INTERPOLAÇÃO. Interpolação

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1 INTERPOLAÇÃO Profa. Luciaa Motera Faculdade de Computação Facom/UFMS Métodos Numéricos Iterpolação Defiição Aplicações Iterpolação Liear Equação da reta Estudo do erro Iterpolação Poliomial Fórmula de Lagrage Poliômio Iterpolador de Lagrage Estudo do erro Métodos Numéricos 1

2 Defiição É o processo de estimar valores de uma fução f para valores de x diferetes de x i, para i = 0,...,, sabedo se apeas os valores de f(x) os potos x 0, x 1,..., x. Defiição É o processo de estimar valores de uma fução f para valores de x diferetes de x i, para i = 0,...,, sabedo se apeas os valores de f(x) os potos x 0, x 1,..., x. Qual o valor de f(x i ) para x 1 < x i < x 2? x x 0 x 1 x 2... x y f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x ) 2

3 Aplicações Obteção de valores itermediários em tbl ( tabelas (crescimeto de bactérias, cosumo de água, eergia, etc) Itegração umérica Cálculo de raízes de equação Solução de equações diferecias ordiárias (EDO s) Iterpolação Qual o valor de f(x i ) para x 1 < x i < x 2? x x 0 x 1 x 2... x y f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x ) Como determiar o valor de f(x i )? Obter uma fução que relacioa as variáveis x e y POLINÔMIO 3

4 Iterpolação Métodos de Iterpolação Poliomial são utilizados para aproximar uma fução f(x) ) quado: f(x) é descohecida. Tem se apeas valores de f em um cojuto de potos f (x) é cohecida mas de difícil maipulação Iterpolação Poliomial Iterpolação Poliomial Liear: Poliômio de grau 1 Quadrática: Poliômio de grau 2 Lagrage: Poliômio de grau 4

5 Iterpolação Liear Problema: Seja f(x) dada pela tabela Nota: f(x i ) = f i x 0 x 1 x 2... x f 0 f 1 f 2 f Determiar uma aproximação para f(µ), ode x i < µ <x i+1 para 0 i< f ão é cohecida aproximar f pelo poliômio P 1 P 1 (µ) será calculado, e ão f(µ) Iterpolação Liear P 1 (x) é o poliômio de grau 1 que passa pelos potos A = (x i, f i ) e B = (x i+1, f i+1 ) f(µ) P 1 (µ) = f i + (µ x i ) (f i1 i+1 f i ) (x i+1 x i ) 5

6 Equações da Reta Iterpolação Liear y = ax a = coeficiete agular b = coeficiete liear b y = ax + b Equações da Reta Iterpolação Liear P i+1 P i = (x i, y i ) P i+1 = (x i+1, y i+1 ) P i 6

7 Equações da Reta Iterpolação Liear a = coeficiete agular = icliação da reta = tag Ѳ y i+1 y i a = tag Ѳ = cat. op. = y i+1 y i Ѳ cat. adj. x i+1 x i Ѳ x i x i+1 Equações da Reta Iterpolação Liear y i+1 P i+1 y P µ y i P i x i µ x i+1 7

8 Iterpolação Liear Equações da Reta Semelhaça etre triâgulos y i+1 P i+1 y y i P µ P i Ѳ a = tag Ѳ = cat. op. = cat. op. cat. adj. cat. adj. a = tag Ѳ = y i+1 y i = y y i x i+1 x i µ x i x i µ x i+1 Iterpolação Liear Equações da Reta Semelhaça etre triâgulos y i+1 P i+1 y y i P µ P i Ѳ y i+1 y i = y y i x i+1 x i µ x i x i µ x i+1 8

9 Equações da Reta Iterpolação Liear y i+1 y i x i+1 x i = y y i µ x i (y y i ) (x i+1 x i ) = (µ x i ) (y i+1 y i ) (y y i ) = (µ x i ) (y i+1 y i ) (x i+1 x i ) y = y i + + ( µ x i ) (y i+1 y i ) (x i+1 x i ) Iterpolação Liear P 1 (x) é o poliômio de grau 1 que passa pelos potos A = (x i, f i ) e B = (x i+1, f i+1 ) f(µ) P 1 (µ) = f i + (µ x i ) (f i1 i+1 f i ) (x i+1 x i ) 9

