REITORIA Profª. Ms. Cristina Nitz da Cruz. COORDENAÇÃO GERAL Prof. Ms. Leonardo Nunes Evangelista. DESIGN INSTRUCIONAL Sandra Regina Pinto Pestana

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1 V I R T U A L Equipe EAD REITORIA Profª. Ms. Cristina Nitz da Cruz COORDENAÇÃO GERAL Prof. Ms. Leonardo Nunes Evangelista DESIGN INSTRUCIONAL Sandra Regina Pinto Pestana DESIGN GRÁFICO Etthnã Wholwisk Ramos Martins João Mário Chaves Júnior PROGRAMAÇÃO Luan Pereira Nascimento COORDENAÇÃO DO CURSO DE ADMINISTRAÇÃO À DISTÂNCIA Prof. Ms. José Carlos Belo Rodrigues Jr. EAD Equipe EAD

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3 V I R T U A L Apresentação Olá estudante! Seja bem-vindo (a) Você está iniciando mais uma disciplina do curso de Administração na modalidade a distância. Trata-se da disciplina de Matemática Financeira. Muitas pessoas crescem lendo as histórias do Tio Patinhas, criação de Walt Disney, desenhista norte americano. Nelas, o personagem do Tio Patinhas curte sua fortuna, guardada a sete chaves em seu cofre. No mundo real, no entanto, poucas pessoas estão dispostas a agir como Tio Patinhas. Longe disso, quem tem dinheiro disponível nem pensa em guardá-lo consigo. Procura alguma maneira de empregá-lo de forma a obter mais dinheiro, seja na aquisição de bens, seja no mercado financeiro, ou, simplesmente, emprestando-o à terceiros. Tudo isso é feito a partir de um princípio básico: quem empresta dinheiro a alguém espera recebê-lo, depois de certo tempo, acrescido de uma quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro. Essa quantia adicional cobrada a título de aluguel do dinheiro emprestado é o que chamamos de juro. Nos estudos de Economia, aprende-se que os recursos (fontes) são limitados, e as necessidades infinitas. Entre essas necessidades, encontram-se os recursos financeiros, cada vez mais valorizados e disputados entre as empresas e pessoas. Quem administra esses recursos deve conhecer os mecanismos básicos que a Matemática Comercial e Financeira coloca à disposição para o trato seguro, transparente e honesto com o cliente. Portanto, o objetivo deste material é auxiliar o trabalho, permitindo que o aluno compreenda esses mecanismos de forma reflexiva, prática e crítica. Vou apresentar conceitos e teorias que envolvem a temática da disciplina, organizando os conteúdos em 7 módulos e da seguinte forma: Módulo I Juros e Capitalização simples. Nesse módulo vou apresentar os seguintes conteúdos: Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros; Juro Comercial e Juro Exato; Capitalização Simples; Montante e Valor Atual. Módulo II Capitalização Composta. Nesse módulo vou trabalhar com a Capitalização Composta, abordando o Montante e Valor Atual para Pagamento Único. Módulo III O Estudo das Taxas. Nesse módulo vou abordar: Taxa nominal, taxas promocionais, taxas equivalentes e taxa real de juros. Módulo IV Os Descontos. Nesse módulo vou trabalhar com os descontos, abordando conceitos e tipos de descontos. Módulo V Rendas. Nesse módulo vou apresentar os seguintes conteúdos: As rendas certas, classificação e séries de pagamentos e cálculo de taxas. Apresentação

4 Apresentação Módulo VI Sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos. Nesse módulo vou abordar: Sistema Francês de Amortização, Sistema de Amortização Constante e Sistema de Amortização Americano. Módulo VII Análise de projetos e decisões de investimentos. Nesse módulo vou trabalhar as técnicas para análise de investimentos, período de payback, valor presente líquido e taxa interna de retorno. A proposta deste material é apresentar um trabalho didático, prático e com conteúdos significativos à sua formação. Ao final de cada módulo você encontrará as atividades de aprendizagem, que consistem em exercícios teóricos e práticos que permite que você pratique tudo aquilo que foi estudado. Seja bem-vindo (a) ao processo pela busca do saber, onde você é um sujeito ativo e o professor um mediador, e que juntos, possamos estabelecer uma cumplicidade valorizada por curiosidade, motivação e exigência, propiciando a finalidade principal do ensino universitário: o exercício da crítica na pesquisa, no ensino e na extensão. Lembro que todas as orientações para a formatação e uniformização dos trabalhos acadêmicos estão apresentadas e seguem os critérios da ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, através das Normas Brasileiras Regulamentadoras - NBR s (Referências) e (Citações), como aqueles definidos pelo UNICEUMA. Bons estudos! Professor Conteudista Kleverton Viana

5 V I R T U A L Sumário APRESENTAÇÃO MÓDULO I - JUROS E CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1 Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros Taxa de Juros Juro Comercial e Juro Exato Capitalização Simples...11 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Montante e Valor Atual...14 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS...15 ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...17 COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES...19 MÓDULO II - CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 1 Capitalização Composta: Montante e Valor Atual para Pagamento Único...26 Exercícios Resolvidos...30 ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...31 COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES...33 MÓDULO III O ESTUDO DAS TAXAS 1 Taxa nominal Taxas Promocionais...40 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Taxas Equivalentes...42 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Nominal e Efetiva (ou real)...44 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Taxa Real de Juros...46 ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...47 COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES...49 MÓDULO IV OS DESCONTOS 1. Conceitos Desconto comercial simples...54 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Desconto racional simples...58 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Desconto composto Desconto racional composto...60 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Desconto comercial composto...63 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Equivalência de Capitais...65 Sumário

