R$ V) Qualquer importância aplicada a juros simples de 5%a.a. dobrará em 20 anos. O número de afirmativas verdadeiras é: a) 01 b) 02 c) 03 d) 04 e) (AFTN/ESAF) Uma financeira diz cobrar em suas operações uma taxa de juros compostos de 40% ao ano, capitalizados trimestralmente. Nessas condições, a taxa de juros efetiva anual que esta sendo cobrada ao devedor é de: a) 46,41% b) 47,26% c) 48,23% d) 49,32% e) 40,00% 26

27 09. (CEF2008) 10. (CEF2008) Qual a taxa efetiva semestral, no sistema de juros compostos, equivalente a uma taxa nominal de 40% ao quadrimestre, capitalizada bimestralmente? (A) 75,0% (B) 72,8% (C) 67,5% (D) 64,4% (E) 60,0% 11.Determine a taxa de juros mensal que deve ser aplicada a um capital de R$ 5.000,00 para se obter, no regime de juros compostos, um montante de R$ 8.569,00 em 7 meses. a) 6% b) 7% c) 8% d) 9% e) 10% 12.(AFRF/ESAF) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. 27

28 a) 12,6825%. b) 12,5508%. c) 12,4864%. d) 12,6162%. e) 12,3600%. 13.(ESAF/AFCE-98) Obter a taxa anual equivalente a taxa mensal de 5%, juros compostos, com aproximação de uma casa decimal. a) 60,0% b) 69,0% c) 74,9% d) 77,2% e) 79,6% 14. Sobre Matemática Financeira, considere as seguintes afirmativas: I) Será indiferente para um investidor, uma aplicação, com vencimento em dois anos, que lhe renda juros simples de 10%a.a. e outra, com idêntico prazo que lhe renda juros compostos de 8%a.a. II) Se, em dado momento, a importância de R$100,00 é aplicada a juros compostos de 4%a.a., capitalizados anualmente, ao final de dois anos terá rendido a importância de R$8,16 de juros. III) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal de 20% ao ano, capitalizadas semestralmente. Sendo assim assinale a alternativa correta: a) Somente a afirmativa I é falsa. b) Somente a afirmativa II é verdadeira. c) Somente a afirmativa III é verdadeira. d) Todas as afirmativas são falsas. e) Todas as afirmativas são verdadeiras. 15. (ESAF/AFRF-2005) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ ,00 pagando 30% à vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for efetuado até seis meses à taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ ,00 no final do quinto mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 16.(ESAF/AFRF-2005) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida no regime de juros compostos que deveria ser quitada em duas parcelas, todas com vencimento durante o ano de Uma parcela de R$ 2.000,00 com vencimento no final de junho e outra de R$ 5.000,00 com vencimento no final de setembro. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No final de fevereiro, a empresa decidiu pagar 50% do total da dívida e o restante no final de dezembro do mesmo ano. Assim, desconsiderando os centavos, o valor que a empresa deverá pagar no final de dezembro é igual a: a) R$ 4.634,00 b) R$ 4.334,00 c) R$ 4.434,00 28

29 d) R$ 4.234,00 e) R$ 5.234, (ESAF/AFRF-2005)Paulo aplicou pelo prazo de um ano a quantia total de R$ ,00 em dois bancos diferentes. Uma parte dessa quantia foi aplicada no Banco A, à taxa de 3% ao mês. O restante dessa quantia foi aplicado no Banco B à taxa de 4% ao mês. Após um ano, Paulo verificou que os valores finais de cada uma das aplicações eram iguais. Deste modo, o valor aplicado no Banco A e no Banco B, sem considerar os centavos, foram, respectivamente iguais a: a) R$ ,00 e R$ ,00 b) R$ ,00 e R$ ,00 c) R$ ,00 e R$ ,00 d) R$ ,00 e R$ ,00 e) R$ ,00 e R$ , (CEF/2008) Júlio fez uma compra de R$ 600,00, sujeita à taxa de juros de 2% ao mês sobre o saldo devedor. No ato da compra, fez o pagamento de um sinal no valor de R$ 150,00. Fez ainda pagamentos de R$ 159,00 e R$ 206,00, respectivamente, 30 e 60 dias depois de contraída a dívida. Se quiser quitar a dívida 90 dias depois da compra, quanto deverá pagar, em reais? a) 110,00 b) 108,00 c) 106,00 d) 104,00 e) 102, A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O valor de i é aproximadamente: a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22 GABARITO: e b A e d a d* a e 1 B c a E a e d e e d * Na questão 07, apenas a afirmativa III é falsa. 29

30 30

31 ESTUDO DOS DESCONTOS 1) DEFINIÇÃO DE DESCONTOS Chamamos de valor nominal (M) de um título, o valor definido para ele na sua data de vencimento. A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento geralmente envolve um desconto (D) pelo pagamento antecipado. O valor nominal do título abatido deste desconto gera o que nós chamamos de valor atual (C) do título. Ou seja: M = C + D e C = M D LEGENDA: M : Valor nominal; C : Valor atual; D: Desconto; i: taxa de desconto; n: tempo ou prazo de antecipação. 2) DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU POR DENTRO É a modalidade de desconto onde os juros são calculados sobre o valor atual (C). No desconto racional simples vamos usar as seguintes fórmulas, que você deve observar que são, na verdade, as mesmas usadas em juros simples com o desconto(d) no lugar dos juros (J): D r = C. i. n ; M = C. 1 + i. n C = M (1+i.n) OBSERVAÇÃO: A palavra racional significa que utilizaremos o princípio da equivalência de capitais no regime de juros simples. 31

32 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Um cheque pré-datado de valor nominal R$6.000,00 será descontado quatro meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto racional simples de 5 % a.m.. Qual o valor atual do cheque? a) R$5400,00 b) R$5000,00 c) R$4800,00 d) R$4200,00 e) R$4000, Qual o prazo de antecipação de um título de valor nominal R$2.100,00 que descontado racionalmente a uma taxa de 8% a.m. no regime de juros simples gera um valor atual de R$1.500,00? a) 5 meses b) 6 meses c) 8 meses d) 10 meses e) 12 meses 03.Qual a taxa mensal de desconto simples por dentro de uma letra cujo valor nominal é de R$1.600,00 e que foi descontada 8 meses antes do vencimento gerando um líquido de R$1.250,00? a) 2% b) 2,5% c) 3% d) 3,5% e) 7,5% 32

