Exemplos: 15%ao ano = 15% a.a Em um ano o capital empregado renderá 15 partes de 100 deste capital.

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1 JURO E MONTANTE JURO É o custo do crédito ou a remueração do capital aplicado. Isto é, o juro é o pagameto pelo uso do poder aquisitivo por um determiado período de tempo. O custo da uidade de capital o período é a cohecida TAXA. TAXAS DE JUROS O juro é determiado através de um coeficiete referido a um dado itervalo de tempo. Tal coeficiete correspode à remueração da uidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Exemplos: 15%ao ao = 15% a.a Em um ao o capital empregado rederá 15 partes de 100 deste capital. Observação As taxas de juros são apresetadas de dois modos: Percetual ou uitária. Isto é 15% a.a (15/100) 0,15 a.a 8% a.t (8/100) 0,08 a.t 2% a.m (2/100) 0,02 a.m CÁLCULO DE JURO Como: Simples Composto JUROS SIMPLES (j) Quado o regime é de juros simples, a remueração pelo capital iicial aplicado (também chamado de pricipal) é diretamete proporcioal ao seu valor e ao tempo de aplicação. O fator de proporcioalidade é a taxa de juros. Supodo que um capital C apreseta um redimeto der% ao período. Qual seria o juro gaho em períodos? j 1 = C.i.1 j 2 = C.i.1 j 3 = C.i.1... j = C.i.1 j = C.i. 1

2 Observações: 1- i = r% / A taxa e os períodos têm que estar a mesma uidade de tempo. Exemplo: Quato rede um capital iicial (pricipal) de R$5.000,00 aplicado à taxa de 3% ao trimestre por um prazo de 2 aos? ou Solução C = C = i = 0,03 a.t i = 0,03x4 = 0,12 a.a = 2 aos = 8 trim. = 2 a Logo j = C.i. j = 5.000x0,03.x8 j = R$1.200,00 Logo j = 5.000x0,12x2 j = R$1.200,00 MONTANTE Defie-se como motate de um capital, aplicado à taxa i e pelo prazo de períodos, como sedo a soma do juro mais o capital iicial. Sedo C o pricipal, aplicado por períodos e á taxa de juros i, teremos o motate N como sedo: N = C + j N = C + C.i. N = C( 1 + i.) Poderíamos ter: C N 1 1. N = C( 1 + i.) i N C 1 N C i 1 2

3 Exemplo Qual é o motate de um capital de R$2.000,00 aplicado à taxa de 8% a.a. pelo prazo de 2 aos? Solução: ou N = C + j C = N = C + C.i. i = 0,08 (=8/100) N = x0,08x2 = 2 aos N = N = R$2.320,00 Logo N = C( 1 = i.) N = 2.000( 1 + 0,08x2) N = 2.000( 1 + 0,16) N = 2.000x1,16 N = R$2.320,00 TAXAS PROPORCIONAIS Cosideremos duas taxas de juros arbitrárias i 1 e i 2, relacioadas respectivamete aos períodos 1 e 2, referidos à uidade comum de tempo das taxas. Estas taxas se dizem proporcioais se houver a igualdade de quociete das taxas com o quociete dos respectivos períodos i i i 1. 2 = i i i 1 2 Exemplo Sedo dada a taxa de juros de 18% a.a., determie a taxa proporcioal mesal. Solução: i i = i 2 = = 1,5% a.m. i

4 Este problema (achar-se a taxa proporcioal a uma fração de período) merece ser estudado com um pouco mais de cuidado. Sedo i a taxa de juros correspodete a 1 período e admitido-se que queremos determiar a taxa proporcioal i m correspodete à fração 1/m de um período, tem-se: 1 1/m 1/m 1/m Ou seja, o itervalo de tempo uitário correspode à taxa de juros i foi dividido em m partes iguais. Teremos etão: Como i 1 = i i 2 = i m =? 1 = 1 2 = 1 / m i i i 1 i = i m = i m 1 / m m Exercício Sedo dada a taxa de 18% ao ao, determiar: a) a taxa semestral b) a taxa trimestral c) a taxa bimestral d) a taxa quadrimestral. 4

