MATEMÁTICA FINANCEIRA. UNIDADE XI RENDAS Capitalização e Amortização Compostas (Séries de Pagamentos ou Rendas)

Transcrição

1 1 UNIDADE XI RENDAS Capitalização e Amortização Compostas (Séries de Pagametos ou Redas) Elemetos ou Classificação: - Redas: Sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferetes, destiados a formar um capital ou pagar uma dívida. - Termos da reda: sucessão de depósitos ou de prestações. - Período da reda: itervalo de tempo que decorre etre os vecimetos de dois termos cosecutivos. a) Redas certas ou auidades: ocorrem quado o úmero de termos, seus vecimetos e seus respectivos valores podem ser prefixados (você cohece as parcelas). Exemplo: Compra de bes a prazo. b) Redas aleatórias: ocorrem quado pelo meos um dos elemetos ão pode ser previamete determiado. Exemplo: Pagameto de um seguro de vida (o úmero de termos é idetermiado). Quato à data do vecimeto do primeiro termo, uma reda certa pode ser: IMEDIATA (Postecipada, Sem Etrada, Ed, 0 + ), ANTECIPADA (Com Etrada, Begi, 1 + ) ou DIFERIDA (Com Carêcia, + 1). a) Imediata: ocorre quado o vecimeto do primeiro termo se dá o fim do primeiro período a cotar da data zero, isto é, da data da assiatura do cotrato. Assim, o vecimeto do último termo (T) ocorre o fim do período. Exemplo: Compra de um bem a prazo, em prestações mesais, pagado a primeira prestação um mês após a assiatura do cotrato. (30/60/...) b) Atecipada: ocorre quado o vecimeto do primeiro termo se dá a data zero. O vecimeto do último termo ocorre o iício do período. Exemplo: Depósito mesal de uma mesma quatia em cadereta de poupaça, durate um prazo determiado. (0/30/60/...) c) Diferida: ocorre quado o vecimeto do primeiro termo se dá o fim de um determiado úmero de períodos, a cotar da data zero. O vecimeto do último termo ocorre o fim de m + períodos. Exemplo: compra de um bem a prazo, em prestações mesais, pagado a primeira prestação o fim de um determiado úmero de meses. RENDA IMEDIATA OU POSTECIPADA (SEM ENTRADA 0/30/60/... FUNÇÃO END NA HP-12C) Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Braco, A.C.C., 2005): 1. i. ou ( 1 i) 1 +. i. i. i. ou 1 1 (1 + i) Ode: FV Valor Futuro Valor da Prestação i Taxa Prazo da prestação c Prazo de carêcia L Logaritmo Neperiao Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br

2 2 FV (1 + i i). 1 FV. i 1 LN FV. i. + LN (1 + i ) 1. i LN. 1 i e 2 LN (1 + i ). Exercícios com Reda Imediata (0 + ): 01) Uma pessoa deposita em uma fiaceira, o fim de cada mês, durate 5 meses, a quatia de R$ 100,00. Calcule o motate da reda, sabedo que essa fiaceira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizados mesalmete. Resposta: i 2% a.m. FV? R$ 520,40 02) Um automóvel é comercializado por R$ ,00 à vista; sabedo-se que pode ser fiaciado em 36 parcelas mesais de R$ 1.075,73, determiar a taxa de juros de operação. Resposta: ,73 R$ ,00 i? 5% am. 03) Deposito em uma istituição fiaceira, o fim de cada mês, a importâcia de R$ 800,00, a 0,5% ao mês. Quato terei o fim de 1 ao? Resposta: 12 meses i 0,5% am. FV? R$ 9.868,45 04) Uma pessoa deposita R$ 680,00 o fial de cada mês. Sabedo que seu gaho é de 1,5% ao mês, quato possuirá em 2 aos e meio? Resposta: 30 meses i 1,5% am. FV? R$ ,30 05) Qual a importâcia costate a ser depositada em um baco, ao fial de cada ao, à taxa de 6% ao ao, capitalizados aualmete, de tal modo que, ao fazer o décimo depósito, forme o capital de R$ ,00? Resposta: 10 FV ,00 i 6% aa.? R$ ,18 06) Calcule o depósito aual capaz de, em 6 aos, dar um motate de R$ ,00, à taxa de 25% ao ao. Resposta: 6 FV ,00 i 25% aa.? R$ ,90 07) A que taxa uma pessoa, realizado depósitos mesais imediatos o valor de R$ 8.093,00, forma um capital de R$ ,00 ao fazer o décimo quito depósito? Resposta: ,00 FV ,00 i? 1,5% am. 08) Quatas prestações mesais imediatas de R$ 500,00 devem ser colocadas, à taxa de 2% ao mês, a fim de se costituir o motate de R$ 6.706,00? Resposta: FV 6.706, i 2% am.? 12 meses 09) Desejamos fazer aplicações mesais imediatas de R$ ,00 de modo que a data do décimo depósito costituamos o motate de R$ ,00. A que taxa devemos aplicar aquelas importâcias? Resposta: FV ,00 i? 1% am. Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br