6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS...66 ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...70 COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES...72 Sumário MÓDULO V - RENDAS 1 Rendas Certas Classificação das Séries de Pagamentos Séries Uniformes de Pagamentos Séries Uniformes de Pagamentos Postecipadas Dada a Prestação (PMT), Achar o valor Presente (PV) Dado o Valor Presente (PV), Achar a Prestação (PMT) Dado o Valor Futuro (FV), Achar a Prestação (PMT) Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n) Dado o Valor Futuro (FV), Calcular o Prazo (n) Cálculo da Taxa (i) Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV) Série Uniforme de Pagamentos Antecipados Dada a Prestação(PMT), Calcular o Valor Presente (PV) Dado o Valor Presente (PV), Calcular a Prestação (PMT) Dado o Valor Presente (PV), Calcular o Prazo (n) Dada a Prestação (PMT), Calcular o Valor Futuro (FV) Dado o Valor Futuro (FV), Calcular a Prestação (PMT) Cálculo da Taxa (i) Cálculo da Prestação (PMT) Cálculo do Prazo (n) Série Uniforme de Pagamento Diferida Cálculo do Valor Presente (PV)...97 ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM...99 COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES MÓDULO VI - SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS 1. Conceitos Sistema Francês de Amortização (Sfa) Sistema de Amortização Constante (Sac) Sistema de Amortização Americano (Saa) ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES MÓDULO VII - ANÁLISE DE PROJETOS E DECISÕES DE INVESTIMENTOS 1 Técnicas para Análise de Investimentos Período de Payback VPL (Valor Presente Líquido) Taxa Interna de Retorno (TIR) ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES REFERÊNCIAS...127

7 V I R T U A L Módulo Juros e Capitalização Simples

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9 V I R T U A L Objetivo Nesse módulo você iniciará os estudos de Matemática Financeira a partir da análise e reflexão de conceitos básicos visando compreender os juros e a capitalização simples. Objetivo

10 Matemática Financeira 1 Conceitos de Juro, Capital, Prazo e Taxa de Juros O Juro é a remuneração que o tomado de um empréstimo deve pagar ao dono do capital como compensação pelo uso do dinheiro. Indica-se o juro por (J). Para a determinação do juro envolvido em uma certa operação financeira, alguns fatores merecem destaque especial. Quanto ao capital considera-se que em Matemática Financeira, refere-se à qualquer valor expresso em dinheiro e disponível em uma determinada data. O capital que dá início à uma dada operação financeira é chamado de capital inicial ou principal. Indicaremos o capital inicial por C. O prazo é o tempo que decorre desde o início até o final de uma dada operação financeira. O prazo é contado em períodos de tempo, sendo o menor deles o dia (dia, mês, bimestre, trimestre, quadrimestre, semestre, ano, etc.). Indicaremos o prazo por N. Considera-se que na prática, o prazo pode ser a partir de duas convenções: Prazo exato: é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual os dias são contados pelo calendário, isto é, o mês pode ter 28 dias (fev.), 29 dias (fev., em anos bissextos, como em 1996, 2000, 2004, etc.), 30 dias (abr., jun., set., nov.) ou 31 dias (jan., mar., mai., jul., ago., out., dez.) ; e o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos). Prazo comercial (ou aproximado): é o que leva em conta o chamado ano comercial, isto é, aquele em que o mês (qualquer que seja ele), é considerado como tendo 30 dias e o ano (qualquer que ele seja), 360 dias. 1.1 Taxa de Juros É a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período financeiro e o capital inicial. A taxa de juro refere-se sempre à um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao bimestre (ab), ao semestre (as), ao ano (aa) etc. Indicaremos a taxa de juro por (i). A taxa de juro (i) costuma apresentar-se, principalmente, de duas maneiras, que são: Forma percentual: representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo. São exemplos: i = 30% am (lê-se: 30 por cento ao mês) i = 0,5% ad (lê-se: meio por cento ao dia) Forma unitária: (ou centesimal) representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo. São exemplos: I = 0,3 am i = 0,005 ad 10

11 Curso à Distancia de Graduação em Administração 1.2 Juro Comercial e Juro Exato Nas operações financeiras em que o prazo é contado em dias, o juro obtido recebe uma denominação especial, dependendo do tipo de prazo que se considera. Juro comercial: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério do prazo comercial, isto é, considera-se em todos os meses 30 dias. Juro exato: é aquele que se obtém contando-se o número de dias pelo critério exato, isto é, aquele que considera os dias do mês conforme foram concebidos no calendário. Observação: Nos exercícios desta apostila, a não ser nos casoss indicados, considera-se sempre o juros comercial simples. 1.3 Capitalização Simples Observação: Nos exercícios desta apostila, a não ser nos casos indicados, considera-se sempre o juros comercial simples. Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial e que portanto não incide sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo, ou seja, se quiser converter a taxa diária em mensal, basta multiplicá-la por 30; se desejar uma taxa anual, tendo a mensal, basta multiplicá-la por 12, e assim por diante. O valor dos juros é obtido através da expressão: J = c. i. n em que: J = valor de juros c = valor do capital inicial ou principal i = taxa da de juros n = prazo Fórmulas: Juros: J = c. i. n Taxa: Período = Prazo: Capital: 11

12 Matemática Financeira EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ ,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? Dados: c = ,00 i = 3% ao mês n = 5 meses J =? Solução: J = c i n J = ,00 0,03 5 = 1.500,00 2. Um capital de R$ ,00 aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determine a taxa correspondente. Dados: c = ,00 n = 7 meses J = 7.875,00 i=? Solução: J = c i n i = J = 7.875,00 = 0,45 ou 4,5 ao mês c n , Uma aplicação de R$ ,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 8.250,00. Indaga-se: Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? Observação: Dados: c = ,00 n = 180 dias J = 8.250,00 i =? Solução: i = J c x n Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for em meses, a taxa será mensal; se em trimestres, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. i = 8.250,00 = 0, , ou 0,091667% ao dia , Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. Dados: c = 7.500,00 i = 8% ao trimestre j = 6.000,00 n =? Solução: J = c i n n = J c x n n = 6.000,00 = 6.000,00 = 10 trimestres, ou 2,5 anos ,00 0,08 600,00 12

13 Curso à Distancia de Graduação em Administração 5. Qual o capital que, à taxa de 4% ao mês, rende juros de R$ 9.000,00 em 1 ano? Dados: J = 9.000,00 i = 4% ao mês n = 1 ano = 12 meses c =? Solução: J = c i n c = J i x n c = 9.000,00 = 9.000,00 = ,00 0, , Um empréstimo de ,00 é liquidado por ,00 no final de 152 dias. Calcule a taxa mensal de juros. Dados: c = ,00 n = 152 dias m = ,00 montante final i =? (taxa mensal) Solução: J = c x i x n i = J c x n J = m - c = , ,00 = i = 6.200,00 = 0, ,00 x 152 ou 0,1773% ao dia (porque o prazo está expresso em número de dias) Taxa mensal = im = 0,1773% x 30 = 5,32% 7. Calcule o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ ,00, feita a uma taxa de 4,94% ao mês, pelo prazo de 76 dias. Dados: c = ,00 n = 76 dias m =? i = 4,94% ao mês J =? Solução: J = c x i x n J = 20.00,00 x 0,0494 x 76 = 2.502,93 30 m = P + J = , ,93 = ,93 13