5 TAXA EQUIVALENTE Duas taxas se dizem equivaletes se, aplicado um mesmo capital às duas taxas e pelo mesmo itervalo de tempo, ambas produzem o mesmo juro. Exemplo Seja um capital de R$3.000,00 que pode ser aplicado alterativamete à taxa de 2% a.m. ou 24% a.a. A um prazo de aplicação de 3 aos, verifique se as taxas são equivaletes. Solução j 1 = 3.000x0,02x36 = R$2.160,00 j 2 = 3.000x0,24x3 = R$2.160,00 Logo as taxas: 2% a.m. e 24% a.a. são taxa equivaletes. Daí coclui-se que: EM JUROS SIMPLES TAXAS EQUIVALENTES SÃO PROPORCIONAIS. PERÍODOS NÃO INTEIROS Exemplo Qual é o juro do capital de R$2.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 9% ao semestre, pelo prazo de 2 aos e 3 meses? Solução C = i = 0,09 a.s. = 2 aos e 3 meses = 4,5s. j 1 = 2.000x0,09x4 = R$720,00 j 2 = 2.000x0,09x1/2 = R$90,00 logo j = j 1 + j 2 = 720, ,0 = R$810,00 ou j = 2.000x0,09x4,5 j = R$810,00 5

6 VALOR NOMINAL: N Matemática Fiaceira/Mário VALOR NOMINAL E VALOR ATUAL (PRESENTE) É quato vale um compromisso a data do seu vecimeto. Se após o vecimeto o compromisso ão for saldado, etedemos que o mesmo cotiuará tedo seu valor omial acrescido de juros e de evetuais multas por atraso. VALOR ATUAL OU PRESENTE: C ou A() É o valor que um compromisso tem em uma data que atecede seu vecimeto. Exemplos 1- Cosidere que uma pessoa possui hoje a quatia de R$4.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importâcia à taxa de 2% a.m., daqui a 5 meses? Solução N meses N = C( 1 + i.) = 4.000(1 + 0,02x5) = 4.000(1 + 0,1) = 4.000x1,1 = R$4.400,00 3- Vamos admitir que uma pessoa aplique hoje uma certa quatia e que receba, pela aplicação, um título que irá valer R$24.000,00 daqui a 12 meses. Qual seria este valor, hoje, sabedo que a taxa de mercado é de 5% a.m? Solução C N = meses Temos que: N = C(1 + i.) = C(1 + 0,05x12) 6

7 = C(1 + 0,6) = Cx1, = C C = R$15.000,00 1,6 EXERCÍCIOS 1- Calcular a taxa quadrimestral proporcioal à taxa 21% a.a. 2- Determiar a taxa proporcioal referete a 5 meses, dada a taxa 1% a.m. 3- Calcular o juro simples e o motate de R$500,00 a 25% a.a. por 8 meses. 4- Qual é a taxa de juro simples que, de um capital de R$1.200,00, gera um motate de R$1.998,00 em 3 aos e 2 meses 5- Qual é o capital que rede R$150,00 a 18% a.a. em 10 meses 6- Em quato tempo um capital de R$10.000,00 aplicado a 26,4% a.a. elevar-se-á R$16.160,00 7- Qual é a taxa bimestral equivalete a 28,2% a.a.? 8- Qual é o valor omial e a data de vecimeto do compromisso abaixo (juro comercial) R$1.000,00 em 12/02 para 90 dias a 25% a.a. 9- Se teho um título com valor omial de R$15.000,00 com vecimeto daqui a 2 aos e a taxa de juros correte é de 28% a.a., qual o valor atual desse título as seguites datas: a) hoje. b) daqui a 1 ao. c) 4 meses ates de seu vecimeto. 10- O valor omial de um título é igual ao dobro de seu valor de face (valor da aplicação). Sabedo-se que a taxa de juros correte é de 12,5% a.a., qual é o prazo da aplicação? 11- Uma loja oferece em relógio por R$3.000,00 a vista ou por 20% do valor a vista como etrada e mais um pagameto de R$2.700,00 após 6 meses. Qual é a taxa de juros cobrada? 7