10 Iterpolação Liear Exemplo: O úmero de bactérias, por uidade de volume, existete em uma cultura após x horas é apresetado a tabela: x (horas) y (volume de bactérias) Calcule o volume de bactérias o istate t = 3 horas e 42 miutos, ou seja, calcule o valor de P 1 (3,7). f(µ) P 1 (µ) = f i + (µ x i ) (f i+1 f i ) (x i+1 x i ) Iterpolação Liear Exemplo: O úmero de bactérias, por uidade de volume, existete em uma cultura após x horas é apresetado a tabela: x (horas) y (volume de bactérias) Calcule o volume de bactérias o istate t = 3 horas e 42 miutos, ou seja, calcule o valor de P 1 (3,7). f(3,7) P 1 (3,7) = 92 + (3,7 3) (132 92) (4 3) f(3,7) P 1 (3,7) =

11 Iterpolação Liear Exercício: O úmero de bactérias, por uidade de volume, existete em uma cultura após x horas é apresetado a tabela: x (horas) y (volume de bactérias) Calcule o volume de bactérias o istate t = 1h e 25mi. Iterpolação Liear Exemplo: Dadaatabela x (rad) 0,1 0,2 0,3 0,4 se(x) 0,1 0,199 0,296 0,389 Calcule o valor aproximado de se(0,15) f(0,15) P 1 (0,15) = 0,1 + (0,15 0,1) (0,199 0,1) (0,2 0,1) f(0,15) P 1 (0,15) = 0,

12 Iterpolação Liear Exercício: Dadaatabela x (rad) 0,1 0,2 0,3 0,4 se(x) 0,1 0,199 0,296 0,389 Calcule o valor aproximado de se(0,32) Erro Iterpolação Liear Seja o itervalo [x i,x i+1 ] e um poto x Є (x i,x i+1 ). Como P 1 (x) é apeas uma aproximação para f(x), o erro cometido esta aproximação é: E(x) = f(x) P 1 (x) E(x) = (x x i )(x x i+1 ) f (ξ) paraalgumξє(x i,x i+1 ) 2 12

13 CotaparaoErro Iterpolação Liear Supoha que x Є (x i,x i+1 ), f (x) M 2,paraalgumacostateM 2. A seguite estimativa para o erro pode ser cosiderada: E(x) M 2 (x i+1 x i ) 2 8 Iterpolação Liear Exemplo: Dadaatabela x (rad) 0,1 0,2 0,3 0,4 se(x) 0,1 0,199 0,296 0,389 Valor aproximado de se(0,15) f(0,15) P 1 (0,15) = 0,1495 Calcule o erro da aproximação acima f(x) = se(x) f (x) = se(x) se(0,2) f (x) = cos(x) se(0,2) = 0,199 < 0,2 x Є [0,1, 0,2] f (x) = se(x) E(x) M 2 (x i+1 x i ) 2 = 0,2 (0,2 0,1) 2 = 0,

14 Iterpolação Poliomial Problema: Dados + 1 pares de valores (x i, f i ), i = 0,..., com x i x j para i j, determiar um poliômio de grau que passa por estes + 1 potos. Nota: f(x i ) = f i = y i x 0 x 1 x 2... x y 0 y 1 y 2 y f ão é cohecida aproximar f pelo poliômio P P (µ) será calculado, e ão f(µ) Iterpolação Poliomial x 0 x 1 x 2... x y 0 y 1 y 2 y P (x) 14

15 Iterpolação Poliomial x 0 x 1 x 2... x y 0 y 1 y 2 y P (x) Proposição: Sejam + 1 potos dados por (x i, f i ), i = 0,..., ode x i x i, para i j. Etão existe um úico poliômio de grau que passa por estes potos. Iterpolação Poliomial Demostração: Cosidere P (x) um poliômio de grau : P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a x = a i x i sedo a i = cte P passa pelos potos (x i, f i ). P (x i ) = f i, i = 0,..., i = 0 É preciso determiar as costates a i para depois determiar P (x). 15

16 Demostração: Iterpolação Poliomial P (x i ) = f i, i = 0,..., é equivalete ao sistema: Tem solu ução úica? a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 02 + a 3 x a x 0 = f 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 12 + a 3 x a x 1 = f 1... a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a x = f O Sistema tem solução úica desde que o determiate da matriz dos coeficietes das icógitas seja ão ulo Demostração: A = Iterpolação Poliomial 1 x 0 x 0 2 x x 0 1 x 1 x 2 1 x x A é a matriz de coeficietes das icógitas. É uma matriz de Vadermode,cujo det(a) é dado por: 1 x x 2 x 3... x det(a) = (x j x i ) 1 i < j Como x i x j para i j, temos que det(a) 0, como queríamos demostrar. 16