14 Matemática Financeira 1.4 Montante e Valor Atual O montante (ou valor futuro), indicado por m, é igual à soma do capital inicial mais os juros referentes ao período da aplicação. Logo: m = c + J m = c + c x i x n, visto que J = c x i x n Fórmulas: Montante Final: m = c (1 + i. n) Capital: c = m 1 + i x n Taxa: m - 1 i = c x 100 i Período / Prazo: m - 1 i = c i 14

15 Curso à Distancia de Graduação em Administração EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Calcule o montante da aplicação de um capital de R$ 8.000,00, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 3% ao mês. Dados: c = 8.000,00 Solução: m =? n = 12 meses i = 3% ao mês m = c (1 + i. n) m = 8.000,00 (1 +0,03 x 12) = 8.000,00 x 1,36 = ,00 2. Determine o valor atual de um título cujo valor de resgate é de R$ ,00, sabendo que a taxa de juros é de 5% ao mês e que faltam quatro meses para o seu vencimento. Dados: m = ,00 Solução: n = 4 meses i = 5% ao mês c =? 3. Um empréstimo de R$ ,00 deverá ser quitado por R$ ,00 no final de 12 meses. Determine as taxas mensal e anual cobradas nessa operação. Dados: m = ,00 c = ,00 n = 12 meses i =? Solução: m = c (1 + i x n) ,00 = ,00 (1 + i x 12) 2 = 1 + i. 12 i = 1 = 0,0833 ou 8,33% ao mês 12 Taxa anual = 12 x 0,0833 = 1,00 ou 100% 15

16 Matemática Financeira 4. Em que prazo uma aplicação de R$ ,00 pode gerar um montante de R$ ,00, considerando-se uma taxa de 30% ao ano? Dados: m = ,00 Solução: c = ,00 i = 30% ao ano n =? J = m c J = , ,00 = ,00 n = J = ,00 = 1,75 ano, ou 21 meses. c x i ,00 x 0,30 16

17 Curso à Distancia de Graduação em Administração ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM Prezado estudante, resolva as seguintes atividades sobre juros simples: 1. Determine quanto receberá um capital de R$ ,00 aplicado à taxa de 24% ao ano durante sete meses. 2. Um capital de R$ ,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ ,00. Determine a taxa anual. 3. Durante 155 dias foi gerado um montante de R$ ,00. Sabendo que a taxa de juros é de 4% ao mês, determine o valor do capital aplicado. 4. Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ ,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? 5. Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de R$ ,00, sabendo que a taxa de juros é de 27% ao semestre? 6. Em quanto tempo um capital de R$ 800, 00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00? 7. Um capital de R$ 50.00,00 foi aplicado no dia e resgatado em Sabendo que a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcule o valor dos juros, considerando o número de dias efetivo entre as duas datas. 8. Ao fim de quanto tempo o capital de R$ ,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ ,00 de juros? 9. Obteve-se um empréstimo de R$ ,00, para ser liquidado por R$ ,00 no final de 8 meses e meio. Qual a taxa de juros anual nessa operação? 10. Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? 11. A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor? 12. Um capital emprestado gerou R$ ,00 de juros. Sabendo que o prazo da aplicação foi de 13 meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcule o valor do montante. 13. Em quantos dias um capital de R$ ,00 produzirá juros de R$ ,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? 14. Determine o capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 no final de um ano e meio, aplicado a taxa de 15% ao trimestre. 17

18 Matemática Financeira 15. A aplicação de R$ ,00 gerou um montante de R$ ,00 no final de nove meses. Calcule a taxa anual. 16. Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. 17. Determine o montante correspondente a uma aplicação de R$ ,00 por 225 dias, à taxa de 5,6% ao mês. 18. Calcule o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de R$ ,00. 18

19 Curso à Distancia de Graduação em Administração COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Na Atividade de nº 1 Resposta: R$ 8.400,00 Um capital de R$ ,00 aplicado à uma taxa de 24% ao ano por um período de sete meses recebe R$ 8.400,00 de juros. Na Atividade de nº 2 Resposta: 60% a.a A taxa anual de um capital de R$ ,00, que foi aplicado durante 8 meses e que rendeu juros de R$ ,00, é de 60% a.a (sessenta por cento ao ano). Na Atividade de nº 3 Resposta: R$ ,42 O capital aplicado foi de R$ ,42 que com uma taxa de juros mensal de 4% por um período de 155 dias gera um montante de R$ ,00. Na Atividade de nº 4 Resposta: R$ ,48 O valor dos juros é de R$ ,48. Na Atividade de nº 5 Resposta: R$ ,00 Um empréstimo de R$ ,00 com uma taxa de juros semestral de 27% por um período de cinco meses e 18 dias corresponde ao valor de R$ ,00. Na Atividade de nº 6 Resposta: 250 dias ou 8,333 meses Um capital de R$ 800, 00 aplicado à uma taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de R$ 1.000,00 em um período de 250 dias ou 8,333 meses. Na Atividade de nº 7 Resposta: R$ ,22 O valor dos juros é de R$ ,22. 19

20 Matemática Financeira Na Atividade de nº 8 Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias O tempo que um capital de R$ ,00, aplicado à uma taxa de 5% ao mês, precisa para produzir R$ ,00 de juros é de 9,3 meses ou 279 dias. Na Atividade de nº 9 Resposta: 66% ao ano A taxa de juros anual de um empréstimo de R$ ,00, liquidado por R$ ,00 no final de 8 meses e meio é de 66% ao ano. Na Atividade de nº 10 Resposta: 2,0833 anos ou 25 meses Um capital aplicado à 48% ao ano dobra o seu valor em um período de 2,0833 anos ou 25 meses. Na Atividade de nº 11 Resposta: 2,5% ao mês Um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual a 1/4 do seu valor com uma taxa de juros de 2,5% ao mês. Na Atividade de nº 12 Resposta: R$ ,00 O valor do capital aplicado com uma taxa de juros de 6% ao mês, gerando um juros de R$ ,00 em treze meses, é de R$ ,00. Na Atividade de nº 13 Resposta: 128 dias Um capital de R$ ,00 produz um juros de R$ ,77 à uma taxa mensal de 5,4% em um período de 128 dias. Na Atividade de nº 14 Resposta: R$ ,00 O capital necessário para gerar, em um ano e meio, R$ ,00 aplicado à uma taxa de 15% ao trimestre, é de R$ ,00. Na Atividade de nº 15 Resposta: 84% ao ano A taxa anual dessa aplicação é de 84%, para que R$ ,00 gere um montante de R$ ,00 no final de nove meses. 20