33 04. Uma empresa tem uma divida de R$9.000 que vence daqui a dez meses e outra de R$6.500 que vence em quinze meses com o mesmo credor. Ela resolve então acertar com o credor um pagamento único hoje utilizando uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês. Calcule o valor deste pagamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 3) DESCONTO COMERCIAL SIMPLES, BANCÁRIO OU POR FORA É a modalidade de desconto onde os juros são calculados sobre o valor nominal. No desconto comercial vamos usar as seguintes fórmulas: D c = M.i.n e C = M - D As fórmulas abaixo são derivadas das fórmulas de cima, contudo não são muito necessárias. C = M. (1 i.n ) e M = C / (1 i.n ) OBSERVAÇÃO!!! Esse tipo de desconto é um desconto ladrão e todo mundo acha ele lógico, mas em termos de matemática financeira, ele não tem nada de lógico. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Um cheque pré-datado de valor nominal R$6.000,00 será descontado quatro meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto comercial simples de 5 % a.m.. Qual o valor atual do cheque? a) R$5400,00 b) R$5000,00 c) R$4800,00 d) R$4200,00 e) R$4000,00 33

34 02.Qual a taxa mensal de desconto simples por fora de um título cujo valor nominal é de R$3.200,00 e que foi descontada 10 meses antes do vencimento gerando um líquido de R$2.560,00? a) 2% b) 2,5% c) 3% d) 4,5% e) 7,5% 03. Uma empresa tem uma divida de R$7.000 que vence daqui a quatro meses e outra de R$7.500 que vence em seis meses com o mesmo credor. Ela resolve então acertar com o credor um pagamento único hoje utilizando uma taxa de desconto comercial simples de 3% ao mês. Calcule o valor deste pagamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) NRA 4) TAXA DE JUROS EFETIVA NO DESCONTO COMERCIAL SIMPLES É a taxa de juros que aplicada ao valor atual do título(c), gera no período considerado um montante igual ao valor nominal(m). OBSERVAÇÃO!!! Calcula tudo que tiver que calcular e no final RECALCULA apenas a taxa como se fosse desconto racional. 34

35 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01.Um indivíduo dispõe de um cheque pré-datado de valor nominal de R$ 5.000,00 e vai resgatá-lo no regime de desconto comercial simples de 2% ao mês. Se a data de vencimento é daqui a 10 meses então qual é a taxa efetiva dessa operação? 02.Um cheque pré-datado no valor de R$10.000,00 será descontado cinco meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto simples por fora de 7,5% a.m.. Qual a taxa de juros simples efetiva desta operação? a) 10% a.m. b) 12% a.m. c) 15% a.m. d) 20% a.m. e) 25% a.m. 35

36 5) RELAÇÃO ENTRE DESCONTO COMERCIAL SIMPLES E DESCONTO RACIONAL SIMPLES Do desconto racional, obtemos: D r = C. i. n (I) e C = M 1+i.n (II) Substituindo (II) em (I), obtemos: D r = M 1+i.n. i. n D r = M.i.n 1+i.n (III) Sabemos que de desconto comercial, temos: D c = M. i. n Sendo assim, notamos que de (III), teremos: D r = M.i.n 1+i.n D r = D c 1+i.n D c = D r (1 + i. n) Logo, podemos demonstrar que é valida a seguinte relação entre o desconto comercial e o desconto racional: EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM D c = D r. ( 1 + i.n ) 01.(AFRF 2000) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% a.m. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo. a) R$ 960,00. b) R$ 666,67. c) R$ 973,32. d) R$ 640,00. e) R$ 800, (AFRF 2002)Um título sofre um desconto comercial de R$ 9.810,00 três meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto simples de 3% ao mês. Indique qual seria o desconto à mesma taxa se o desconto fosse simples e racional. a) R$ 9.810,00 b) R$ 9.521,34 c) R$ 9.500,00 d) R$ 9.200,00 e) R$ 9.000,00 36

37 6) DESCONTO RACIONAL COMPOSTO OU POR DENTRO É a modalidade de desconto onde os juros são calculados a partir do valor atual utilizando as noções de equivalência de capitais a juros compostos. No desconto racional composto vamos usar as seguintes fórmulas, que você deve observar que são, na verdade, as mesmas usadas em juros compostos com o desconto (D) no lugar dos juros(j): D r = M C ; M = C. (1 + i) n C = M (1+i) n OBSERVAÇÕES!!! É o tipo de desconto praticado no mercado. Todo desconto racional é fundamentado pela equivalência de capitais. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01.Um cheque pré-datado de valor nominal R$10.000,00 será descontado três meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto racional composto de 5% a.m.. Qual o valor atual do cheque? a) R$ 8.500,00 b) R$ 8.373,75 c) R$ 8.638,38 d) R$ 7.996,11 e) R$ 7.800, (AFRF 2002) Um título sofre um desconto composto racional de R$ 6.465,18 quatro meses antes do seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês. a) R$ ,72 b) R$ ,72 c) R$ ,00 d) R$ ,90 e) R$ ,18 37

38 03. Uma empresa tem uma divida de R$ que vence daqui a um ano e outra de R$ com vence em 3 anos com o mesmo credor. Ela resolve então acertar com o credor um pagamento único daqui a 2 anos utilizando uma taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. Calcule o valor mais próximo deste pagamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 7) DESCONTO COMERCIAL COMPOSTO OU POR FORA É a modalidade de desconto onde os juros são calculados a partir do valor nominal, na forma de descontos sucessivos. No desconto comercial composto vamos usar as seguintes fórmulas: C = M. (1 i ) n ; M = C / (1 i ) n e D = M C OBSERVAÇÃO!!! O custo-benefício de lembrar de mais uma fórmula não compensa, pois se lembrar que esse tipo de desconto segue o princípio de descontos sucessivos já é suficiente para resolver qualquer questão. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01.Um cheque pré-datado de valor nominal R$ 5.000,00 será descontado seis meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto comercial composto de 10% ao trimestre. Qual o valor atual do cheque? a) R$ 4.000,00 b) R$ 4.050,00 c) R$ 4.132,00 d) R$ 4.166,67 e) R$ 4.189,37 38