8 DESCONTOS Matemática Fiaceira/Mário Quado se faz uma aplicação com vecimeto pré-determiado, o aplicador: Recebe um compromisso da aplicação Que é uma ota promissória Ou uma letra de câmbio => Obter parte do pricipal e dos juros, em troca do título, é uma operação de descoto Uma empresa faz uma veda a prazo, com vecimeto pré-determiado: Recebe do comprador uma duplicata => a empresa pode ir a um baco e trasferir a posse da duplicata em troca de diheiro. Esta é uma operação de descotar uma duplicata. DESCONTO RACIONAL OU DESCONTO POR DENTRO É o descoto obtido pela difereça etre o valor omial e o valor atual de um compromisso que seja saldado períodos ates do seu vecimeto. Descoto: é a quatia a ser abatida do valor omial. Valor descotado: é a difereça etre o valor omial e o descoto. Sedo: N: valor omial ( ou motate) V r : valor atual ( ou valor descotado racioal) : úmero de períodos ates do vecimeto i: taxa omial de descoto. D r : valor do descoto racioal. Temos: N = C(1 + i.) ou N = Vr(1 + i.) V r N 1 i. Logo teremos: D r = N V r = N - 1. Ni = N (1 i) N N N i N 1 i 1 i D r N.. i 1 i. 8

9 Exemplo Uma pessoa pretede saldar um título de R$5.500,00 3 meses ates de seu vecimeto. Sabedo-se que a taxa de juros correte é de 40% a.a. a) Qual o descoto racioal? b) Quato vai obter(valor atual) Solução Dr N Vr 0 3 I = 0,40 a.a. = 0,40/12 a.m = 0,1/ 3 a.m, etão a) D r 0, x x3 N.. i 3 1 i. 0,1 1 x3 3 R$500, 00 b) Vr = N Dr = 5.500,00 500,00 => Vr = R$5.000,00 DESCONTO COMERCIAL OU DESCONTO POR FORA É aquele valor que se obtém pelo cálculo dos juros simples sobre o VALOR NOMINAL do compromisso que seja saldado períodos ates de seu vecimeto. Isto é: Dc = N.i. Valor Atual Comercial: Vc Vc = N Dc= N N.i. => Vc = N(1 i.) Exemplo 9

10 Cosideremos o exemplo do item aterior, em que o título de R$5.500,00 é descotado à taxa de 40% a.a. 3 meses ates do vecimeto. Solução; Vc Dc N 0 3 a) 5.500,00x0,40x3 Dc = N.i. = = R$ 550,00 12 b) Vc = N(1 i.)= 5.500,00[1 (0,40/12)x3] = 5.500x[1 0,1] Vc= 5.500,00x0,90 Vc= R$4.950,00 Etão essa pessoa vai receber R$4.950,00 pelo descoto comercial, que é meor que R$5.000,00 que receberia se o descoto fosse racioal. Neste caso a istituição fiaceira gaha R$550,00 sobre o valor de R$4.950,00 em 3 meses, e a taxa de juros da operação é: j =C.i. i= j / C. i = 550 / 3x4.950,00 = 550 / = 0,0370 a.m. = 0,4444a.a. (=0,0370x12) i = 0,4444a..a. (x100) i= 44,44% a.a. Note etão que, o descoto comercial é preciso distiguir etre a taxa de descoto utilizada a operação e a taxa implícita que é cobrada de fato. Isto é taxa efetiva de juros. A taxa efetiva de juros será aquela que coduz pelo descoto racioal ao mesmo valor calculado pelo descoto comercial Exercícios 1-Determiar o descoto racioal da seguite hipótese: Valor Nomial Taxa Prazo até Vecimeto R$10.000,00 23% a.a. 3 meses 2- Determiar o valor atual racioal dos seguites títulos: Valor Nomial Taxa Prazo até Vecimeto R$6.420,00 30% a.a. 8 meses 10

