Departamento de Matemática - Universidade de Coimbra. Mestrado Integrado em Engenharia Civil. Capítulo 1: Sucessões e séries

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1 Departameto de Matemática - Uiversidade de Coimbra Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Exercícios Teórico-Práticos 200/20 Capítulo : Sucessões e séries. Liste os primeiros cico termos de cada uma das sucessões defiidas por: a = (0.2) (b) a =, a + = /( + a ), 2. Ecotre uma fórmula para o termo geral a da sucessão, assumido que o padrão dos primeiros termos cotiua. {,,,,...} (b) {2, 7, 2, 7,...} Verifique se cada uma das seguites sucessões coverge ou diverge. Em caso de covergêcia, determie o respectivo limite. a = ( ) (d) a = ( ) 2 + (g) a = l(2 ) (b) a = (c) a = (e) a = 2 + cos π (h) a = 2 (f) a = 3 + ( ) 2 (i) a = cos2 () 2 4. Use o gráfico da sucessão para decidir se a sucessão é covergete ou divergete. Se a sucessão for covergete, ecotre o valor do limite a partir do gráfico e em seguida prove que tem esse valor. a = ( ) + (b) a = si (c) a = 3! 5. Verifique se cada uma das sucessões é ou ão moótoa. Quais são as limitadas? a = 5 (b) a = (c) a = cos(π/2) (d) a = Mostre que a sucessão defiida por a + = /(3 a ), com a = 2, satisfaz 0 < a 2 e é decrescete. Deduza que a sucessão é covergete e ecotre o seu limite. 7. Fiboacci colocou o seguite problema: Supoha que determiados coelhos vivem eteramete e que em cada mês cada par produz um ovo par, que se tora reprodutivo com 2 meses de idade. Se começarmos com um par de recém-ascidos, quatos pares de coelhos teremos o -ésimo mês? Mostre que a resposta é f, ode {f } é a sucessão de Fiboacci defiida por f =, f 2 =, f = f + f 2, 3.

2 (b) Seja a = f + /f e mostre que a = + /a. Assumido que {a } é covergete, determie o seu limite. 8. Para cada uma das seguites alíeas, calcule pelo meos 0 somas parciais da série. Desehe ambas as sucessões de termos e de somas. Parece que a série é covergete ou divergete? Se for covergete, calcule a sua soma. Se for divergete, explique porquê. 0 3 (b) + (c) =4 3 ( ) 9. Se a -ésima soma parcial de uma série a for s = ( )/( + ), determie a. 0. Qual é o valor de c se =2 ( + c) = 2?. Seja a = Verifique se {a } é covergete. (b) Verifique se a é covergete. 2. Verifique se cada uma séries é covergete ou divergete. Se for covergete, calcule a sua soma (b) ( ) 2 ( 3) 5 (c) (d) (g) (e) (h) ( + 2) (f) (i) 6 [2(0.) + (0.2) ] l + 3. Escreva cada um dos seguites úmeros como uma razão de iteiros. 0.2 = (b) 3.47 = (c) Ecotre os valores de x para os quais cada uma das séries coverge. Calcule a soma da série para aqueles valores de x. x (b) 4 x (c) 3 x =0 5. Supoha que a, com a 0, é uma série covergete. Prove que /a é uma série divergete. 6. Se a e b forem ambas divergetes, (a + b ) é ecessariamete divergete? =0

3 7. Use o Teste do Itegral para determiar se cada uma das seguites séries é covergete ou divergete. (b) (c) e Determie se a série é covergete ou divergete (b) (d) 2 + (e) =2 l (f) 9. A fução zeta ξ de Riema é defiida por ξ(x) = x (c) e 2 e é usada em teoria dos úmeros para estudar a distribuição de úmeros primos. Qual é o domíio de ξ? 20. Calcule a soma da série com uma precisão de duas casas decimais Determie se cada uma das séries coverge ou diverge, aplicado os Critérios de Comparação. 5 + (b) (c) (d) (g) (j) 3 2 (e) 3 + cos 3 (h) + (l) ( + )( + 2) (f) (i) (m) = ( ) si 22. Use a soma dos 0 primeiros termos para aproximar a soma de cada série e calcule o valor aproximado do erro. (b) Prove que se a > 0 e a coverge, etão a 2 também coverge. 24. Mostre que se a > 0 e a for covergete, etão l( + a ) é covergete. 25. Verifique se as seguites séries alteradas são covergetes ou divergetes (b) ( ) (c) ( )