39 02. (CEF/Cesgranrio) Um título de valor nominal R$ ,00 será descontado dois meses antes do vencimento, com taxa composta de desconto de 10% ao mês. Sejam D o valor do desconto comercial composto e d o valor do desconto racional composto. A diferença D d, em reais, vale (A) 399,00 (B) 398,00 (C) 397,00 (D) 396,00 (E) 395,00 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (DESCONTOS) 01.Um cheque pré-datado de valor nominal R$3000,00 será descontado dois meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto racional simples de 10% a.m.. Qual o valor atual do cheque? a) R$2700,00 b) R$2500,00 c) R$2400,00 d) R$2100,00 e) R$2000, Uma empresa tem uma divida de R$7.040 que vence daqui a cinco meses e outra de R$7.500 com vence em dez meses com o mesmo credor. Ela resolve então acertar com o credor um pagamento único hoje utilizando uma taxa de desconto racional simples de 2% ao mês. Calcule o valor deste pagamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Um cheque pré-datado de valor nominal R$3000,00 será descontado dois meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto simples por fora de 10% a.m.. Qual o valor atual do cheque? a) R$2700,00 b) R$2500,00 c) R$2400,00 d) R$2100,00 e) R$2000, (ESAF/SEFAZ-2006) Uma dívida no valor de R$ ,00 vence dentro de quatro meses. Calcule a redução da dívida se ela for paga hoje com um desconto comercial simples a uma taxa de 2,5% ao mês. a) R$ 2 400,00 b) R$ 2 300,00 c) R$ 2 200,00 d) R$ 2 100,00 e) R$ 2 000,00 39

40 05. (TTN-94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples de 10% ao ano, vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional(por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$635,50, o valor nominal do titulo era de: a) R$ 6.510,00 b) R$ 6.430,00 c) R$ 6.590,00 d) R$ 5.970,00 e) R$ 6.240, (ESAF/AFTN-1998) O desconto comercial simples de um título, quatro meses antes do seu vencimento, é de R$ 600,00. Considerando uma taxa de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. a) R$ 400,00 b) R$ 800,00 c) R$ 500,00 d) R$ 700,00 e) R$ 600, (ESAF/BACEN-2001) Um titulo deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00, três meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou a uma troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês. a) R$ 500,00 b) R$ 540,00 c) R$ 560,00 d) R$ 600,00 e) R$ 620, (ESAF/Aud. de Trib. Mun.-Fortaleza-2003) Um titulo no valor nominal de R$ ,00 sofre um desconto comercial simples de R$1800,00, três meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa mensal de desconto aplicada. a) 6% b) 5% c) 4% d) 3,3% e) 3% 09. (ESAF/AFPS-2002) Um titulo no valor nominal de R$10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00, três meses antes do seu vencimento. Todavia, uma negociação levou a uma troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090, (AFRE MG/2005) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto de 20% por uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de desconto mensal da operação, considerando um desconto simples por dentro. a) 6,25% b) 6% c) 4% d) 5% e) 5,5% 11. (AFC-STN/2005) Marcos descontou um titulo 45 dias antes do seu vencimento e recebeu R$ ,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano. Assim, o valor nominal do titulo e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são, respectivamente, iguais a: a) R$ ,00 e 3,4% ao mês; b) R$ ,00 e 5,4% ao mês; 40

41 c) R$ ,00 e 64,8% ao ano; d) R$ ,00 e 60% ao ano; e) R$ ,00 e 5,4% ao mês; 12.Um cheque pré-datado será descontado dois meses antes da data de vencimento com uma taxa de desconto simples por fora de 10% a.m.. Qual a taxa de juros simples efetiva desta operação? a) 10% a.m. b) 12,5% a.m. c) 15% a.m. d) 20% a.m. e) 25% a.m. 13. (ESAF/AFTN) Um comercial paper com valor de face de US$ ,00 e vencimento daqui a três anos, deve ser resgatado hoje. A uma taxa de juros compostos de 10% ao ano e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate. a) US$ ,80 b) US$ ,00 c) US$ ,00 d) US$ ,00 e) US$ , (ESAF/AFTN) João foi a um banco e descontou uma nota promissória de R$ ,00, 6 meses antes do seu vencimento. Admitindo-se que tenha recebido um liquido de R$ ,04 e o regime adotado seja o desconto racional composto, a taxa de juros anual é de: a) 75,36% b) 79,59% c) 89,83% d) 90,21% e) 91,76% 15. (ESAF/ATE-MS-2001) Um título é descontado por R$ 4.400,00, quatro meses antes do seu vencimento. Obtenha o valor de face do título, considerando que foi aplicado um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês(despreze os centavos). a) R$ 4.400,00 b) R$ 4.725,00 c) R$ 4.928,00 d) R$ 4.952,00 e) R$ 5.000, Uma promissória de valor nominal R$ ,00 é descontada três anos antes do seu vencimento a uma taxa de desconto comercial composto de 20% ao ano. Obtenha o valor de resgate. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,59 d) R$ ,00 e) R$ , (ESAF/Aud. de Trib. Mun.-Fortaleza-1998) Uma dívida no valor de R$ ,00 vence hoje, enquanto outra no valor de R$ ,00 vence em 6 meses. À taxa de juros compostos de 4% ao mês e considerando um desconto racional, obtenha o valor da dívida equivalente às duas anteriores, com vencimento ao fim de 3 meses, desprezando os centavos. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , Uma empresa tem uma divida de R$ que vence daqui a um ano e outra de R$ com vence em 3 anos com o mesmo credor. Ela resolve então acertar com o credor um pagamento único daqui a 2 anos utilizando uma taxa de desconto racional composto de 2% ao mês. Calcule o valor deste pagamento. 41