11 3- Quato devo pagar por um título o valor omial de R$15.000,00 com vecimeto em 150 dias se quero gahar 36% a.a.? 4- Se o descoto racioal cocedido for de R$57,63, qual será a taxa cosiderada, uma vez que o valor omial é de R$600,00 e o período de atecipação 5 meses? 5- Um título de valor omial R$1.300,00 foi resgatado ates de seu vecimeto, sedo por isso boificado com um descoto racioal de R$238,78. Cosiderado a taxa de 27% a.a., qual foi a atecedêcia? 6- O valor atual de uma promissória é de R$1.449,28, tedo sido adotada a taxa de 18% a.a. Qual será o prazo de atecedêcia, se o descoto racioal for de R$50,72? 7- Um título cujo resgate foi efetuado 145 dias ates do vecimeto foi egociado à taxa de 23% a.a.qual era o valor omial do título, uma vez que o valor atual racioal recebido foi de R$1.921,95? 8- Calcular o descoto comercial da hipótese seguite: Valor Nomial Taxa Prazo até Vecimeto R$18.000,00 35% a.a. 3 meses. Exemplo- Dois títulos de 100 u.m. exigíveis em 3 e 4 meses, respectivamete, serão substituídos por dois ovos títulos, de mesmo valor omial, para 5 e 6 meses, respectivamete. Sedo de 9%a.a. a taxa, calcular o valor omial dos ovos títulos. Solução i = 9%a.a. = 0,09: 12 = 0,0075 a.m Obs. A soma dos valores atuais do títulos que serão substituídos, será igual a soma dos valores atuais dos títulos que substitutos. X X A(3) + A(4) = A(5) + A(6) 100(1 0,0075.3) + 100(1 = 0,0075.4) = X(1 0,0075.5) + x(1 0,0075.6) 97,50+ 97,00 = X.0, X.0, ,75= X(0, ,955) 194,50= X.1,

12 X = 194,75 / 1,9175 X = 101,56 u.m. 9- Um título de valor omial igual a R$ 3.150,00 para 90 dias deverá ser substituído por outro para 150 dias. Calcular o valor do ovo título, à taxa de 2,5% ao mês. 12

13 JUROS COMPOSTOS Matemática Fiaceira/Mário No regime de juros compostos, que tem grade importâcia fiaceira por retratar melhor a realidade, o juro gerado pela aplicação à mesma taxa passado a participar da geração de juros o período seguite. Dizemos etão que os juros são capitalizados, e como ão só o capital iicial rede juros mas estes são devidos também sobre os juros formados ateriormete, temos o ome de juros compostos. COMPARAÇÃO ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS Exemplo Seja um pricipal de R$2.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a. por um período de 4 aos a juros simples e composto. A tabela a seguir ilustra a situação: Juros simples Juros compostos Juro/período Motate Juro/período Motate x0,1 = 200, , x0,1 = 200, , x0,1 = 200, , x0,1 = 220, , x0,1 = 200, , x0,1 = 242, , x0,1 = 200, , x0,1 = 266, ,20 O gráfico a seguir permite uma comparação visual etre os motates o regime de juros simples e de juros compostos. Verificamos que aformação do motate em juros simples é liear e em juros compostos é expoecial. Motate Juros compostos Juros simples períodos 13

14 MONTANTE: C ou N Imagie um capital iicial Co aplicado períodos à taxa fixa i por período, etão o motate será dado pela expressão: C1 = Co + Co.i.1 = Co(1 + i) C2 = C1 + C1.i.1 = C1(1 + i) = Co(1 + i).(1 + i) = Co(1 + i)² C3 = C2 + C2.i.1 = C2(1 + i) = Co(1 +i)².(1 + i) = Co(1 + i)³.... C = C o (1 + i) APLICAÇÕES 1- Qual o motate a ser devolvido, quado uma pessoa toma R$15.000,00 emprestado a juros de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses? 14

15 2- Qual o juro pago o caso do empréstimo de R$15.000,00 à taxa de juros compostos de 3% a.m. pelo prazo de 8 meses? 3- Qual é a taxa mesal de juros recebida por um empréstimo que aplica R$1.000,00 e resgata o motate de R$1.340,10 em 6 meses? 4- Em quato tempo um capital dobrará de valor a 24% a.a. capitalizados mesalmete? 15