17 Iterpolação Poliomial x 0 x 1 x 2... x y 0 y 1 y 2 y P (x) P (x) existe e é úico Problema: dados os potos (x i, f i)para i = 0,...,, ode x i x j para i j, determiar o valor de f(µ), para µ x j, j = 0,...,. Solução: Aproximar f(µ) por P (µ), ode P é o poloômio de grau que passa pelos potos (x i, f i ) para i = 0,...,. Iterpolação Poliomial Exemplo: determie o valor de log(2,45) aproximado por um poliômio iterpolador de grau 3. x 2,3 2,4 2,5 2,6 log(x) 0, , , , a 0 + a 1 x 0 + a 2 x 02 + a 3 x 3 0 = f 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 12 + a 3 x 13 = f 1 a a 1 x 2 + a 2 x 22 + a 3 x 23 = f 2 a 0 + a 1 x 3 + a 2 x 32 + a 3 x 33 = f 3 17

18 Iterpolação Poliomial Exemplo: determie o valor de log(2,45) aproximado por um poliômio iterpolador de grau 3. x 2,3 2,4 2,5 2,6 log(x) 0, , , , a 0 + 2,3a 1 + 5,9a ,167 a 3 = f 0 a 0 + 2,4a 1 + 5,76a ,824a 3 = f 1 a ,5a ,25a ,625a 3 = f 2 a 0 = 0, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 0, a 0 + 2,6a 1 + 6,76 a ,576a 3 = f 3 P 3 (x) = 0, ,528963x 0,107300x 2 + 0,009667x 3 log(2,45) P 3 (2,45 ) = 0, Poliômio Iterpolador de Lagrage Teorema (Lagrage): Seja f uma fução defiida um itervalo [a, b] e cohecida os potos (x i, f i ) i=0,...,,. Existe um e um só poliómio P de grau meor ou igual a iterpolador de f os potos dados. Demostração: Seja o poliômio P defiido por: ode: Poli. de grau P (x) = f(x i )L i (x) i = 0 L k (x) = x x j k = 1,..., j = 0, j k x k x j 18

19 Fórmula de Lagrage L k (x) = x x j k = 1,..., j = 0, j k x k x j L k (x i ) = x i x j k = 1,..., j = 0, j k x k x j L k (x i ) = 1 se k = i 0 se k i Poliômio Iterpolador de Lagrage P (x) = L i (x)f i P (x) é um poliômio de grau, pois é a soma de L i (x)f i que é um poliômio de grau para i = 0,..., P (x) = f(x) para todo x k, k = 0,..., P (x k ) = L i (x k )f i = f i para todo k = 0,..., i = 0 i = 0 19

20 Poliômio Iterpolador de Lagrage Exemplo: Determie o poliômio de grau 3, P 3 (x), que passa pelos potos da tabela abaixo. Em seguida, calcule P 3 (2). x i f i P 3(x) = L i(x)f i = L 0(x)f 0 + L 1(x)f 1 + L 2(x)f 2 + L 3(x)f 3 i = 0 = L 0 (x)f 0 + L 1 (x)f 1 + L 2 (x)f 2 + L 3 (x)f 3 = L 0 (x)2 + L 1 (x)4 + L 2 (x)5 + L 3 (x)0 Poliômio Iterpolador de Lagrage x i f i L k (x) = x x j j = 0, x k x j j k L 0 (x) = (x 1)(x 3)(x 4) = (x 1)(x 3)(x 4) = (x 1)(x 3)(x 4) (0 1)(0 3)(0 4) ( 1)( 3)( 4) 12 L 1 () (x) = (x 0)(x 3)(x 4) = x(x 3)(x 4) = x(x 3)(x 4) (1 0)(1 3)(1 4) (1)( 2)( 3) 6 L 2 (x) = (x 0)(x 1)(x 4) = x(x 1)(x 4) = x(x 1)(x 4) (3 0)(3 1)(3 4) (3)(2)( 1) 6 20

21 Poliômio Iterpolador de Lagrage Exemplo: Determie o poliômio de grau 3, P 3 (x), que passa 3 P 3 (x) = L i (x)f i i = 0 pelos potos da tabela abaixo. Em seguida, calcule P 3 (2). x i f i = L 0 (x)2 + L 1 (x)4 + L 2 (x)5 + L 3 (x)0 P 3 (x) = 2 (x 1)(x 3)(x 4) 12 P 3 (2) = = x(x 3)(x 4) + 5x(x 1)(x 4) 6 6 Poliômio Iterpolador de Lagrage Exercício: Determie o poliômio de grau 3, P 3 (x), que passa pelos potos da tabela abaixo. Em seguida, calcule P 3 (1,5). x i f i