42 a) R$ ,00 b) R$ ,28 c) R$ ,54 d) R$ ,72 e) R$ , (AFRF-2002) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes do seu vencimento. Calcule o desconto obtido, considerando-o racional composto de taxa 3% ao mês. a) R$ 100,80 b) R$ 105,43 c) R$ 112,46 d) R$ 100,00 e) R$ 107, Um comerciante possui um cheque pré-datado no valor de R$ ,00 para daqui a quatro meses e vai desconta-lo a uma taxa de 5% ao mês. Com relação a modalidade de desconto utilizada a melhor e a pior opção para o comerciante são, respectivamente,... a)... o desconto racional composto e o desconto comercial simples. b)... o desconto racional composto e o desconto comercial composto. c)... o desconto comercial composto e o desconto racional simples. d)... o desconto racional simples e o desconto comercial composto. e)... o desconto racional simples e o desconto comercial simples. 21. (AFRF 2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ ,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a: a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (ESAF/SEFAZ-CE-2007) Uma empresa desconta um título no valor nominal de R$ ,00 quatro meses antes do seu vencimento por meio de um desconto racional composto calculado à taxa de 3% ao mês. Calcule o valor mais próximo do valor do desconto. a) R$ ,20. b) R$ ,00. c) R$ ,10. d) R$ ,33. e) R$ , Uma promissória com vencimento para daqui a 2 anos foi descontada hoje utilizando uma taxa de desconto comercial composto de 20% ao ano. Sabendo que o valor do desconto foi de R$ 2.880,00, determine o valor nominal da promissória. a) R$ 4.500,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 6.500,00 d) R$ 7.500,00 e) R$ 8.000, (TTN 89) Utilizando o desconto racional simples, o valor que devo pagar por um título com vencimento daqui a 6 meses, se o seu valor nominal for de R$29.500,00, e eu desejar ganhar 36% ao ano, é de: 42

43 a) R$24.000,00 b) R$25.000,00 c) R$27.500,00 d) R$18.880,00 e) R$24.190, (BNB2004) Uma família comprou uma geladeira nova, a prazo, em prestações iguais, com juros. Assinale a alternativa CORRETA. a) para um mesmo valor de prestação, o valor presente das prestações diminui quando a taxa de juros aumenta. b) no momento da compra, o valor presente da última prestação é igual ao valor presente da primeira prestação. c) o valor das prestações será maior se for dado um sinal no momento da compra. d) o valor das prestações não depende da taxa de juros. e) o valor das prestações não depende da quantidade de parcelas. 26. (BNB2003) José tomou emprestado R$ ,00 a um banco, pretendendo saldar a dívida após 2 anos. A taxa de juros simples combinada foi de 30% a.a. Qual o menor valor com o qual José pagaria a dívida 5 meses antes do vencimento combinado, sem prejuízo para o banco, se nesta época a taxa de juros simples anual fosse de 24% e fosse utilizado o desconto simples racional? A) R$ ,00 B) R$ ,00 C) R$ ,00 D) R$ ,45 E) R$ ,00 Gabarito: b e c e a c a e b 1 a b b a b d b b b b 2 e b b e b a d ESTUDO DAS RENDAS CERTAS (ANUIDADES) 1) FLUXO DE CAIXA Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo. EXEMPLOS Uma pessoa pega um empréstimo de R$ 6.000,00 e o banco pediu para pagar em 7 parcelas de R$ 1.000,00. Observe abaixo a representação no fluxo de caixa dessa operação por diagrama. 43

44 Observe abaixo a representação do fluxo de caixa na Tabela. DATA VALOR OBSERVAÇÃO!!! O sinal negativo na tabela significa saída, já em diagrama a saída é representada pela seta para baixo. CLASSIFICAÇÃO DO FLUXO DE CAIXA 1 ) DE ACORDO COM A OCORRÊNCIA DAS PARCELAS: ANTECIPADOS: As parcelas vencem no início de cada período, daí a 1ª parcela ocorre na data zero. (Paga antes de usufruir: Aluguel, academia etc) POSTECIPADOS: As parcelas vencem no final de cada período, daí a 1ª parcela ocorre na data 1. (Paga após usufruir: Restaurante, salário etc) DIFERIDOS: A 1ª parcela não ocorre nem na data zero nem na data 1. (è um fluxo de caixa que há um período de carência, exemplo: Financiamento para uma abertura de empresa que inicia pagamento daqui a 2 anos, daí esse prazo de carência é para a empresa se capitalizar e conseguir pagar as custas.).. 2 ) DE ACORDO COM A PERIODICIDADE DOS PAGAMENTOS: PERIÓDICOS: Tem período de tempos constantes (ex.: pagamentos e recebimentos mensais.). NÃO PERIÓDICOS: Tem período de tempo variáveis. (ex.: empréstimo com uma tia e aí paga hoje, depois paga daqui a 3 meses, depois de 5 meses paga outra e assim sucessivamente.) 44

45 3 ) DE ACORDO COM O VALOR DAS PARCELAS: CONSTANTE: As parcelas são fixas. VARIÁVEL: As parcelas são variáveis. OBSERVAÇÕES!!! Fluxo de caixa UNIFORME é quando ele é periódico e constante. A princípio nós vamos trabalhar com um modelo padrão de fluxo de caixa que é o fluxo Postecipado, Periódico e Constante. 2) VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS/RECEBIMENTOS UNIFORME Considere uma série uniforme postecipada com n parcelas de valor P, considerada a uma taxa de juros compostos i ao período (observe que a unidade de tempo da taxa deve estar de acordo com a periodicidade dos pagamentos). O valor atual C desta série de pagamentos será dado por: C P P P P P P n - 2 n - 1 n Utilizando equivalência de capitais no regime de juros compostos vai trazer todos esses valores para data zero. P P P P C... ou C = P. a 1 i 2 3 n n i, (1 i) (1 i) (1 i) Onde a n i é chamado de fator de valor atual de uma série de pagamentos e é encontrado nas tabelas financeiras. Ou então pode ser calculado pela fórmula: a n i = 1 (1 i) i OBSERVAÇÃO!!! n A depender do concurso não precisa saber essa fórmula por que esse fator já pode vim numa tabela. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Uma pessoa tem de pagar dez parcelas mensais no valor de R$ 1.000,00 cada uma, sendo que a primeira deve ser paga no dia 10/05/10 e a última no dia 10/02/11. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 10/04/10 para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros compostos de 4% ao mês. ( dado: (1,04) -10 = 0,676 ) 45