4 (d) ( ) (e) ( ) 2 + (f) ( )! 26. Quatos termos de cada série precisamos adicioar para ecotrar a soma parcial com um erro < 0.0. ( ) ( 2) (b) 2! 27. Aproxime a soma de cada uma das séries com a precisão de quatro casas decimais. ( ) ( ) (b) 2! 28. Para que valores de p R a série p =0 ( ) coverge? 29. Mostre que a série ( ) b, ode b = /, se for ímpar e b = 2, se for par, é divergete. Porque é que o Critério da Série Alterada ão se aplica? 30. Determie se cada uma das séries é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete. ( ) ( 3) ( 3) (b) (c) 3 (d) (g) (j) ( ) 5 + (e) ( 3) 4 (h) 2 2/ 2 2/(+) (l) 2! (f) 0 ( + )4 2+ (i) 3 +3 (m) si 2 2! ( 0) ( Os termos de uma série são defiidos recursivamete pelas equações a + = a, com a codição iicial a = 2. Determie se a coverge ou diverge. 32. Para quais das seguites séries o Critério da Razão ão é coclusivo? ( 3) (b) Para que iteiros positivos k a série (!) 2 (k)! é covergete? )

5 34. Prove que se a for absolutamete covergete, etão a a. 35. Mostre que, se a série de termo geral a é absolutamete covergete, o mesmo se verifica com a série de termo geral u = + 2 a. 36. Determie se cada uma das séries é covergete ou divergete. 2 ( 3) + (b) (c) (d) ( ) + (e) (f) l (g) (j) () =2 2 (l ) 3 ( + ) (h) (l) l ( + ) 3 (o) 3 2! ( ) 2 /! =2 3 (i) 5 + (m) ( ) l (p) ( ) Ecotre o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia de cada uma das séries de potêcias. x (b) x x (c)! =0 =0 (d) ( ) 4 x 3 x x (e) (f) ( + ) 2 l =0 =2 (g) (x ) (x + 2) (x 2) (h) ( ) (i) 2 (j) =0 =0 (x 3) (l)!(2x ) (m) (4x + ) 38. Se =0 c 4 for covergete, a série =0 c ( 2) é covergete? 39. Supoha que =0 c x coverge quado x = 4 e diverge quado x = 6. O que pode ser dito sobre a covergêcia ou divergêcia das seguites séries? (b) c 8 =0 c =0 40. Ecotre o domíio da fução de Bessel de ordem, J, defiida por ( ) x 2+ J (x) =!( + )!2 2+ =0 2

6 4. Mostre que se lim c / = c, etão o raio de covergêcia da série de potêcias c x é R = /c. 42. Supoha que sabe que a série =0 b x coverge para x < 2. O que pode b dizer sobre a série + x+? =0 43. Ecotre uma represetação em séries de potêcias para cada uma das fuções e determie o itervalo de covergêcia. f(x) = (b) f(x) = x (c) f(x) = x + x x Represete cada uma das seguites fuções como a soma de uma série de potêcias. Ecotre o respectivo itervalo de covergêcia. 3 7x f(x) = (b) f(x) = x 2 + x 2 3x 2 + 2x 45. Uma fução f é defiida por f(x) = + 2x + x 2 + 2x 3 + x 4 + isto é, os seus coeficietes são c 2 = e c 2+ = 2 para todo 0. Ecotre o itervalo de covergêcia da série e ecotre uma fórmula explícita para f(x). 46. Ecotre uma represetação em série de potêcias para cada fução e determie o raio de covergêcia. f(x) = (b) f(x) = ( + x) 2 ( + x) 3 (c) f(x) = l(5 x) (d) f(x) = x 3 (x 2) Represete cada itegral idefiido como uma série de potêcias. dx (b) tg (x)dx + x7 48. Use uma série de potêcias para aproximar o itegral defiido com precisão de seis casas decimais. 0.5 /3 dx (b) tg (x) dx + x Mostre que a fução 0 f(x) = é uma solução da equação diferecial ( ) x 2 =0 (2)! f (x) + f(x) = 0.