21 Curso à Distancia de Graduação em Administração Na Atividade de nº 16 Resposta: R$ 285,71 O valor dos juros que gera um montante de R$ 1.000,00 em um período de oito meses e com uma taxa mensal de 5% é de R$ 285,71. Na Atividade de nº 17 Resposta: R$ ,00 Uma aplicação de R$ ,00 por 225 dias, à uma taxa de 5,6% ao mês corresponde à um valor de R$ ,00. Na Atividade de nº 18 Resposta: R$ ,00 O capital necessário para produzir um montante de R$ ,00 é de R$ ,00, aplicado à uma taxa mensal de 6,2% e por um período de 174 dias. 21

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23 V I R T U A L Módulo Capitalização Composta

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25 V I R T U A L Objetivo Nesse módulo você ampliará os conhecimentos construídos no módulo anterior sobre a capitalização simples, com a finalidade de compreender a capitalização composta. Objetivo

26 Matemática Financeira 1 Capitalização Composta: Montante e Valor Atual para Pagamento Único Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sobre o capital inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior. Neste regime de capitalização, o valor dos juros cresce em função do tempo. O conceito de montante é o mesmo definido para capitalização simples, ou seja, é a soma do capital aplicado ou devido mais o valor dos juros correspondentes ao prazo da aplicação ou da dívida. taxa. A simbologia é a mesma já conhecida, ou seja, m indica o montante, c o capital inicial, n o prazo e i a A dedução da fórmula do montante para um único pagamento é um pouco mais complexa que aquela já vista para a capitalização simples. Para facilitar o entendimento, supõe-se o seguinte problema: Calcule o montante de um capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, durante 5 meses. Dados: c= 1.000,00 n= 5 meses i= 4% ao mês m=? Como ainda não há uma fórmula para a solução fácil e rápida desse problema, e sabendo que a taxa de juros para cada período unitário incide sobre o capital inicial mais os juros acumulados, calcula-se o montante da forma mais primária possível. Representa-se por m t (t= 1, 2, 3, 4, 5) o valor do montante no final de cada período unitário, que nesse exemplo é o mês. O quadro a seguir permite a visualização clara do cálculo do montante, mês a mês. MÊS (t) CAPITAL NO INICIO DO MÊS (Ct) JUROS CORRESPONDENTES AO MÊS (Jt) , ,00 x 0,04 = 40, , , ,00 x 0,04 = 41, , , ,60 x 0,04 = 43, , , ,86 x 0,04 = 45, , , ,86 x 0,04 = 46, ,65 MONTANTE NO FINAL DO MÊS (Mt) Portanto, o valor do montante no final de cada mês constitui-se no capital inicial do mês seguinte. Entretanto, essa forma de cálculo é extremamente trabalhosa e demorada. Nesse sentido sugere-se uma fórmula que permita um cálculo mais fácil e rápido, partindo do desenvolvimento anterior, mas sem que sejam efetuadas as operações de multiplicação e soma, apenas usando a propriedade distributiva do produto em relação à soma. m 0 = 1.000,00 m 1 = 1.000,00 + 0,04 x 1.000,00 = 1.000,00 (1 + 0,04) = 1.000,00 (1,04) 1 26

27 Curso à Distancia de Graduação em Administração m 2 = 1.000,00 (1,04) + 0,04 x 1.000,00 (1,04) = 1.000,00 (1,04) (1,04) = 1.000,00 (1,04) 2 m 3 = 1.000,00 (1,04) 2 + 0,04 x 1.000,00 (1,04) 2 = 1.000,00 (1,04) 2 (1,04) m 4 = 1.000,00 (1,04) 3 + 0,04 x 1.000,00 (1,04) 3 = 1.000,00 (1,04) 3 (1,04) = 1.000,00 (1,04) 4 m 5 = 1.000,00 (1,04) 4 + 0,04 x 1.000,00 (1,04) 4 = 1.000,00 (1,04) 4 (1,04) = 1.000,00 (1,04) 5 m = C (1+i) n A expressão (1+i) n é chamada fator de capitalização ou fator de acumulação de capital para pagamento simples ou único. Esse fator, que se encontra tabelado para diferentes taxas no Apêndice B, representa o montante para uma unidade de capital, isto é, para P = 1. Exemplo: Calcule o montante de uma aplicação de R$ ,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de 3% ao mês. Dados: c = ,00 N = 6 meses i = 3% ao mês m =? m = c (1+i) n m= ,00 x (1,03)6 = ,78 OBSERVAÇÃO: Para quem não possui uma calculadora que contenha a função potência y x, o valor correspondente à expressão (1,03) 6 pode ser obtido no Apêndice B, na tabela definida para uma taxa de 3%, coluna correspondente ao Fator de Acumulação de Capital (1 + i) n e na linha n = 6, onde encontra-se o valor 1, A solução neste caso seria assim obtida: m = ,00 x 1,19405 = ,75 27

28 Matemática Financeira A diferença de R$ 0,03 deve-se à problemas de arredondamento: enquanto a tabela apresenta o Fator de Acumulação de Capital com cinco casas decimais, as calculadoras normalmente trabalham com um número maior de decimais. O valor atual (ou valor presente) de um pagamento simples ou único, cuja conceituação é a mesma já definida para capitalização simples, tem sua fórmula de cálculo deduzida da fórmula do montante, como segue: m = c (1 + i) n c. m c = m.x 1 (1 + i) n (1 + i) n Em que a expressão 1 é chamada Fator de Valor atual para pagamento simples (ou único). (1 + i) n Esse fator, que também encontra-se tabelado para diferentes taxas no Apêndice B, representa o valor atual para o montante de uma unidade, isto é, para S = 1. Exemplo: No final de dois anos, o Sr. Pedro deverá efetuar um pagamento de R$ ,00 referente ao valor de um empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes à uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? Dados: m = ,00 n = 2 anos = 24 meses i = 4% ao mês c =? c = m 1 (1 + i) n c = ,00 x 1 = ,29 (1, 04) 24 OBSERVAÇÃO: Para quem não possui calculadora com a função y x, o valor correspondente à expressão 1/(1,04) 24 também pode ser obtido no Apêndice B, na tabela correspondente à 4%, coluna correspondente ao Fator de Valor Atual 1/(1 + i) n e na linha n = 24, onde encontra-se o valor de 0, Neste caso, a solução seria obtida como segue: c = ,00 x 0,39012 = ,00 28