3 3 RENDA ANTECIPADA: As séries uiformes de pagametos atecipadas são aquelas em que o primeiro pagameto ocorre a data focal 0 (zero). Este tipo de sistema de pagameto é também chamado de sistema de pagameto com etrada (1+ ), ou seja, a reda atecipada ocorre quado o vecimeto do primeiro termo se dá a data zero e o vecimeto do último termo ocorre o iício do período. Esquemas de Fluxo de Caixa: a) Do poto de vista de quem vai receber os pagametos: *...* Ode: pagametos ou prestação b) Do poto de vista de quem vai fazer os pagametos: *...* Ode: pagametos ou prestação CÁLCULO ATRAVÉS DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C Para efetuarmos os cálculos a calculadora HP-12C de uma série uiforme de pagameto atecipada, será ecessário itroduzir o visor da calculadora a fução BEGIN, que é facilmete obtida através da seqüêcia de teclas g [BEG], ou seja, BEGIN pagameto o iício do período. RENDA ANTECIPADA (COM ENTRADA - FUNÇÃO BEGIN NA HP-12C) Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Braco, A.C.C., 2005): 1. i. 1 ou ( 1 i) 1 +..(1 + i) i 1. i. ou 1 [1 (1 + i). i ].(1 + i) Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br

4 4 LN. 1. i.( 1 + LN (1 + i ) i ) FV 1..(1 + i) i FV. i FV (1 + i) 1.(1 + i [(1 + i) 1].(1 + i) i ) Exercícios com Reda Atecipada (1 + ): 01) Um automóvel que custa à vista R$ ,00 () pode ser fiaciado em 36 pagametos iguais; com o primeiro pagameto o ato da compra, sabedo-se que a taxa de fiaciameto é de 1,99% ao mês, calcule o valor da prestação mesal deste fiaciameto (). Resposta: R$ 683,62 02) Uma pessoa deposita em uma fiaceira, o iício de cada mês, durate 5 meses, a quatia de R$ 100,00 (). Calcule o motate (FV) da reda, sabedo que essa fiaceira paga juro de 2% ao mês, capitalizados mesalmete. Resposta: FV R$ 530,81 03) Qual é o motate (FV) de uma reda atecipada de 10 termos mesais de R$ 500,00 () à taxa de 1,5% ao mês? Resposta: FV R$ 5.431,63 04) Uma pessoa realizou 10 depósitos bimestrais atecipados de R$ ,00 () e obteve o motate de R$ ,00 (FV). Qual foi a taxa de juro? Resposta: i 4,5% ao bimestre. Obs.: Não esqueça de etrar com o valor do egativo (CHS). 05) A que taxa se deve depositar em uma istituição fiaceira, o iício de cada trimestre, a importâcia de R$ ,00 (), para o fim de 4 aos possuir o motate (FV) de R$ ,00? Resposta: i 7% ao trimestre Obs.: Não esqueça de etrar com o valor do egativo (CHS). 06) Uma mercadoria é comercializada em 4 (quatro) pagametos iguais de R$ 185,00 (); sabedo-se que a taxa de fiaciameto é de 5% ao mês, e um dos pagametos foi cosiderado como etrada, determie o preço à vista desta mercadoria (). Resposta: R$ 688,80 RENDA DIFERIDA OU SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS DIFERIDA São aquelas em que os períodos ou itervalos de tempo etre as prestações () ocorrem pelo meos a partir do 2º período, ou seja, se cosiderarmos um período qualquer como sedo (), o período seguite será (+1), o próximo será (+2) e assim sucessivamete. Podemos dizer também que são aquelas em que o primeiro termo é exigível a partir de um certo período de carêcia. Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br