46 02. O preço de um carro a vista é de R$ ,00. Uma pessoa comprou este carro financiando todo o valor em 12 parcelas mensais iguais, sendo a primeira paga no ato da compra. Sabendo que o financiamento foi feito a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano com capitalização mensal, calcule o valor de cada prestação. ( dado: (1,02) -11 = 0,804 ) 03. Um empresário tomou um empréstimo no BNDES no valor de R$ ,00 a uma taxa de 7% ao semestre para ser pago em 5 prestações semestrais, vencendo a primeira 2 anos após o recebimento do dinheiro. Calcule o valor de cada prestação. a) R$ ,25 b) R$ ,65 c) R$ ,45 d) R$ ,15 e) R$ , (AFRF 2005) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos. Uma entrada de R$ ,00 e uma parcela de R$ ,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6% ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a: (Dado: (1,06) 2 = 0,89) a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 46

47 3) MONTANTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTOS UNIFORMES Considere uma série uniforme postecipada com n parcelas de valor P, considerada a uma taxa de juros compostos i ao período (observe que a unidade de tempo da taxa deve estar de acordo com a periodicidade dos pagamentos). O Montante M desta série de pagamentos na data n será dado por: M P P P P P P n - 2 n - 1 n M P.(1 i) n 1 P.(1 i) n 2... P.(1 i) P ou M = P. S n i, Onde S n i é o fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos e é encontrado nas tabelas financeiras. Ou então pode ser calculado pela fórmula: S n i = ( 1 i) n 1 i OBSERVAÇÕES!!! Note que o objetivo dessa parte do conteúdo é levar todas as parcelas para o último pagamento ou recebimento, contudo no conteúdo anterior era levar a série de pagamento para a data zero. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Uma pessoa tem de pagar dez parcelas no valor de R$ 1.000,00 cada uma, que vencem todo dia 10 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o credor um pagamento único equivalente no dia 10 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este pagamento considerando juros compostos de 3% ao mês. ( dado: (1,03) 10 = 1,345 ) 02. Uma pessoa está planejando uma viagem para ver as Olimpíadas de Londres 2012 e deseja, para realizar esta viagem, ter R$ ,00 no dia 10/03/12. Ela resolve então fazer 20 depósitos mensais iguais, numa aplicação que rende juros compostos de 1% ao mês, sendo o primeiro no dia 10/08/10 e o último no dia 10/03/12. Qual deve ser o valor, sem considerar os centavos, de cada depósito? ( dado: (1,01) 20 = 1,220 ) 47

48 a) R$ 1.328,00 b) R$ 1.363,00 c) R$ 1.407,00 d) R$ 1.454,00 e) R$ 1.529, (AFRF 2003)Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ ,00 DESAFIO!!! 04. (SEFAZ RJ 2008 FGV) Considerando uma taxa de juros de 0,5% ao mês, quanto, aproximadamente, uma família deve investir mensalmente, durante 18 anos, para obter a partir daí uma renda mensal de R$ 1.000,00, por um período de 5 anos? (Utilize, se necessário: 1, = 0,74 ; 1, = 0,34 e 1, = 2,94.) (A) R$ 260,00. (D) R$ 252,00 (B) R$ 740,00. (E) R$ 134,00 (C) R$ 218,00. GABARITO: E 48

49 4) VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL) DE UM FLUXO DE CAIXA O valor presente líquido de um fluxo de caixa é o valor atual de todos os recebimentos (entradas) menos o valor atual de todos os pagamentos (saídas) do fluxo de caixa. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Qual o valor presente líquido do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros compostos de 15% ao ano? Ano Valor Obtenha, entre as opções dadas, o valor mais próximo do valor presente líquido (VPL) do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. ( Dado (1,1) 10 = 0,386) Ano 0 1 a 9 10 Valor a) R$ 7.830,00 b) R$ 5.150,00 c) Zero d) R$ 5.150,00 e) R$ 7.830,00 49

50 5) TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR) DE UM FLUXO DE CAIXA A taxa interna de retorno é a taxa que torna o VPL do fluxo de caixa igual a zero, ou seja, é a taxa que faz com que o valor atual dos pagamentos se iguale ao valor atual dos recebimentos. OBSERVAÇÃO!!! Não é necessário calcular na data zero, ou seja, o valor atual de entrada pode ser levada para qualquer data e o valor atual de saída deve ser levada para mesma data e assim haverá uma equivalência de capitais. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Qual a taxa interna de retorno do seguinte fluxo de caixa mensal? Mês Valor (CEF2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Período (anos) Valor (Milhares de reais) -410 P P Para que a taxa interna de retorno anual seja 5%, o valor de P, em milhares de reais, deve ser a) 216,5 b) 217,5 c) 218,5 d) 219,5 e) 220,5 03. (CEF2008) A tabela abaixo apresenta o fluxo de caixa de um certo projeto. Valor (Milhares de reais) Período (anos) A taxa interna de retorno anual é igual a: a) 10% b) 12% c) 15% d) 18% e) 20% 50

51 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (RENDAS CERTAS) 01. (ESAF/SEFAZ-CE-2006) Uma pessoa compra um carro usado por R$ ,00, dá R$ 5 000,00 de entrada e financia o restante em doze prestações mensais iguais, vencendo a primeira dentro de um mês e assim sucessivamente. Considerando uma taxa nominal de 24% ao ano com capitalização mensal, calcule o valor mais próximo da prestação. a) R$ 1 667,00 b) R$ 1 700,00 c) R$ 1 822,00 d) R$ 1 891,00 e) R$ 1 915, (ESAF/SEFAZ-CE-2006) Uma anuidade é composta por dezoito pagamentos mensais de R$ 8.530,20, vencendo o primeiro pagamento ao fim de um mês e uma outra anuidade é composta por dez pagamentos mensais de R$ ,51, vencendo o primeiro pagamento também ao fim de um mês. Calcule o valor mais próximo da taxa de juros mensal em que estas duas anuidades seriam equivalentes. a) 1% b) 2% c) 3% d) 4% e) 5% 03. (ESAF/SEFAZ-PI-2001) Uma operação de financiamento de capital de giro no valor de R$ ,00 deverá ser liquidada em 12 prestações mensais e iguais com carência de quatro meses, ou seja, o primeiro pagamento só se efetuará ao final do quarto mês. Sabendo que foi contratada uma taxa de juros de 4% ao mês, então o valor de cada uma das prestações será igual a: a) R$ 5.856,23 b) R$ 5.942,83 c) R$ 6.230,00 d) R$ 6.540,00 e) R$ 7.200, (ESAF/Aud. de Trib. Mun.-Fortaleza-1998) Um indivíduo financiou parte da compra de um automóvel, em 24 prestações mensais fixas de R$ 590,00. Decorridos alguns meses, ele deseja fazer a quitação do financiamento. Dado que foi acertado com o financiador que a liquidação do saldo devedor se dará no momento do vencimento da 12 a prestação e que a taxa de juros é de 3% ao mês, calcule a quantia devida para quitar o saldo devedor, sem contar o valor da prestação que vence no dia e desprezando os centavos. a) R$ 4.410,00 b) R$ 5.000,00 c) R$ 5.282,00 d) R$ 5.872,00 e) R$ 6.462,00 51