29 Curso à Distancia de Graduação em Administração Também neste caso, a diferença de R$ 0,29 deve-se à problemas de arredondamento pelas razões já explicadas. Fórmulas: Juros Compostos Montante: m = C (1 + i) n Capital Inicial: C = m (1 + i) n n Taxa: i = M - 1 x 100 C Período / Prazo: n = Log C M Log (1 + i) Juros: J = C [ (1 + i) n - 1] 29

30 Matemática Financeira EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. A loja Topa Tudo financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ ,00, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ ,61 no final de 8 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? Dados: m = ,61 c = ,00 n = 8 meses i =? 8 8 i = 22753,61-1 x 100 1, x i = 1, x 100 i = 4,49999 % i = 4,5% am 2. Em que prazo um empréstimo de R$ ,00 pode ser quitado em um único pagamento de R$ ,18, sabendo-se que taxa contratada é de 5% ao mês? Dados: log ,18 n = log 1,71034 = 0,23308 log (1+0,05) log (1,05) 0,02118 n = 10,99952 meses n = 11 meses 30

31 Curso à Distancia de Graduação em Administração ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes à aplicação de juros compostos. 1. Determine o montante no final de 10 meses, resultante de aplicações de um capital de R$ ,00 à taxa de 3,75% ao mês. 2. Uma pessoa empresta R$ ,00 hoje para receber R$ ,46 no final de dois anos. Calcule as taxas mensal e anual desse empréstimo. 3. Sabendo-se que taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, determine qual o prazo em que um empréstimo de R$ ,00 será resgatado por R$ , Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 51,107% ao ano, para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses? 5. Uma empresa obtém um empréstimo de R$ ,00 que será liquidado, de uma só vez, ao final de dois anos. Sabendo que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcule o valor pelo qual esse empréstimo deverá ser quitado. 6. Em que prazo uma aplicação de R$ ,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ , Um terreno está sendo oferecido por R$ ,00 à vista ou ,00 de entrada e mais uma parcela de R$ ,00, no final de 6 meses. Sabendo que no mercado a taxa média para aplicação em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de Renda já computado), determine a melhor opção para um interessado que possua recursos disponíveis para comprá-lo. 8. A que taxa de juros um capital aplicado pode ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor? 9. Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% de seu valor, se aplicado à 3,755% ao mês? 10. A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ ,00 no final de 1 ano e 3 meses. Calcule o valor dos juros. 31

32 Matemática Financeira 11. Qual é mais vantajoso: aplicar R$ ,00 por 3 anos, à juros compostos de 3% ao mês, ou aplicar esse valor, pelo mesmo prazo, à juros simples de 5% ao mês? 12. No final de quanto tempo um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: a)no regime de capitalização composta; b)no regime de capitalização simples; 13. Qual o montante produzido pela aplicação de R$ ,00, à taxa de 175% ao ano, pelo prazo de 213 dias? 14. Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias produz um montante de R$ 5.000,00? 15. A aplicação de R$ ,00 proporcionou um resgate de R$ ,56 no final de seis meses. Determine as taxas mensal e anual dessa operação. 16. Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação? 32

33 Curso à Distancia de Graduação em Administração COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Na atividade de nº 1 Resposta: R$ ,39 O montante final de um capital de R$ ,00 aplicado à taxa mensal de 3,75% em um período de 10 meses é de R$ ,39. Na atividade de nº 2 Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano Uma pessoa empresta R$ ,00 hoje para receber R$ ,46 no final de dois anos. A taxa mensal é de 8% e a anual é de 151,817%. Na atividade de nº 3 Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses) O empréstimo será resgatado em um período de 5 trimestres, que corresponde à 15 meses. Na atividade de nº 4 Resposta: R$ ,96 Para ter R$ 1.000,000, 00 no final de 19 meses é preciso aplicar hoje um capital de R$ ,96 à uma taxa de 51,107% ao ano. Na atividade de nº 5 Resposta: R$ ,39 Com uma taxa de juros de 25% ao semestre durante dois anos, um empréstimo de R$ ,00 é liquidado, de uma só vez, pelo valor de R$ ,39. Na atividade de nº 6 Resposta: 9 meses O prazo necessário para que R$ ,00 aplicado à uma taxa de 3,25% ao mês, gere um resgate de R$ ,00, é de 9 meses. Na atividade de nº 7 Resposta: A melhor opção é comprar à prazo. 33

34 Matemática Financeira Na atividade de nº 8 Resposta: 4,162% meses Para que um capital seja resgatado no final de 17 meses, pelo dobro do seu valor é necessário que seja aplicado à uma taxa de juros de 4,162% ao mês. Na atividade de nº 9 Resposta: 11 meses Um capital produz juros iguais à 50% de seu valor quando aplicado à 3,755% ao mês e por um período de 11 meses. Na atividade de nº 10 Resposta: R$ ,79 O valor dos juros de um capital aplicado à uma taxa anual de 69,588% e que gerou um montante de R$ ,00 no final de 1 ano e 3 meses é de R$ ,79. Na atividade de nº 11 Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. Na atividade de nº 12 Respostas: a) 35,35 meses b) 75 meses a) No regime de capitalização composta o tempo necessário para que um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplique seu valor é de 35,35 meses. b) No regime de capitalização simples o tempo necessário para que um capital aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplique seu valor é de 75 meses. Na atividade de nº 13 Resposta: R$ ,08 Um capital de R$ ,00 aplicado à uma taxa anual de 175% e pelo prazo de 213 dias gera um montante de R$ ,08. Na atividade de nº 14 Resposta: R$ 3.584,32 Um capital de R$ 3.584,32 se aplicado à uma taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias irá produzir um montante de R$ 5.000,00. 34