7 50. Seja f(x) = x 2. Ecotre os itervalos de covergêcia para f, f e f. 5. Ecotre a série de Maclauri para si x e prove que ela represeta si x para todo o x. 52. Ecotre a série de Maclauri para cos x e prove que esta represeta cos x, para todo o x. (b) Ecotre a série de Maclauri para a fução defiida por f(x) = x cos x. 53. Ecotre a série de Maclauri de cada uma das fuções. ( + x) 3 (b) l( + x) 54. Represete f(x) como a soma de uma série de Taylor cetrada em a. Obs: Assuma que f tem uma expasão em série de potêcias. Não mostre que R (x) 0. f(x) = si x, a = π/3 (b) f(x) = + x + x 2, a = 2 (c) f(x) = /x, a = (d) f(x) = e x, a = Assumido que as fuções dadas têm derivadas de todas as ordes em 0, determie a série de Maclauri dessas fuções, usado a série de Maclauri obtida para outras fuções. f(x) = cos πx (b) f(x) = x ta x (c) f(x) = x 2 e x (d) f(x) = si 2 x (Sugestão: Use si 2 x = ( cos 2x)/2) si x cos x se x 0 se x 0 (e) f(x) = x (f) f(x) = x se x = 0 2 /2 se x = Use a série de Maclauri de l( + x) para calcular l. com uma precisão de cico casas decimais. 57. Represete e x2 dx como uma série ifiita. (b) Calcule 0 e x2 dx com uma precisão de duas casas decimais. 58. Represete o itegral idefiido como uma série ifiita. x3 si(x 2 )dx (b) + dx 59. Use séries para aproximar os valores dos itegrais defiidos com a precisão idicada. 0. si(x 2 ) dx, (três casas decimais) (b) x3 + dx, (com erro < 0 3 ) 0 0

8 60. Use séries para determiar os limites. lim x 0 e x x x 2 (b) lim x 0 si x x + x 3 /6 x 5 6. Use multiplicação ou divisão de séries de potêcias para ecotrar os três primeiros termos diferetes de zero da série de Maclauri para cada fução. f(x) = e x2 cos x (b) f(x) = 62. Ecotre a soma da série. x 4 (b)! =0 =0 ( ) π (2 + )! l( x) e x 63. Prove a Desigualdade de Taylor para = 2, isto é, prove que se f (x) M para x a d, etão R 2 (x) M 6 x a 3, para x a d. 64. Mostre que a fução defiida por f(x) = ão é igual à sua série de Maclauri. { e /x 2 se x 0 0 se x = Use a série biomial para expadir cada uma das seguites fuções como uma série de potêcias, idicado o respectivo raio de covergêcia. + x (b) (2 + x) 3 (c) ( 8x) /4 x (d) 4 + x Use a série biomial para expadir / x 2. (b) Use a alíea para ecotrar a série de Maclauri para si x. 67. Expada f(x) = x/( x) 2 como uma série de potêcias. (b) Use a alíea para ecotrar a soma da série Ecotre os poliómios de Taylor até ao grau 6 para f(x) = cos x, em a = 0. (b) Calcule f e os poliómios de Taylor ateriores em x = π/4, x = π/2 e x = π. 69. Ecotre o poliómio de Taylor T (x) de cada fução f para os valores idicados. f(x) = l x, a =, = 4. (b) f(x) = si x, a = π/6, = 3. (c) f(x) = ta x, a = 0, = 4. (d) f(x) = e x si x, a = 0, = 3.