52 05. (ESAF/ Aud. do Tes. Mun.-Recife-2003) Um financiamento no valor de R$ ,00 é obtido a uma taxa nominal de 12% ao ano para ser amortizado em oito prestações semestrais iguais, vencendo a primeira prestação seis meses após o fim de um período de carência de dois anos de duração, no qual, os juros devidos não são pagos mas se acumulam ao saldo devedor. Calcule a prestação semestral do financiamento, desprezando os centavos. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRF 2002) Na compra de um carro em uma concessionária no valor de R$ ,00, uma pessoa dá uma entrada de 50% e financia o saldo devedor em doze prestações mensais a uma taxa de 2% ao mês. Considerando que a pessoa consegue financiar ainda o valor total do seguro do carro e da taxa de abertura de crédito, que custam R$ 2.300,00 e R$ 200,00, respectivamente, nas mesmas condições, isto é, em doze meses e a 2% ao mês, indique o valor que mais se aproxima da prestação mensal do financiamento global. a) R$ 1.405,51 b) R$ 1.418,39 c) R$ 1.500,00 d) R$ 1.512,44 e) R$ 1.550, (AFRF-2002) Um país captou um empréstimo por intermédio do lançamento de uma certa quantidade de bônus no mercado internacional com valor nominal de US$ 1, cada bônus e com doze cupons semestrais no valor de US$ cada cupom, vencendo o primeiro ao fim do primeiro semestre e assim sucessivamente até o décimo segundo semestre, quando o país deve pagar o último cupom juntamente com o valor nominal do título. Considerando que a taxa de risco do país mais a taxa de juros dos títulos de referência levou o país a pagar uma taxa final de juros nominal de 14% ao ano, obtenha o valor mais próximo do preço de lançamento dos bônus, abstraindo custos de intermediação financeira, de registro etc. a) US$ 1, b) US$ c) US$ d) US$ e) US$ (AFRF-2002) Considerando a série abaixo de pagamentos no fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos. Ano Valor a) 2.208,87 b) 2.227,91 c) 2.248,43 d) 2.273,33 52

53 e) 2.300, (AFRF-2002) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ ,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRF-2002) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de cada mês e que elas renderiam juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (AFRF-2002) Calcule o valor mais próximo do valor atual no início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$ 2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período. a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (ESAF/AFTN) O pagamento de um empréstimo no valor de R$1.000,00 será efetuado por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo. O valor da referida prestação, em reais, será de: a) / 6 b) x 2,31306 c) / 3, d) / 8, e) / 2, (ESAF/AFTN) João pretende comprar um imóvel cujo preço é de R$ ,00. Não dispondo de recursos suficientes, o vendedor propõe-lhe a venda financiada com 30% de entrada e 12 prestações iguais e sucessivas de R$ ,54. Nessas condições, a taxa de juros mensais, compostos, pretendida pelo vendedor é de: a) 5% b) 6% c) 10% d) 12% e) 15% 53

54 14. (ESAF/AFTN) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ ,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa é de 4% ao mês e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês? a) R$ ,00 / 15, b) R$ ,00 / ( 12 x 1,48 ) c) R$ ,00 / 9, d) R$ ,00 / (12 x 1, ) e) R$ ,00 / Paulo aplicou R$ ,00 a juros compostos, capitalizados mensalmente, e depois de 18 meses tinha R$ ,92. João quer ter a mesma soma, no final do mesmo período, à mesma taxa de juros compostos, mas desembolsando quantias iguais no final de cada mês. Nessas condições, os depósitos devem ser de: a) R$ 8.258,39 b) R$ 8.554,62 c) R$ 8.682,50 d) R$ 8.838,75 e) R$ 8.995, (ESAF/AFRF-00) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$ 1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações são feitas ao fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos). a) R$ ,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ , (ESAF/AFRF-00) Uma pessoa faz uma compra financiada em doze prestações mensais e iguais de R$ 210,00. Obtenha o valor financiado, desprezando os centavos, a uma taxa de juros compostos de 4% ao mês, considerando que o financiamento equivale a uma anuidade e que a primeira prestação vence um mês depois de efetuada a compra. a) R$ 3.155,00 b) R$ 2.048,00 c) R$ 1.970,00 d) R$ 2.530,00 e) R$ 2.423, (ESAF/BACEN-01) Um financiamento no valor de US$ ,00 possui um período de carência de pagamento de dois anos, seguido pelo pagamento semestral do financiamento, vencendo a primeira prestação seis meses após o término da carência. Calcule a prestação semestral, desprezando os centavos, considerando a taxa de juros nominal de 16% ao ano, com capitalização semestral, um prazo total para o financiamento de dez anos, incluindo a carência, e considerando que, durante a carência, os juros devidos não são pagos, mas se acumulam ao saldo devedor do financiamento. a) US$ ,00 b) US$ ,00 c) US$ ,00 d) US$ ,00 e) US$ , (ESAF/BACEN-01) Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. Ano 0 1 a 10 Fluxo a) 5% ao ano b) 7% ao ano c) 7,5% ao ano d) 9% ao ano 54