35 Curso à Distancia de Graduação em Administração Na atividade de nº 15 Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano Uma aplicação de R$ ,00 proporcionou um resgate de R$ ,56 no final de seis meses. A taxa mensal é de 7,3% e a anual de 132,91%. Na atividade de nº 16 Resposta: 308 dias Se uma aplicação rende 0,225% ao dia, um investidor poderá receber o dobro do capital aplicado em um período de 308 dias. 35

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37 V I R T U A L Módulo O Estudo das Taxas

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39 V I R T U A L Objetivo Nesse módulo você terá a oportunidade de estudar os principais conceitos teóricos relativos às taxas, visando compreendê-las, identificá-las e diferenciá-las. Objetivo

40 Matemática Financeira 1. Taxa nominal No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as aplicabilidades das taxas de juros do ponto de vista da matemática financeira. É de fundamental importância o conhecimento e a compreensão da existência das taxas nominal e efetiva. Denomina-se taxa nominal quando o prazo de formação, ou incorporação, de juros ao capital (capitalizações), não coincide com o prazo a que se refere a taxa. Neste caso, é comum adotar-se a convenção de que a taxa, por período de capitalização, seja proporcional à taxa nominal. Em outras palavras, a taxa nominal, não pode ser tomada como referência para decisões na contratação de um empréstimo, ou aplicação de recursos. Exemplo: Taxa Nominal de 48% a.a. CAPITALIZAÇÃO Mensal Trimestral Quadrimensal Semestral TAXA EFETIVA 48/12 = 4% a.m. 48/4 = 12% a.t. 48/3 = 16% a.q. 48/2 = 24% a.s. Para o tomador de empréstimos, a melhor opção é o menor n. de capitalizações. Para o investidor, a melhor opção é o maior n. de capitalizações. 1.1 Taxas Promocionais Quando entre duas taxas existe a mesma relação que a dos períodos de tempo a que se referem, elas são proporcionais. Sua utilização é em juros simples. Fórmulas: i a = 360. i d = 12. i m = 6. i b = 4. i t = 3. i q = 2. i s Anual Mensal Trimestral Semestral Diária Bimestral Quadrimestral 40

41 Curso à Distancia de Graduação em Administração EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Determine a taxa anual proporcional à 2% ao mês. Resposta: i a = 12. i m i a = 12. 2% i a = 24%. aa 2. Determine a taxa trimestral proporcional à 39,46% ao ano. Resposta: i e x 4 = i a i e x 4 = 39,46% i e = 39,46/4 i e = 9,87% a t 41

42 Matemática Financeira 1.2 Taxas Equivalentes São aquelas que referindo-se à períodos de tempo diferentes, fazem com que o capital produza um mesmo montante em um mesmo tempo. Taxa Equivalente para juros simples (mesmo que proporcional). Fórmula: i a = 360. i d = 12im = 6. i b = 4. i e = 3. i q = 2.i s Taxa equivalente para juros compostos: Fórmula: (1+i a ) = (1+i d ) 360 = (1+i m ) ¹² = (1+i b ) 6 = (1+i e ) 4 = (1+i q ) 3 = (1 +i s ) 2 42

43 Curso à Distancia de Graduação em Administração EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Encontre uma taxa anual de juros composto, equivalente à 10% as. Resposta: i s = 0,1 (1 + i s ) 2 = 1 + i A (1 + 0,1)² = 1+i A 1 + i A = 1,1² 1 + i A = 1,21 i A = 0,21 0,21 aa ou 21% aa. 2. Encontre a taxa mensal de juro composto, equivalente à 9,2727%at. Resposta: i t = 0, i m =? (1 + i m ) ¹² = (1 + i t ) 4 (1 + i m )³ = 1 + i t (1 + i m ) ³ = 1 + 0, (1 + i m )³ = 1, Pela tabela financeira, temos: (1 + 0,03)³ = i m = 0,03 am ou 3% am (1 + i m )³ = 1 + i t (1 + i m )³ = 1 + 0, (1 + i m )³ = 1, i m = 1, i m = 1,03 i m = 0,03 im = 3% am 43

44 Matemática Financeira 1.3 Nominal e Efetiva (ou real) Quando uma taxa de juros anual é paga em parcelas proporcionais, os juros obtidos no fim do ano não correspondem à taxa oferecida, mas é maior. Desta forma, a taxa oferecida é chamada Nominal, enquanto que a realmente paga é denominada Efetiva. Exemplo: A CEF oferece dinheiro a 6% ao ano, com capitalização semestral: A taxa de 6% ao ano é Nominal. A taxa Efetiva é a taxa anual equivalente a 3% a. semestre = 1,03 (E) 2 (y x ) x = 6,09 a a. Cálculo maq Hp 12 C Fórmula: 1 Passo i a = 360. i d = 12. i m = 6.i b = 4 t = 3.i q = 2.i s 2 Passo (1 + i a ) = (1 + i d ) 360 = (1 + i m ) 12 = (1 + i b ) 6 = (1+ i t ) 4 = (1+ i q )³ 44

45 Curso à Distancia de Graduação em Administração EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Qual a taxa efetiva anual, relativa à taxa de 36% aa, com capitalização mensal? Resposta: i A =? i A = 0,36 aa k = 12 Encontrando a taxa efetiva mensal: i m x 12 = i a i m = ia 12 i m = i A i m = ( 0,36 ) am i m = 0,03 am Encontrando a taxa anual equivalente: (i + i m ) 12 = 1 + i A (1 + 0,03) 12 = 1+i A Pela tábua financeira: (1+00,03) 12 = 1, (1 + 0,03) 12 = 1 + i A 1, = 1 + i A i A = 0, i A = 0,426 0,426 aa ou 42,6% aa 2. No Brasil, as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juro à taxa nominal de 6% aa, com capitalização mensal. Pergunta se: a) Qual a taxa efetiva mensal? b) Qual a taxa efetiva anual? Resposta: a) i m x 12 = i a i m = i a i m = 0,06 im = 0, b) (1 + i m ) 12 = (1 + i A ) (1 + 0,005) 12 = 1 + i A i A = (1+0,005)¹² - 1 i A = 0, ,005 am e 0, aa 45