22 Poliômio Iterpolador de Lagrage Erro Proposição: Seja f (+1) vezes derivável o itervalo o itervalo (a, b) e x 0 <x 1 <... < x Є (a, b). Etão, para x Є (a, b), x x i, existe um ξє(a, b) tal que: f(x) = P (+1) (x) + (x x k ) f (ξ) k = 0 ( + 1)! E(x) = f(x) P (x) = (x x k ) f (+1) (ξ) k = 0 ( + 1)! Erro E(x) Cota para o Erro Poliômio Iterpolador de Lagrage Supoha que exista uma cotate M tal que f (+1) (x) M para x Є (a, b). Etão: E(x) = f(x) P (x) = (x x k ) f (+1) (ξ) k = 0 (x x k ) k = 0 M ( + 1)! ( + 1)! 22

23 Poliômio Iterpolador de Lagrage Exemplo: Usado a tabela abaixo, e sabedo que f(x) = e x, determie a aproximação para e 1,45 por P 3 (1,45) e calcule uma cota para o erro cometido. x 1,0 1,2 1,4 1,6 f(x) 2,718 3,320 4,055 4,953 Solução: P 3 (x) = L i (x)f i 3 i = 0 = L 0 (x)2,718 + L 1 (x)3,320 + L 2 (x)4,055 + L 3 (x)4,953 Poliômio Iterpolador de Lagrage x 1,0 1,2 1,4 1,6 f(x) 2,718 3,320 4,055 4,953 L k (x) = x x j j = 0, x k x j j k L 0 (x) = (x 1,2)(x 1,4)(x 1,6) = (x 1,2)(x 1,4)(x 1,6) = (x 1,2)(x 1,4)(x 1,6) (1 1,2)(1 1,4)(1 1,6) ( 0,2)( 0,4)( 0,6) 0,048 L 1 (x) = (x 1)(x 1,4)(x 1,6) = (x 1)(x 1,4)(x 1,6) = (x 1)(x 1,4)(x 1,6) (1,2 1)(1,2 1,4)(1,2 1,6) (0,2)( 0,2)( 0,4) 0,016 L 2 (x) = (x 1)(x 1,2)(x 1,6) = (x 1)(x 1,2)(x 1,6) = (x 1)(x 1,2)(x 1,6) (1,4 1)(1,4 1,2)(1,4 1,6) (0,4)(0,2)( 0,2) 0,016 L 3 (x) = (x 1)(x 1,2)(x 1,4) = (x 1)(x 1,2)(x 1,4) = (x 1)(x 1,2)(x 1,4) (1,6 1)(1,6 1,2)(1,6 1,4) (0,6)(0,4)(0,2) 0,048 23

24 Poliômio Iterpolador de Lagrage 3 P 3 (x) = L i (x)f i i = 0 = L 0 (x)2,718 + L 1 (x)3,320 + L 2 (x)4,055 + L 3 (x)4,953 P 3 (x) = 2,718 (x 1,2)(x 1,4)(x 1,6) + 3,320 0,048 (x 1)(x 1,4)(x 1,6) 0,016 4,055 (x 1)(x 1,2)(x 1,6) + 4,953 0,016 (x 1)(x 1,2)(x 1,4) 0,048 P 3 (1,45) = 2,718{ [ (1,45 1,2) (1,45 1,4) (1,45 1,6)] / 0,048} + 3,320{ [ (1,45 1) (1,45 1,4) (1,45 1,6)] / 0,016} + 4,055{ [ (1,45 1) (1,45 1,2) (1,45 1,6)] / 0,016} + 4,953{ [ (1,45 1) (1,45 1,2) (1,45 1,4)] / 0,048} = 4,26306 Erro P 3 (1,45) = 4,26306 Poliômio Iterpolador de Lagrage e 1,45 = 4,26311 E(1,45) = e 1,45 P 3 (1,45) = 4, ,26306 = 0,

25 Cota para o Erro e x M para x Є (1, 1,6) e 1,6 = M E (x x k) M k = 0 ( + 1)! Poliômio Iterpolador de Lagrage = (1,45 1)(1,45 1,2)(1,45 1,4)(1,45 1,6) 4,953 4! = 0,

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