9 70. Aproxime cada fução f por um poliómio de Taylor com grau em a e use a Desigualdade de Taylor para determiar a precisão da aproximação f(x) T (x), quado x estiver o itervalo dado. f(x) = x, a = 4, = 2, 4 x 4.2 (b) f(x) = si x, a = π/4, = 5, 0 x π/2 (c) f(x) = ta x, a = 0, = 3, 0 x π/6 (d) f(x) = e x2, a = 0, = 3, 0 x 0. (e) f(x) = x 3/4, a = 6, = 3, 5 x 7 7. Use a Desigualdade de Taylor para determiar o úmero de termos da série de Maclauri para e x que devem ser usados para aproximar e 0. com uma precisão de quatro casas decimais. 72. Quatos termos da série de Maclauri para l( + x) são ecessários para aproximar l.4 com a precisão de duas casas decimais? 73. Utilize o Teorema da Aproximação das Séries Alteradas ou a Desigualdade de Taylor para aproximar o cojuto de valores x para os quais a aproximação dada tem o erro estabelecido. si x x x3 x2, erro < 0.0 (b) cosx x4, erro < 0.0 4! 74. Um dipolo eléctrico cosiste em duas cargas elétricas de magitude iguais e siais opostos. Se as cargas forem q e q e estiverem localizadas a uma distâcia d, etão o campo eléctrico E o poto P a figura é E = q D 2 q (D + d) 2. P D d Expadido essa expressão para E como uma série de potêcias de d/d, mostre que E é aproximadamete proporcioal a /D 3 quado P está muito distate do dipolo. 75. Determie a série de Fourier de cada uma das fuções f : R R periódica de período 2π, defiida o itervalo [ π, π] da seguite forma: { { 2x se 0 x π x se π < x 0 f(x) = (b) f(x) = x se π < x < 0 x se 0 < x π (c) f(x) = π2 2 x2 π + x se π < x 0 (d) f(x) = 2 4 π x se 0 < x π Determie a série de Fourier da fução f : R R periódica de período 2π, defiida por f(x) = x, para x [0, 2π]. q q

10 77. Sejam a (0, π) e f : R R uma fução periódica de período 2π, defiida em [ π, π] por: { se x a f(x) = 0 se a < x π Desevolva a fução em série de Fourier. (b) Mostre que si = π a 2 (c) Escreva a igualdade aterior (sem usar seos) para a = π/ Determie a série de Fourier da fução periódica de período 2π, defiida em [ π, π] por f(x) = x 2. (b) Usado a alíea aterior, calcule a soma da série ( ) Seja f : [0, π] R a fução defiida por f(x) = (π x) 2. Determie a série de cosseos da fução f. (b) Prove que = π Desevolva em série de Fourier a fução f(x) = x o itervalo [, ]. 8. Determie o desevolvimeto em: série de Fourier da fução y = e x, o itervalo [ L, L]; (b) série de Fourier de cosseos da fução f(x) = 2x, o itervalo [0, ]; (c) série de Fourier de seos da fução f(x) = x, o itervalo [0, L]..

11 Capítulo 2: Vectores e a Geometria do Espaço 82. Determie a equação da esfera com cetro em (0,, ) e raio 4. Qual é a itersecção dessa esfera com o plao yz? (b) Determie a equação da esfera que passa pelo poto (4, 3, ) e tem cetro em (3, 8, ). 83. Mostre que cada uma das seguites equações represeta uma esfera e determie o seu cetro e o raio. x 2 + y 2 + z 2 + 2x + 8y 4z = 28 (b) x 2 + y 2 + z 2 = x + y + z 84. Descreva cada uma das regiões de R 3 represetadas pela seguites equações ou iequações. x = 9 (b) y > 2 (c) z 2 (d) x 2 + y 2 + z 2 > (e) x 2 + y 2 + z 2 2z < 3 (f) x 2 + z Sejam a = (2, 2, ) e b = (5, 3, 2). Determie a b. (b) Determie o âgulo etre os vectores. 86. Para que valores de α são os vectores ( 6, α, 2) e (α, α 2, α) ortogoais? 87. Para a = 2i + j k e b = j + 2k determie: a b; (b) b a. 88. Determie a área do paralelogramo com vértices em P (0, 0, 0), Q(5, 0, 0), R(2, 6, 6) e S(7, 6, 6). 89. Dados P (, 0, ), Q(2, 4, 5), R(3,, 7), determie um vector ortogoal ao plao que passa pelos potos P, Q, R, e (b) calcule a área do triâgulo P QR. 90. Calcule o volume do paralelipípedo determiado pelos vectores a = (, 0, 6), b = (2, 3, 8) e c = (8, 5, 6). 9. Determie uma equação vectorial e equações paramétricas para a recta que passa pelo poto (, 0, 3) e é paralela ao vector 2i 4j + 5k. 92. Verifique se as rectas L e L 2 se itersectam: L : x 2 = y = z 4 L 2 : x = y = z Determie as equações a forma simétrica da recta que passa pelo poto (0, 2, ) e é paralela à recta com equações paramétricas x = + 2t, y = 3t, z = 5 7t.