16 EXERCÍCOS 1- Qual é o motate gerado por um capital de R$1.000,00 aplicado pelo prazo e taxa abaixo: 3% a.t.- 3 aos 2- Que juro receberá uma pessoa que aplique R$3.000,00 coforme a hipótese abaixo: 2% a.m.- 1 ao 3- Certa pessoa pretede comprar uma casa por R$50.000,00, daqui a 6 meses. Quato deve aplicar esta pessoa hoje para que possa comprar a casa o valor e prazo estipulado, se a taxa de juros for: 3% a.t. 4- O preço de um carro é R$11,261,62, podedo este valor ser pago até o prazo máximo de 6 meses. Quem optar pelo pagameto a vista beeficia-se de um descoto de 11,2%Qual é a taxa mesal de juro cobrada esta operação? 5- O baco X aucia que sua taxa para empréstimo pessoal é de2,5% a.m.. Um cliete retirou R$20.000,00 e quado foi saldar sua dívida o gerete lhe disse que esta importava em R$31.193,17. Quato tempo levou o cliete para restituir o empréstimo? TAXAS EQUIVALENTES Taxas equivaletes são taxas de períodos diferetes, que geram um mesmo motate, de um mesmo capital Co a um mesmo prazo. Vejamos por exemplo No prazo de um período, a taxa i, podemos ter k capitalizações, detro do período,gerado o mesmo motate. Isto é /k 1/k 1/k 16

17 Após 1 período, à taxa i: C 1 = Co(1 + i)¹ Aplicado o mesmo capital Co por k períodos, à taxa i k, para que dêo mesmo motate o mesmo itervalo de tempo da aplicação da taxa aterior, tem-se: C k = Co(1 + i k ) k Para que as taxas sejam equivaletes, devemos ter:c 1 = C k Portato: Co(1 + i) = Co(1 + i k ) k ( 1 + i) = (1 + i k ) k k 1 i 1 k i k i 1 i 1 k (coverte a taxa de um período para a taxa do º de capi- talizações detro do período) i (1 i ) 1 k k (coverte a taxa do º de capitalizações de um período para a taxa do período). Exemplos: 1- Dada a taxa de juros de 9,2727% a.t., determiar a taxa de juros compostos equivalete. a) mesal b) aual. 17

18 TAXA EFETIVA E TAXA NOMINAL Taxa omial de juros é quado o prazo de formação e icorporação dos juros ao capital iicial ão coicide com aquele a que a taxa se refere. Nesse caso, adota-se a coveção de que a taxa do período de capitalização seja proporcioal à taxa omial. Exemplo Um baco empresta a importâcia de R$3.000,00 por 2 aos. Sabedo-se que o baco cobra a taxa de 18% a.a. com capitalizações mesais, pergutase. a) Qual é a taxa omial aual? b) Qual é a taxa efetiva aual? c) Qual é o motate a ser devolvido o fial dos 2 aos? 18

19 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS DIFERIDOS Como já foi visto o caso das operações de descoto, é frequete a ecessidade de atecipar ou prorrogar títulos as operações fiaceiras. Às vezes queremos substituir um título por outro ou por vários. Podemos também ter vários títulos que queremos substituir por um úico ou por vários. Tais questões dizem respeito, de modo geral, à comparação de valores diferetes referidos a datas diferetes, cosiderado-se uma dada taxa de juros. Na prática, estas comparações são feitas utilizado-se o critério de juros compostos. DEFINIÇÕES: 1- Data focal Data focal é a data que se cosidera como base de comparação dos valores referidos a datas diferetes. A data focal também é chamada data de avaliação ou data de referêcia. 2- Equação de valor A equação de valor permite que sejam igualados capitais diferetes, referidos a datas diferetes, para uma mesma data focal, desde que seja fixada uma certa taxa de juros. Em outras palavras, a equação de valor pode ser obtida igualado-se em uma data focal as somas dos valores atuais e/ou motates dos compromissos que formam a alterativa em aálise. C o = V C = N 0 N = C Valor omial do título a data. C= N = V(1 + i) (cálculo do valor omial) 19