46 Matemática Financeira 1.4 Taxa Real de Juros A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação à uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro. Considera-se que uma determinada aplicação financeira rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar que o ganho real desta aplicação não foi os 10%, tendo em vista que o rendimento correspondente sofreu uma desvalorização de 8% no mesmo período de tempo; desta forma deve-se encontrar qual o verdadeiro ganho em relação à inflação, ou seja, a Taxa Real de Juros. Fórmula: i r = (1 + i) - 1 x 100 (1 + iinf) Onde: i = representa a taxa de juros; i inf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade; i r = taxa real de juros; Exemplo: Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros. Dados: i r =? Solução: i = 9,5% ao ano i inf = 58% ao ano i r = [(1+0,095) / (1+0,058)] 1 x 100 i r = [(1,095) / (1,058)] 1 x 100 i r = [1, ] 1 x 100 i r = 0, x 100 i r = 3,5% ao ano 46

47 Curso à Distancia de Graduação em Administração ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM Prezado estudante, resolva as seguintes atividades referentes à Taxa de Juros. 1. Encontre a taxa de juros efetiva relativa à cada uma das seguintes taxas nominais: juros compostos. a) 48% aa com capitalização semestral. b) 100% aa com capitalização bimestral. 2. Encontre a taxa anual de juros compostos, equivalente a: a) 40% as b) 30% at Se um capital de 1.000,00 puder ser aplicado à taxas de juros compostos de 10% ao ano, ou 33,1 ao triênio, qual a melhor opção? 4. Calcule a taxa anual equivalente à 10% ao mês. 5. Calcule a taxa mensal equivalente à 0,5% ao dia. 6. Calcule a taxa semestral equivalente à 12% ao bimestre. 7. Calcule a taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre. 8.Calcular a taxa diária equivalente à 12% ao mês. 9. Calcule a taxa mensal equivalente à 100% ao ano. 10. Calcule a taxa anual equivalente à 25% ao mês. 11. Se a taxa média de inflação para os próximos 12 meses for de 15% ao mês, quais as previsões de inflação anual? 12. Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 11% ao ano, e no mesmo período a inflação foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros? 13. Um investimento rendeu 68% em 1 mês, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de: 47

48 Matemática Financeira 14. Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica. Foi calculado que a taxa de retorno deste investimento é de 15,00% ao ano. Sabe-se que esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto se a taxa de inflação do período for de 12,5% ao ano? Considerando a política de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito? 15. Qual a melhor taxa para aplicação: 0,1% ao dia ou 405 ao ano? 48

49 Curso à Distancia de Graduação em Administração COMENTÁRIO DAS ATIVIDADES Na atividade de nº 1 Resposta: a) 53,76% aa b) 152,16% aa a) A taxa de juros efetiva relativa à 48% aa com capitalização semestral é de 53,76% aa. b) A taxa de juros efetiva relativa à 100% aa com capitalização bimestral é de 152,16% aa. Na atividade de nº 2 Resposta: a) 96% aa b) 185,81 aa a) A taxa anual de juros compostos equivalente à 40% as é de 96% aa. b) A taxa anual de juros compostos equivalente à 30% at é de 185,81 aa. Na atividade de nº 3 Resposta: As duas opções são equivalentes. Na atividade de nº 4 Resposta: 213,84%. A taxa anual equivalente à 10% ao mês é de 213,84%. Na atividade de nº 5 Resposta: 16,14% A taxa mensal equivalente à 0,5% ao dia é de 16,14%. Na atividade de nº 6 Resposta: 40,49% A taxa semestral equivalente à 12% ao bimestre é de 40,49%. Na atividade de nº 7 Resposta: 13,55% A taxa quadrimestral equivalente a 10% ao trimestre é de 13,55%. 49

50 Matemática Financeira Na atividade de nº 8 Resposta: 0,378% A taxa diária equivalente à 12% ao mês é de 0,378%. Na atividade de nº 9 Resposta: 5,95% A taxa mensal equivalente à 100% ao ano é de 5,95%. Na atividade de nº 10 Resposta: 1355,19% A taxa anual equivalente à 25% ao mês é de 1355,19%. Na atividade de nº 11 Resposta: 435,03% A previsão de inflação anual para uma taxa de 15% ao mês para os próximos 12 meses, é de 435,03%. Na atividade de nº 12 Resposta: 1,83% ao ano. Um capital que é aplicado por 1 ano com uma taxa de juros de 11% e no mesmo período a inflação é de 9 % ao ano, tem uma taxa real de juros de 1,83% ao ano. Na atividade de nº 13 Resposta: 20% ao mês. Um investimento rendeu 68% em 1 mês, no qual a inflação foi de 40%. O ganho real nesse mês foi de 20%. Na atividade de nº 14 Resposta: 2,22% ao ano. O projeto não deve ser aceito. Na atividade de nº 15 Resposta: 0,1% ao dia. A melhor taxa para aplicação é de 0,1% ao dia. 50

51 V I R T U A L Módulo Os Descontos

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53 V I R T U A L Objetivo Nesse módulo você estudará os descontos, visando compreendê-los, através da reflexão, análise e observação de exemplos práticos. Objetivo

54 Matemática Financeira 1. Conceitos Ao se resgatar um título de créditos antes do seu vencimento, ele sofre um abatimento denominado de desconto. O valor nominal ou valor futuro de um título é o seu valor na data do vencimento. Antes do vencimento um título pode ser resgatado pelo seu valor presente. Nominalmente, o resgate de um título é efetuado utilizando o desconto simples. No presente estudo, também serão apresentados os descontos compostos. O desconto consiste no abatimento sobre o valor de um título que alguém faz jus por comprá-lo em data anterior à seu vencimento. Indica-se o desconto por d. Nas operações envolvendo um título de crédito, destaca-se alguns elementos relativos à data de análise do problema, que são: Valor nominal, ou valor futuro do título É o valor do título em uma data posterior à da análise do problema, normalmente esta data posterior é a data de vencimento do título. Indica-se o valor nominal por N. Valor atual, ou valor presente do título É o valor do título na data da análise do problema. Indica-se o valor atual por A. Pode ocorrer, no entanto, de um título ter seu valor definido em data anterior à data de análise. Neste caso modifica-se a data de análise para a data em que o valor do título foi definido e calcula-se o valor nominal deste título na data em que se deseja. Exemplo: No caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ ,00 que a vendeu à um banco, em uma data anterior à de seu vencimento, por R$ ,00: Valor nominal: N = R$ ,00 Valor atual (na data de resgate) A = R$ ,00 Descontos: d = d = R$ 5.000,00 O exemplo dado ilustra as seguintes relações básicas envolvidas em uma operação de desconto: d = N A ou A = N d ou N = A + d d = desconto A = valor atual N = valor nominal Na prática, o desconto consiste no juro cobrado pelo comprador do título, a pretexto de aluguel do dinheiro antecipado. Quando esse juro é calculado sobre um único valor do título (nominal ou atual) o desconto é chamado desconto simples. 54