12 (b) Determie os potos os quais a recta da alíea aterior itersecta os plaos coordeados. 94. Determie a equação do plao que passa pelo poto (6, 3, 2) e é perpedicular ao vector ( 2,, 5). 95. Descreva e esboce o gráfico das superfícies: y 2 + 4z 2 = 4; (b) x 2 y 2 = ; (c) y = 4x Determie o traço de cada superfície dada os plaos x = k, y = k, z = k. Idetifique a superfície e faça o esboço da mesma: 4x 2 + 9y z 2 = 36; (b) x 2 + 4z 2 y = Coloque cada equação a forma padrão, classifique a superfície e faça o esboço: z 2 = 3x 2 + 4y 2 2; (b) x 2 + 4y 2 + z 2 2x = 0; (c) 4x 2 9y 2 + z = 0; (d) z = x 2 + y 2 + ; (e) x 2 y 2 + 4y + z = 4; (f) 4x = y 2 2z Desehe a região delimitada pela superfície z = x 2 + y 2 e x 2 + y 2 = para z Mostre que a curva obtida pela itersecção das superfícies x 2 + 2y 2 z 2 + 3x = e 2x 2 + 4y 2 2z 2 5y = 0 pertece a um plao. 00. Desehe o poto cujas coordeadas cilídricas são dadas. Depois, determie as coordeadas rectagulares do poto. (3, π/2, ); (b) (5, π/6, 6). 0. Coverta de coordeadas rectagulares para coordeadas cilídricas: (,, 4). 02. Coverta de coordeadas rectagulares para coordeadas esféricas: (,, 2). 03. Coverta de coordeadas cilídricas para coordeadas esféricas: (4, π/3, 4). 04. Idetifique a superfície cuja equação é: r = 4 si θ; (b) ρ cos φ = 2; (c) ρ 2 6ρ + 8 = Descreva em coordeadas cilídricas a região x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2. (b) Descreva em coordeadas esféricas a região 3(x 2 + y 2 ) z 2 4.