55 e) 10% ao ano 20. Obtenha o valor mais próximo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa abaixo. Ano Valor a) 7% ao ano b) 8% ao ano c) 9% ao ano d) 10% ao ano e) 12% ao ano 21. Obtenha, entre as opções dadas, o valor mais próximo do valor presente líquido (VPL) do seguinte fluxo de caixa, considerando uma taxa de juros compostos de 10% ao ano. Ano 0 1 a 9 10 Valor a) R$ 4.300,00 b) R$ 2.100,00 c) Zero d) - R$ 2.100,00 e) - R$ 4.300, (CEF2004) O preço à vista de um computador é R$ 2.200,00. Ele pode ser comprado a prazo com uma entrada de R$ 368,12 e o restante pago em 5 parcelas mensais, iguais e consecutivas, a primeira delas vencendo ao completar 30 dias da data da compra. Se, no financiamento, os juros são compostos à taxa de 3% ao mês, o valor de cada uma das prestações será (A) R$ 380,00 (B) R$ 390,00 (C) R$ 400,00 (D) R$ 410,00 (E) R$ 420, O preço de um carro a vista é de R$ ,00. Uma pessoa comprou este carro dando uma entrada de 70% do valor a vista e financiando o restante em 12 parcelas iguais e postecipadas. Sabendo que o financiamento foi feito a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, calcule o valor de cada prestação. a) R$ 1.134,71 b) R$ 1.187,35 c) R$ 1.254,24 d) R$ 1.305,57 e) R$ 1.398,28 55

56 24.(BNB2007) GABARITO: D c b d a b d c b 1 d D c d a b e c d e 2 c E c a e 1 (1 i) Fator de valor atual de uma série de pagamentos a n i = i n Fator de acumulação de capital de uma série de pagamentos S n i = ( 1 i) n 1 i 56

57 1) DEFINIÇÕES BÁSICAS ESTUDO DOS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam, basicamente, da forma pela qual o principal e os juros serão pagos ao credor do capital. Uma característica importante dos sistemas de amortização é a utilização exclusiva do regime de juros compostos. No nosso estudo sobre estes sistemas precisamos de alguns conceitos básicos que são: Amortização (A k ) A amortização refere-se exclusivamente ao pagamento do principal. Vamos chamar de A k a amortização contida na prestação k. Saldo devedor (S k ) Representa o valor da dívida em determinado momento. O saldo devedor S k representa o valor da divida logo após o pagamento da prestação k e será obtido pela fórmula S k = S k 1 A k. O valor do empréstimo vamos chamar de S o = E. (Quem diminui saldo devedor é a amortização, juros não diminue.) Juros(J k ) Serão obtidos pelo produto da taxa pelo saldo devedor gerado logo após o pagamento da prestação P k 1, ou seja : J k = i. S k 1. Prestação(P k ) É composta pela soma de amortização com juros : P k = A k + J k. Planilha Financeira É uma planilha onde vamos colocar, para todos os períodos, a prestação, os juros, a amortização e o saldo devedor. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01.Um empréstimo de R$6.000,00, realizado no regime de juros compostos a taxa de 10% ao semestre, será pago em quatro prestações semestrais, sendo a primeira de R$ 1.600,00, a segunda de R$2.000,00, a terceira de R$1.850,00 e a quarta com o valor necessário para quitar o empréstimo.construa a planilha financeira referente ao empréstimo e calcule o valor da última prestação. K Prestação (P k ) Amortização (A k ) Juros (J k ) Saldo devedor (S k ) TIPOS DE AMORTIZAÇÕES 2) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO FRANCÊS (SAF). O sistema de amortização francês estipula que as prestações devem ser fixas, periódicas e sucessivas. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, estes são decrescentes e como as prestações são fixas então as amortizações são crescentes em progressão geométrica. No SAF vamos usar as seguintes fórmulas: 57

58 E = P. a n i CARACTERÍSTICAS: Nesse sistema as prestações são fixas, periódicas e sucessivas. OBSERVAÇÃO!!! Esse sistema é também conhecido como SISTEMA PRICE ou TABELA PRICE. EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Um empréstimo de R$3.790,79, realizado no regime de juros compostos, será pago em cinco prestações anuais iguais e postecipadas. Sabendo que a taxa de juros do empréstimo é de 10% a.a., calcule o valor da prestação e construa a planilha financeira referente ao pagamento do empréstimo. K Prestação (P k ) Amortização (A k ) Juros (J k ) Saldo devedor (S k ) IMPORTANTE!!! Note que no sistema francês as prestações são fixas, mas as amortizações são crescentes. Além disso, as amortizações formam uma PG de razão (1+i), então temos que: A K = A 1. (1 + i) K 1 Essa fórmula acima serve para achar amortizações numa determinada prestação. Por outro lado se quisermos saber o saldo devedor de um determinado período basta utilizarmos a fórmula. S k = P. a n - k i (n-k representa o número de prestações que faltam pagar.) Vejamos os exercícios a seguir. 58

59 02. Um financiamento no valor de R$50.000,00 é amortizado em 15 parcelas mensais de R$3891,27 pelo sistema francês. A taxa de juros contratada é de 2% ao mês. Portanto o valor da amortização e dos juros referentes a décima prestação valem, respectivamente: a) R$2.891,27 e R$1000,00 b) R$3.246,87 e R$644,40 c) R$3.387,59 e R$503,68 d) R$3.455,34 e R$435,93 e) R$3.524,44 e R$366, Na compra de um carro uma pessoa deu uma entrada e financiou o saldo restante em 12 parcelas mensais no valor de R$2.000 cada. Sabendo que o financiamento foi feito no regime de juros compostos com uma taxa de 3% ao mês, calcule o saldo devedor do financiamento logo após o pagamento da oitava prestação. a) R$7.142,07 b) R$7.002,16 c) R$6.962,25 d) R$7.434,20 e) R$7.820,02 IMPORTANTE!!! Existe uma linguagem que é muito importante que é a taxa Price e seu significado é fundamental para resolução de algumas questões. Vejamos exemplo abaixo. (Que ficará como desafio) Um automóvel importado no valor R$ ,00 deverá ser pago em 18 prestações mensais, a uma taxa de juros de 48% ao ano, tabela Price. Determine o valor da prestação. GABARITO: R$ 7.899,33 3) SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC). O sistema de amortizações constantes, como o próprio nome indica, é um sistema onde as amortizações do principal são sempre iguais. O valor da amortização pode ser facilmente calculado dividindo-se o valor do empréstimo pelo número de prestações. Como os juros incidem sobre o saldo devedor, estes são decrescentes e como as amortizações são fixas então as prestações são decrescentes em progressão aritmética. No SAC vamos usar as seguintes fórmulas: A = E / n S k = E k. A J k = i. S k 1 P k = A k + J k 59