5 5 Observe o diagrama de fluxo de caixa. Carêcia RENDA DIFERIDA (COM PRAZO DE CARÊNCIA - FUNÇÃO END OU BEGIN NA HP-12C) Algumas fórmulas para o cálculo algébrico (Braco, A.C.C., 2005): ( 1 i) 1 +. c i.(1 + i) c 1 (1 + i) 1 (1 + i) 1. i LN. i.(1 + 1 LN (1 + i) i) c 1 Exemplo: Uma mercadoria ecotra-se em promoção e é comercializada em 5 (cico) prestações iguais de R$ 150,00; a loja está oferecedo aida uma carêcia de 3 meses para o primeiro pagameto. Determie o valor à vista desta mercadoria, sabedo-se que a taxa de juros praticada pela loja é de 3% ao mês. Dados: 150,00 - VALOR DA PARCELA 5 meses - PRESTAÇÕES c 3 meses - 3 Usar o modo [BEGIN] a HP 12C Usar o modo [END] a HP 12C i 3% ao mês - TAXA MENSAL? - VALOR À VISTA DA MERCADORIA 1ª Resolução: MODO [BEGIN] NA HP12C UTILIZANDO CARÊNCIA 3 MESES: f [REG] - LIMPAR REGISTROS g 7 BEGIN - SÉRIE DE PAGAMENTO ANTECIPADA ENTRANDO COM O VALOR DA PARCELA 5 - PRAZO 3 i - JUROS P V 707,56-1º VALOR PRESENTE DA MERCADORIA CHS FV - 1º VALOR DA MERCADORIA VIRA VALOR FUTURO 0 - VALOR DA PARCELA DA CARÊNCIA 3 - PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O MODO [BEGIN] 647,52 - VALOR À VISTA DA MERCADORIA Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br

6 6 2ª Resolução: MODO [END] NA HP12C UTILIZANDO CARÊNCIA 3 MESES 1 MÊS 2 MESES: f [REG] - LIMPAR REGISTROS g 8 END - SÉRIE DE PAGAMENTO POSTECIPADA ENTRANDO COM O VALOR DA PARCELA 5 - PRAZO 3 i - JUROS P V 686,96-1º VALOR PRESENTE DA MERCADORIA CHS FV - 1º VALOR DA MERCADORIA VIRA VALOR FUTURO 0 - VALOR DA PARCELA DA CARÊNCIA 2 - PERÍODO DE CARÊNCIA PARA O MODO [END] 647,52 - VALOR À VISTA DA MERCADORIA Exercícios com Reda Diferida (c + ): 01) Calcule o valor atual de uma dívida que pode ser amortizada com 10 prestações mesais de R$ 500,00, sedo de 2% a taxa de juro e devedo a primeira prestação a ser paga 3 meses depois de realizado o empréstimo. Resposta: R$ 4.316,89 02) Calcule a dívida assumida por uma pessoa que pagou 10 prestações mesais de R$ 500,00, a juros de 3% ao mês, e devedo a primeira prestação a ser paga 7 meses depois de realizado a dívida. Resposta: R$ 3.571,96 03) Que dívida pode ser amortizada com 8 prestações bimestrais de R$ 1.000,00, sedo de 7% ao bimestre a taxa de juro e devedo ser paga a primeira prestação 3 bimestres depois de realizado o empréstimo? Resposta: R$ 5.215,56 04) Um determiado produto é vedido em 24 parcelas mesais de R$ 62,71, sedo que a primeira prestação somete será paga após 4 meses do fechameto da compra. Cosiderado uma taxa de 4% ao mês, determie o valor à vista deste produto. Resposta: R$ 850,00 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA: BRANCO, A.C.C., Matemática Fiaceira Aplicada: Método Algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioeira Thomso Learig, GIMENEZ, C.M., Matemática Fiaceira com HP12C e Excel, São Paulo, PEARSON, SAMANEZ, C.P., Matemática Fiaceira, 4ª Edição, São Paulo, PEARSON, SCIPIONE, J.T., Matemática Fiaceira, São Paulo, PEARSON, VERAS, L.L., Matemática Fiaceira: Uso de Calculadoras Fiaceiras Aplicações ao Mercado Fiaceiro. 4. ed. São Paulo: Atlas, Prof.Ms.Carlos Herique carloshjc@yahoo.com.br