13 Capítulo 3: Fuções de várias variáveis e derivadas parciais 06. Determie f(, 2), o domíio de f e o cotradomíio de f defiida por: f(x, y) = e x2 y ; (b) f(x, y) = 36 9x 2 4y Determie e desehe o domíio da fução defiida por: f(x, y) = x + y; (b) f(x, y) = l(9 x 2 9y 2 ); 3x + 5y (c) f(x, y) = x 2 + y 2 4 ; (d) f(x, y) = xy x 2 + y. 08. Desehe o gráfico da fução defiida por: f(x, y) = x y; (b) f(x, y) = x 2 ; (c) f(x, y) = x 2 + 9y 2 ; (d) f(x, y) = x 2 + y 2 ; 09. Trace as curvas de ível para as fuções defiidas por: f(x, y) = xy; (b) f(x, y) = x y ; (c) f(x, y) = e/(x2 +y 2). 0. Trace as curvas de ível de cada fução e desehe o seu gráfico. f(x, y) = x 2 + 9y 2 ; (b) f(x, y) = 36 9x 2 4y 2.. Uma camada fia de metal, localizada o plao xy, tem temperatura T (x, y) o poto (x, y). As curvas de ível de T são chamadas isotérmicas porque todos os potos em uma isotérmica têm a mesma temperatura. Faça o esboço de algumas isotérmicas se a fução temperatura for dada por T (x, y) = 00/( + x 2 + 2y 2 ). 2. Supoha que lim (x,y) (3,) f(x, y) = 6. O que podemos dizer acerca do valor de f(3, )? E se a fução f for cotíua? 3. Determie o limite, se existir, ou mostre que o limite ão existe: lim (x,y) (0,0) 8x 2 y 2 (c) lim (x,y) (0,0) (e) lim (x,y) (0,0) x 2 x 2 + y 2 ; x 3 + xy 2 (b) lim x 4 + y 4 (x,y) (0,0) x 2 + y 2 xy 2x 2 y (d) lim (x,y) (0,0) x2 + y 2 x 4 + y 2 (f) lim (x,y,z) (0,0,0) xy + yz 2 + xz 2 x 2 + y 2 + z 4 4. Determie o domíio de cotiuidade das fuções defiidas por: f(x, y) = x y (b) f(x, y) = x 2 y + x 2 + y 2 xyz x 2 y 3, se (x, y) (0, 0) (c) f(x, y, z) = (d) f(x, y) = x 2 + y 2 2x z 2 + y2, se (x, y) = (0, 0)

14 { (e) f(x, y, z) = xy, se (x, y) (0, 0) x + y + z (f) f(x, y) = x 2 + xy + y2, se (x, y) = (0, 0) { xy (g) f(x, y) = x y, x y y 2 (h) f(x, y) = x + 5, se x2 + y 2 = 25 0, x = y 0, se x 2 + y Determie as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das fuções defiidas por: f(x, y) = 3x 2y 4 ; (b) f(x, y) = xe 3y ; (c) f(x, y) = x y x + y (d) f(x, y) = l(x + x 2 + y 2 ); (e) f(x, y, z) = xy 2 z 3 + 3yz (f) f(x, y, z) = l(x + 2y + 3z); (g) u = x 2 + x x 2 ; (h) u = si(x + 2x x ) 6. Determie as derivadas parciais os potos idicados: f(x, y) = x 2 + y 2 ; f x (3, 4) (b) f(x, y, z) = x y + z ; f z(3, 2, ). 7. Use a defiição de derivada parcial para determiar f x (x, y) e f y (x, y). f(x, y) = x 2 xy + 2y 2 ; (b) f(x, y) = 3x y. 8. Determie as derivadas parciais de seguda ordem das fuções defiidas por f(x, y) = x 4 3x 2 y 3 ; (b) f(x, y, z) = x x + y. 9. Verifique se as coclusões do Teorema de Clairaut, isto é, u xy = u yx são verdadeiras para as fuções: u = x 5 y 4 3x 2 y 3 + 2x 2 ; (b) u = si 2 x cos y. 20. Determie as derivadas parciais idicadas: f(x, y) = x 2 y 3 2x 4 y; f xxx (b) f(x, y, z) = x 5 + x 4 y 4 z 3 + yz 2 ; f xyz. 2. Determie se cada uma das fuções é solução da equação de Laplace u xx +u yy = 0. u = x 2 + y 2 ; (b) u = e x cos y e y cos x. 22. Mostre que cada uma das seguites fuções é solução da equação das odas u tt = a 2 u xx. u = si(kx) si(akt); (b) u = (x at) 6 + (x + at) Mostre que a fução z = xe y + ye x é uma solução da equação 24. Seja f(x, y) = 3 z x + 3 z 3 y = x 3 z 3 x y + y 3 z 2 x 2 y. x 3 y xy 3 x 2 + y 2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