60 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01. Um financiamento no valor de R$9.000,00 é amortizado em 6 parcelas mensais pelo sistema de amortizações constantes. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês. Construa a planilha financeira referente ao pagamento do financiamento. k Prestação (P k ) Amortização (A k ) Juros (J k ) Saldo devedor (S k ) Um financiamento no valor de R$60.000,00 é amortizado em 40 parcelas mensais pelo sistema de amortizações constantes. A taxa de juros contratada é de 5% ao mês. Calcule o valor da trigésima prestação. a) R$2250,00 b) R$2325,00 c) R$2400,00 d) R$2475,00 e) R$2500, Uma grande empresa contrata um financiamento de US$ ,00 junto a um banco americano para amortizá-lo em 20 prestações anuais pelo sistema de amortizações constantes.sabendo que a taxa de juros do contrato é de 10% ao ano, calcule o montante total que será pago pelo financiamento. a) US$ ,25 b) US$ ,00 c) US$ ,00 d) US$ ,95 e) US$ ,00 4) SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO (SAA). O sistema americano estabelece que a amortização do empréstimo seja feita de uma vez só no final do período contratado e os juros pagos periodicamente. Ou seja, neste sistema em todas as prestações, excetuando a última, a amortização é nula e o valor da prestação é igual aos juros sobre o valor do empréstimo. E a última prestação é igual aos juros mais o valor total do empréstimo. A 1 = A 2 = = A n 1 = ZERO A n = E 60

61 EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM 01.Um empréstimo de R$20.000,00, realizado no regime de juros compostos, será pago em cinco prestações anuais pelo sistema americano. Sabendo que a taxa de juros do empréstimo é de 20% ao ano, construa a planilha financeira referente ao pagamento do empréstimo. K Prestação (P k ) Amortização (A k ) Juros (J k ) Saldo devedor (S k ) Um País toma um empréstimo em um banco internacional no valor de 10 Milhões de dólares que será pago em 10 parcelas anuais pelo sistema americano. Sabendo que a taxa de juros do contrato é de 6% ao ano, calcule o montante total pago pela dívida. a) 16 Milhões de dólares b) 15,4 Milhões de dólares c) 15,236 Milhões de dólares d) 15 Milhões de dólares e) 14,4 Milhões de dólares 03.Para um empréstimo de R$ 5.000,00, contratado no regime de juros compostos, com uma taxa de 1,25% ao mês e que será pago em 12 prestações mensais, um cliente esta em dúvida sobre o sistema de amortização que vai escolher: SAF, SAC ou SAA. Sobre estas opções considere as seguintes afirmativas: I) No SAC o montante total pago pela dívida será menor que no SAF e no SAA. II) No SAA o montante total pago pela dívida será maior que no SAF e no SAC. III) No SAC a primeira prestação é maior que no SAF e no SAA. IV) No SAF as amortizações crescem em progressão geométrica. V) No SAC as prestações decrescem em progressão aritmética. O número de afirmativas verdadeiras é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS (AMORTIZAÇÕES) 01. (ESAF/SEFAZ-CE-2006) Um financiamento deve ser pago em dezoito prestações mensais de R$1000,00, vencendo a primeira prestação ao fim de trinta dias e assim sucessivamente. Dado que a taxa de juros do financiamento é de 1% ao mês, calcule o valor mais próximo dos juros pagos na primeira prestação. a) R$ 164,00 b) R$ 214,00 61

62 c) R$ 260,00 d) R$ 300,00 e) R$ 328, (ESAF/Aud. de Trib. Mun.-Fortaleza-1998) Uma compra no valor de R$ 500,00 deve ser paga com uma entrada à vista de 20% e o saldo devedor restante em 5 prestações mensais iguais, a uma taxa de 5% ao mês, vencendo a primeira prestação em 30 dias. Embutida nesta primeira prestação mensal, existe uma amortização do saldo devedor, aproximada em reais, de a) R$ 72,00 b) R$ 75,00 c) R$ 77,00 d) R$ 78,00 e) R$ 80, Um financiamento no valor de R$30.000,00 é amortizado em 10 parcelas mensais pelo sistema francês. A taxa de juros contratada é de 3% ao mês. Portanto o valor da amortização e dos juros referentes a terceira prestação valem, respectivamente: a) R$2.776,29 e R$740,63 b) R$2.872,52 e R$644,40 c) R$3.387,59 e R$129,33 d) R$3.155,34 e R$415,93 e) R$3.024,44 e R$566, Um financiamento no valor de R$8.000,00 é amortizado em 16 parcelas mensais pelo sistema de amortizações constantes. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês. Calcule o valor da décima prestação. a) R$620,00 b) R$640,00 c) R$660,00 d) R$680,00 e) R$700, (CEF/2004) Uma dívida no valor de RS 3.600,00 foi amortizada em 8 parcelas mensais, com taxa de 4% ao mês pelo Sistema de Amortização Constante (SAC) e a primeira prestação foi paga ao completar 30 dias da data do empréstimo. O saldo devedor, logo após o pagamento da quarta prestação, era de (A) R$ 2.260,00 (B) R$ 1.350,00 (C) R$ 1.500,00 (D) R$ 1.750,00 (E) R$ 1.800, (CEF/2008) Um empréstimo de R$ 200,00 será pago em 4 prestações mensais, sendo a primeira delas paga 30 dias após o empréstimo, com juros de 10% ao mês, pelo Sistema de Amortização Constante (SAC). O valor, em reais, da terceira prestação será (A) 50,00 (B) 55,00 (C) 60,00 (D) 65,00 (E) 70, (BNB2007) 62

63 Gabarito: 01.a 02.a 03.a 04.b 05.e 06.c 07.a 63

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