ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS

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1 ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA 9.º ANO VALORES APROXIMADOS DE NÚMEROS REAIS Dado um úmero xe um úmero positivo r, um úmero x como uma aproximação de x com erro iferior a r quado x ]x r, x + r[. ENQUADRAMENTO DE UM VALOR APROXIMADO DA SOMA Sejam x e y dois úmeros reais e r um úmeros real positivo. Sedo x e y valores aproximados de x e y, respetivamete, com erro iferior a r, tem-se: De ode se coclui que, dados dois úmeros reais x e y e suas aproximações x e y, respetivamete, com erro iferior a r, x + y é uma aproximação de x + y com erro iferior a 2r. Se x é um valor aproximado de x com erro iferior a r e y é um valor aproximado de y com erro iferior a s, tem-se: De um modo geral, o erro de uma soma de dois valores aproximados é igual à soma dos erros das respetivas parcelas.. Sabe-se que 2,3 e,35 são aproximações dos úmeros reais x e y, respetivamete. Que valores pode tomar a soma x + y sabedo que 2,3 e,35 são aproximações com erros iferiores a: a) 0 b) 0,02 e 0,03, respetivamete? Em cada caso, idica o erro máximo cometido tedo em cota o cojuto obtido dos valores possíveis que a soma x + y pode tomar. Págia de 7

2 ENQUADRAMENTO DO PRODUTO As medidas aproximadas das dimesões de um retâgulo, com erro iferior a 0, são, em cetímetros, x = 4 e y = 3. Que valor pode tomar a área do retâgulo? Qual é o erro máximo cometido ao cosiderar 3 4 = 2 como área do retâgulo? Tem-se: 3 < x < < x < 4 < y < < y < Multiplicado x por y, vem: < x y < 4, ou seja,,3 < x y < 2,7. Logo, a área do retâgulo, em cetímetros quadrados, pode ser igual a qualquer valor do itervalo ],3; 2,7[. Para determiar o erro cometido vamos equadrar a difereça etre o valor exato (xy) e o valor aproximado (2):,3 < xy < 2,7,3 2 < xy 2 < 2,7 2 0,69 < xy 2 < 0,7 0,7 > 0,69 Logo, sabedo que o valor da área do retâgulo pertece ao itervalo ],3; 2,7[, o erro máximo que se comete ao aproximar xy por 2 é r = 0,7 cm Sabedo que 5 e 7 são respetivamete aproximações dos úmeros reais x e y com erro iferior a, que valores pode tomar o produto x y? 3. 3 é uma aproximação do úmero real x com erro iferior a 3 ; 4 é uma aproximação do úmero real y com erro iferior a 4. Qual o erro máximo que se comete ao aproximar x y por 3 ( 4) = 2? Págia 2 de 7

3 ENQUADRAMENTO DE RAÍZES QUADRADAS E RAÍZES CÚBICAS Existem vários métodos ad-hoc que permitem calculem aproximações de raízes quadradas e cúbicas por equadrametos. Estes métodos podem ser sistematizados da seguite forma: Dado um úmero x positivo, distito de um quadrado perfeito e um úmero atural, o produto x 2 pode ser equadrado de forma estrita etre os quadrados de dois úmeros iteiros cosecutivos m e m + : m 2 < x 2 < (m + ) 2 Destas desigualdades deduz-se que: m m x o que é equivalete a: m m x Assim, os úmeros m e m com erro iferior a r. são aproximações (respetivamete por defeito e por excesso) de x Substituido os quadrados por cubos, é possível aproximar de forma aáloga raízes cúbicas. Este método permite aproximar qualquer raiz quadrada (respetivamete cúbica) com um erro tão pequeo quato desejarmos calculado apeas quadrados (respetivamete cubos) de úmeros iteiros. Esses cálculos podem aturalmete ser efetuados com uma calculadora, ou, em alterativa, recorredo a uma tabela de quadrados (respetivamete cubos) perfeitos. 4. Aproxima às décimas. 5. Equadra 3 por úmeros racioais, com um erro iferior a r = 0,2. 6. Determia um itervalo de extremos racioais e de medida de comprimeto iferior ou igual a 2 que coteha Aproxima 8 às décimas. Págia 3 de 7