15 Determie f x (x, y) e f y (x, y) quado (x, y) (0, 0). (b) Calcule f x (0, 0) e f y (0, 0). (c) Mostre que f xy (0, 0) = e f yx (0, 0) =. (d) O resultado da alíea aterior cotradiz o Teorema de Clairaut? 25. Determie uma equação do plao tagete à superfície o poto especificado. z = y 2 x 2 ; ( 4, 5, 9); (b) z = 4 x 2 2y 2 ; (,, ). 26. Explique por que razão cada fução é difereciável o poto dado. Faça em seguida a liearização L(x, y) da fução dada o poto. f(x, y) = x y, (, 4) (b) f(x, y) = y l x, (2, ) (c) f(x, y) = e x cos xy, (0, 0) (d) f(x, y) = + x 2 y 2, (0, 2). 27. Determie o diferecial de cada fução: z = x 2 y 3, (b) u = e t si θ. 28. Se z = 5x 2 + y 2 e (x, y) varia de (, 2) a (.05, 2.), compare os valores de z e dz. 29. Mostre que a fução f(x, y) = x 2 + y 2 é difereciável achado valores ɛ e ɛ 2 que satisfaçam a defiição de fução difereciável. { xy, se (x, y) (0, 0) 30. Seja f(x, y) = x 2 + y2 0, se (x, y) = (0, 0). Mostre que f x (0, 0) e f y (0, 0) existem mas f ão é difereciável em (0, 0). 3. Use a regra da cadeia para determiar dz/dt ou dw/dt de: z = x 2 y + xy 2, x = 2 + t 4, y = t 3 ; (b) z = si x cos y, x = πt, y = t; (c) w = xe y/z, x = t 2, y = t, z = + 2t; (d) w = xy + yz 2, x = e t, y = e t si t, z = e t cos t. 32. Utilize a regra da cadeia para determiar z/ s e z/ t. z = x 2 + xy + y 2, x = s + t, y = st; (b) z = x/y, x = s e t, y = + s e t ; (c) z = e r cos θ, r = st, θ = s 2 + t 2 ; (d) z = si α ta β, α = 3s + t, β = s t. 33. Se z = f(x, y), ode x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, g (3) = 5, h(3) = 7, h (3) = 4, f x (2, 7) = 6 e f y (2, 7) = 8, determie dz/dt, quado t = 3.

16 34. Utilize a regra da cadeia para determiar as derivadas parciais idicadas w = x 2 + y 2 + z 2, x = st, y = s cos t, z = s si t; (b) z = y 2 ta x, x = t 2 uv, y = u + tv 2 ; z t, z u, w s, w, quado s =, t = 0. t z, quado t = 2, u =, v = 0. v 35. Um carro A viaja para orte a via rápida IP3, e um carro B viaja para oeste a via rápida IP5. Os dois carros aproximam-se da itersecção dessas duas vias rápidas. Num certo mometo, o carro A está a 0.3km da itersecção viajado a 90km/h, ao passo que o carro B está a 0.4km da itersecção viajado a 80km/h. Qual a taxa de variação da distâcia etre os carros esse istate? 36. Assuma que todas as fuções dadas são difereciáveis. Se z = f(x, y), ode x = r cos θ e y = r si θ determie z/ r e z/ θ e ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 z z z mostre que + = + ( ) 2 z. x y r r 2 θ (b) Se z = f(x y), mostre que z x + z y = Assuma que todas as fuções dadas têm derivadas parciais de seguda ordem cotíuas. Mostre que qualquer fução da forma z = f(x + at) + g(x at) é uma solução da equação de odas 2 z t = 2 z 2 a2 x. 2 (b) Se z = f(x, y), ode x = r 2 + s 2 e y = 2rs, determie 2 z/ r s. 38. Determie a derivada direccioal de cada fução f o poto dado e a direcção idicada pelo âgulo θ. f(x, y) = x 2 y 3 + 2x 4 y, (, 2), θ = π/3; (b) f(x, y) = 5x 4y, (4, ), θ = π/ Sejam f(x, y) = 5xy 2 4x 3 y, P (, 2) e u = (5/3, 2/3). Determie o gradiete de f. (b) Calcule o gradiete o poto P. (c) Determie a taxa de variação de f em P a direcção do vector u. 40. Calcule a derivada direccioal de cada fução o poto dado a direcção do vector v. f(x, y) = + 2x y, (3, 4), v = (4, 3); (b) g(s, t) = s 2 e t, (2, 0), v = (, );