20 V = A = Co Valor atual do título a data 0. V N (1 i) (cálculo do valor atual) Exemplos 1-Certa pessoa tem uma ota promissória com valor omial de R$8.000,00 que vecerá em 2 aos. Além disso, possui R$5.000,00 hoje, que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durate 2 aos. Cosiderado que o custo de oportuidade do capital hoje é de 2% a.m. (taxa de juros vigete o mercado), perguta-se: a) Quato possui hoje? b) Quato possuirá daqui a um ao? c) Quato possuirá daqui a dois aos? Solução x y z meses 20

21 2- Admitamos o cojuto de capitais seguite: R$1.000,00 em 6 meses, R$2.000,00 em 12 meses, R$5.000,00 em 15 meses, à taxa de juros de 3% a.m. Qual o valor atual deste cojuto de capitais a dato focal zero? Exercícios Propostos: 1- Uma pessoa tem codições de aplicar seu diheiro a 3,5% a.m. o mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ ,00 por um ao, quato deverá devolver para que sua aplicação seja equivalete este período? 2- Certo aplicador possui em seus haveres dois títulos, de R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00, com vecimetos para 180 e 360 dias. Pretededo comprar uma máquia de calcular, procura descotar os títulos em um baco. O gerete, que é seu amigo, avisa-lhe que a taxa omial é de 30% a.a., cotudo a capitalização é mesal. O cliete aceita as codições do baco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquia. Qual é o seu valor? 3- Para viajar daqui a um ao. Maria vede seu carro hoje e seu apartameto daqui a 6 meses, aplicado o diheiro em uma istituição que paga 40% a.a. O carro será vedido por R$ ,00 e o apartameto por R$ ,00, 21

22 sedo que a viagem ela pretede gastar R$ ,00. Que saldo poderá deixar aplicado? 4-João comprou uma eciclopédia, sem dar ada de etrada sob a codição de pagá-la em 4 parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00. Como opção, o gerete da livraria lhe propôs uma etrada de R$ 1.500,00 e o saldo para 1 ao. De quato será este saldo, se a taxa de juros for de 3% a.m? 5- O preço de um terreo é de R$ ,00 a vista, ou R$ ,00 a prazo. No segudo caso, o comprador deverá dar 20% como etrada e o restate em duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de 30% a.a., qual será a melhor opção? 6- Uma pessoa deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para 1 ao. Propõe a seu credor refiaciameto de sua dívida, comprometedo-se a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais, vecedo a primeira em 6 meses. De quato serão as parcelas, se a taxa cotratado for de 20% a.a.? 7- O Sr. Carlos vedeu um carro para um amigo seu, pelo preço de R$ ,00. Quato às codições de pagameto, ele disse que o amigo pagarlhe-ia a medida do possível, sedo os juros de 40% a.a.os pagametos efetuados foram: R$ 5.000,00 o 3º mês R$ ,00 o 5º mês R$ ,00 o 6º mês. No fial do 12º mês o comprador diz querer saldar seu débito total. Qual é o valor do acerto fial? 8- Uma dívida de R$ ,00 para 12 meses e de R$ ,00 para 24 meses foi trasformada em 4 parcelas iguais semestrais, vecedo a primeira a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se cosiderarmos a taxa de 25% a.a.? 9- Se uma istituição fiaceira paga 20% a.a., quato deverei depositar trimestralmete para, ao fim do 4º depósito, possuir R$ ,00? 10- Uma loja vede uma maquia fotográfica digital por R$ 600,00 a vista, ou a prazo em 3 pagametos mesais de R$ 200,00 e uma pequea etrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7% a.m.; portato, de quado deve ser a etrada? 11- Dado o fluxo de caixa de uma alterativa de ivestimeto: 22

23 Datas (aos) Fluxo de caixa (R$) , , , ,00 Pede-se calcular: a) O valor atual às taxas de juros de 5% a.a., 10% a.a.,15% a.a., e 20% a.a. b) A taxa itera de retoro. REFERÊNCIAS MATHIAS, Washigto Fraco; GOMES, José Maria. Matemática fiaceira. 3ª ed. São Paulo: Atlas S.A, DE FRANCISCO, Walter. Matemática Fiaceira. 6ª ed. São Paulo: Atlas S.A, PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Fiaceira Objetiva e Aplicada. 5ª ed. São Paulo: Saraiva S.A,