55 Curso à Distancia de Graduação em Administração É claro que o correto é calcular o desconto com base no valor atual, considerando que é uma espécie de juros e é proporcional ao capital envolvido, e logo deve ser proporcional ao valor atual do título, que representa o valor do capital naquele momento. No entanto, muitas vezes os descontos são cobrados com base no valor nominal, por representar maior rentabilidade para o comprador do título. Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de descontos simples: o racional (calculado sobre A) e o comercial (calculado sobre N), conforme apresenta-se a seguir. 1.1 Desconto comercial simples O desconto comercial simples é também chamado de desconto por fora. Esse desconto é aplicado sobre o valor nominal do título. Indica-se o desconto comercial por d c. Observação: Neste módulo o desconto comercial simples é designado apenas por desconto comercial. Esse tipo de desconto equivale à uma espécie de juros simples, em que o capital inicial (C ou A) foi substituído pelo valor nominal do título (N). Assim, para um título de valor nominal N, descontado em n período de tempo antes de seu vencimento, à uma taxa de desconto comercial i c : d = Ain d c = Ni c n A relação entre o valor nominal e o valor atual, sob o critério do desconto comercial, pode ser deduzida da seguinte forma: A c = N d c A c = N Ni c n A c = N (1 i c n) ou N = A c 1 - i c n Em resumo, as relações básicas para o trato do desconto comercial são: d c = Ni c n d c = desconto comercial i c = taxa de desconto comercial n = prazo de antecipação do título A c = N(1 i c n) ou N = A c 1- i c n A c = valor atual comercial N = valor nominal Observação: i c e n referem-se à um mesmo período de tempo 55

56 Matemática Financeira EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Em 1992 um título com valor nominal de R$ ,00 foi resgatado 40 dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 30% ao mês. Qual o desconto comercial concedido? Resposta: d c? N = i c = 30% am = 1% ad i c = 0,01 ad n = 40 d Aplicando a relação 48: d c = Ni c n d c = x 0,01 x 40 d c = R$ ,00 2. Em 1992 resolvi quitar uma dívida de R$ 8.500,00, faltando 23 dias para o seu vencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de 36% ao mês? Resposta: A c =? N = i c = 36% am = 1,2% ad i c = 0,012 ad n = 23d Por 49, entende-se: A c = N (1 i c n) A c = (1 0,012 x 23) A c = x 0,724 A c = R$ 6.154,00 3. Por uma duplicata de R$ ,00, um banco pagou o líquido de R$ ,00. Quantos dias ainda faltavam para o vencimento do título, se operação deu-se à taxa comercial de 30% aa? Resposta: n =? A c = N = i c = 30% aa = 0,3 aa Por 49, entende-se: A c = N (1 i c n) = (1 0,3n) = 1 0,3n 0,9625 = 1 0,3n ,3n = 0,0375 n = 0,0375 0,3 n = 0,125 ano ou n= (0,125 x 360) dias n = 45 dias 56

57 Curso à Distancia de Graduação em Administração 4. Um banco opera no desconto de título à taxa comercial simples de 20% am. O sacador de uma duplicata de R$ 3.000,00 deseja vendê-la à esse banco 7 meses antes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operação? Resposta: A c =? N = i c = 20% am i c = 0,2 am n = 7 m A c = N (1 i c n) A c = (1 0, 2 x 7) A c = x (-0, 4) A c = - R$ 1.200,00 Não compensa, pois teoricamente o cliente teria que pagar para descontar o título. Na prática o banco não aceitaria o título. 5. O quociente entre os descontos comercial e racional de um título é de 1,5. Qual a taxa de desconto comercial adotada na operação, se i r = 2i c se o período de antecipação foi de 5 meses? Resposta: Encontrando o quociente entre d c e d: d c = Ni c n e d = Nin d c = Ni c n d c = (1+in) i c 1+ in d Nin d i 1 + in Como d c = 1,5 e i = 2 i c : d (1+in) i c = 1,5 0,5 x (1 + i x 5) = 1,5 0,5 x (1 + i c x 10) = 1,5 0,5 + 5 i c = 1,5 i c = 0,2 i c = 20% am 57

58 Matemática Financeira 1.2 Desconto Racional Simples O desconto racional simples também é chamado de desconto por dentro ou desconto real. É o desconto simples aplicado sobre o valor atual do título. Indica-se o desconto racional por d. Observação: Por questões práticas, o desconto racional simples poderá ser designado, abreviadamente, por desconto racional neste módulo. Esse tipo de desconto equivalente à uma espécie de juros simples, em que o capital inicial corresponde ao valor atual do título. Assim, para um título descontado em n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, à uma taxa i e com certo valor atual A: d = Ain No entanto, na maioria das situações envolvendo descontos, observa-se o conhecimento do valor nominal e não do valor atual do título. Por esse motivo, faz-se necessária a dedução de uma relação para o desconto racional, que envolva nominal do título. Por (43), sabe-se que: A = N d d = Ain d = (N d) in d = Nin din d + din = Nin d (1 + in) = Nin Logo: d = Nin 1 + in Agora, acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do desconto racional: a relação entre o valor nominal e um dado atual racional. A = N d A = N Nin/1+in A = N(1 = in) Nin/1 + in A = N + Nin Nin//1 + in A = n/1 + in ou N = A(1 + in) Percebe-se que nada mais é do que a fórmula do montante: M = C (1 + it), adaptada ao desconto. d = Nin A = N ou N = A (1 + in) 1 + in 1 + in d = desconto racional n = prazo de antecipação do título N = valor nominal i = taxa de desconto racional A = valor atual racional Observação: i e n referem-se à um mesmo período de tempo. 58