17 (c) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, (, 2, 2), v = ( 6, 6, 3); (d) g(x, y, z) = x arcta(y/z), (, 2, 2), v = (,, ). 4. Determie a derivada direccioal de f(x, y) = xy em P (2, 8), a direcção de Q(5, 4). 42. Determie a taxa de variação máxima de cada fução f o poto dado e a direcção em que tal ocorre. f(x, y) = xe y + 3y, (, 0); (b) f(x, y) = si(xy), (, 0); (c) f(x, y, z) = x + y/z, (4, 3, ); (d) f(x, y, z) = x/y + y/z, (4, 2, ). 43. Mostre que uma fução difereciável f decresce mais depressa em x a direcção oposta à do vector gradiete, ou seja, a direcção f(x). (b) Utilize a alíea aterior para determiar a direcção ode f(x, y) = x 4 y x 2 y 3 decresce mais rápido o poto (2, 3). 44. Determie as equações do plao tagete e da recta ormal a cada superfície dada o poto idicado. x 2 +2y 2 +3z 2 = 2, (4,, ); (b) x 2 +y 2 z 2 2xy +4xz = 4, (, 0, ); (c) z + = xe y cos z, (, 0, 0); (d) xe yz =, (, 0, 5). 45. Se f(x, y) = x 2 + 4y 2, determie o vector gradiete f(2, ) e use-o para determiar a recta tagete à curva de ível da fução f(x, y) = 8 o poto (2, ). Desehe as curvas de ível, a recta tagete e o vector gradiete. 46. Mostre que a equação do plao tagete ao elipsóide x 2 /a 2 + y 2 /b 2 + z 2 /c 2 = o poto (x 0, y 0, z 0 ) pode ser escrita como xx 0 a 2 + yy 0 b 2 + zz 0 c 2 =. 47. Determie os potos o hiperbolóide x 2 y 2 + 2z 2 = ode a recta ormal é paralela à recta que ue os potos (3,, 0) e (5, 3, 6). 48. Determie as equações paramétricas da recta tagete à curva formada pela itersecção do parabolóide z = x 2 + y 2 com o elipsóide 4x 2 + y 2 + z 2 = 9 o poto (,, 2). 49. Mostre que a fução f(x, y) = (xy) /3 é cotíua e as suas derivadas parciais f x e f y existem a origem mas a derivada direccioal ão existe. 50. Determie os valores máximos e míimos locais e potos sela da fução. f(x, y) = 9 2x + 4y x 2 4y 2 ; (b) f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4; (c) f(x, y) = + 2xy x 2 y 2 ; (d) f(x, y) = xy 2x y.

18 5. Determie os valores máximo e míimo absoluto de cada fução f o cojuto D. f(x, y) = x 2 + y 2 + x 2 y + 4, D = {(x, y) : x, y }; (b) f(x, y) = + xy x y, D é a região limitada pela parábola y = x 2 e pela recta y = 4; (c) f(x, y) = 2x 3 + y 4, D = {(x, y) : x 2 + y 2 }. 52. Determie a distâcia mais curta etre o poto (2, 2, 3) e o plao 6x+4y 3z = Utilize os Multiplicadores de Lagrage para determiar os valores máximo e míimo de cada fução sujeita à restrição dada. f(x, y) = x 2 y 2 ; x 2 + y 2 = ; (b) f(x, y) = x 2 y; x 2 + 2y 2 = 6; (c) f(x, y, z) = 2x + 6y + 0z, x 2 + y 2 + z 2 = 35; (d) f(x, y, z) = xyz, x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6; 54. Determie os valores extremos de f a região descrita pela desigualdade. f(x, y) = 2x 2 + 3y 2 4x 5, x 2 + y 2 ; (b) f(x, y) = e xy, x 2 + 4y Determie os potos da superfície z 2 = xy + que estão mais próximos da origem. 56. Determie três úmeros positivos cuja soma é 00 e cujo produto é máximo. 57. Determie o volume da maior caixa rectagular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser iscrita o elipsóide 9x y 2 + 4z 2 = 36.

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