4 8. Utiliza a tabela de cubos: x x para aproximar 3 2 às décimas. 9. Pretede-se substituir paiéis retagulares de dimesões 2,5 m e 3,5 m por paiéis quadrados que teham a mesma área. Determia com erro iferior a dm e utilizado a tabela de quadrados perfeitos abaixo, dois valores aproximados, um por defeito e outro por excesso, da medida em metros, do lado de cada um desses quadrados. x x Sabe-se que 2 < a < 3 e que 2 < b < 8. Aproxima por defeito às uidades 3 a 3b.. O líquido cotido um reservatório piramidal de altura 52 m e cuja base é um quadrado de 3 m de lado, vai ser substituído por quatro reservatórios cúbicos. Determia as dimesões míimas que devem ter os reservatórios cúbicos utilizado a seguite tabela de cubos perfeitos x x Apreseta o resultado arredodado às décimas de metro. Págia 4 de 7

5 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO:. a) Se 2,3 e,35 são aproximações, respetivamete, de x e y com erro iferior a r = 0,0, etão a soma 2,3 +,35 = 3,48 é uma aproximação de x + y com erro iferior a 2 x 0,0 = 0,02. 3,48 0,02 = 3,46 3,48 + 0,02 = 3,50 Logo, a soma x + y é um valor que pertece ao itervalo ]3,46; 3,50[. O erro cometido, ao aproximar x + y ]3,46; 3,50[ por x + y = 3,48, é iferior a 2r = 0,02 (valor do erro máximo pedido). b) 0,02 + 0,03 = 0,05 2,3 +,35 = 3,48 3,48 0,05 = 3,43 3,48 + 0,05 = 3,53 O erro máximo cometido ao aproximar x + y por x + y = 3,48 é dado pelo máximo etre 3,48 3,43 e 3,53 3,48, ou seja, é 0,05 e a soma x + y é um valor que pertece ao itervalo ]3,43; 3,53[. 2. Como 5 é uma aproximação de x com erro iferior a : 5 x 5 Da mesma forma, 7 y 7. Sedo todas estas quatidades positivas, pode cocluir que: 5 7 x y 5 7 ou seja, x y e 33,8 < x y < 36,2 3. De acordo com o euciado: x 3 e y 4 ou seja, x e y Págia 5 de 7

6 Multiplicado esta última desigualdade por vem: y Podemos portato cocluir, pelo descritor.4, que: ou aida que: x y x y 0 0 Destas desigualdades resulta pelo descritor. que: Como x y x y , o erro máximo que se comete ao aproximar x y por 2 é de r 2, Tem-se 3 2 < < 4 2, pelo que 3 4. Calcula-se agora (com o auxílio, por exemplo, de uma calculadora) o quadrado de 3,, 3,2,, etc., até que se ultrapasse o valor : Como 3,3 2 < < 3,4 2, 3,3 3,4. 5. Temos r 0,2. 5 3, 2 = 9,6 ; 3, =,24 ; 3,3 2 =,89 ; 3,4 2 =,56 Equadrado o produto = 75 por dois quadrados perfeitos cosecutivos (64 < 75 < 8), obtemos: ,6 3, Equadrado o úmero = 40 por cubos perfeitos cosecutivos: ; 2 7. Tem-se < 8 < 3 2. Multiplicado por 2 : 20 2 < 8 2 < 30 2 Pelo método de dicotomia, 25 2 = 625, 28 2 = 729 e 29 2 = 84, de ode se coclui que: Págia 6 de 7

7 ,8 8 2, = Pela tabela forecida, 2 3 < 2 3 < 3 3. Logo: 3 2,2 2,3 2 3 Por exemplo, para calcular os primeiros três algarismos da represetação em dízima de 5, podemos proceder da seguite forma: Temos = 4 < 5 < 9 = 3 2. Multiplicado por 2 esta cadeia de desigualdades vem 20 2 < 5 2 < 30 2 Note-se que 20 e 30 ão são úmeros iteiros cosecutivos. Um processo célere que permite equadrar 5 2 = 500 por quadrados perfeitos cosecutivos cosiste em testar um úmero iteiro próximo da média aritmética destes úmeros: 25 2 = 625 > 500, pelo que: 20 2 < 5 2 < 25 2 Este processo, cohecido por «dicotomia» é extremamete utilizado em vários algoritmos uméricos. Em particular, o método de dicotomia é muito útil a determiação de um zero de uma fução cotíua, cohecidos dois potos em que esta toma respetivamete um valor positivo e um valor egativo. Prosseguido, como 2 = 484 < 500: Fialmete, observado que 23 2 = 529 > 500: 2 < 5 2 < < 5 2 < 23 2 Este equadrameto já permite deduzir que ,2 5 2,3, isto é, que: Para obtermos mais uma casa decimal, multiplicamos ovamete a última desigualdade obtida por 2 : 2 < 5 2 < < < < 5 4 < < 5000 < Pelo método de dicotomia, observado cosecutivamete que: = , = e = ,23 5 2, Págia 7 de 7