Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo 1 - Primeira Lista - 01/2017

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1 Lista de Exercícios de Cálculo 2 Módulo - Primeira Lista - 0/207. Determie { ( se a seqüêcia coverge ou diverge; se covergir, ache o limite. 5 ) } { } { } { arcta(), 000 (b) (c) ( ) l() } { } { 4 2 } { } + cos() l( + ) 2 2 (g) (h) { e l() } (i) { ( ) 3 3 } { ( )} (j) si (k) { /} (l) { + } { ( )} { } si() (m) ( ) 2 + () (o) { ( + 4) /(+4)} (p) { 8 /} 2. Cosidere a sequêcia {x k } defiida pela recorrêcia x k+ = x k ta x k. Supodo que a sequêcia covirja para lim x k = L, mostre que L = πs, para algum iteiro s Z. 3. Uma sequêcia de úmeros racioais é descrita como, 3 2, 7 5, 7 2,, a b, a + 2b a + b,. Aqui o umerador forma uma sequêcia, o deomiador forma uma seguda sequêcia e as razões formam uma terceira sequêcia. Sejam x e y, respectivamete, o umerador e o deomiador da -ésima fração r = x /y. Verifique que x 2 2y 2 =, x 2 2 2y 2 2 = + e, mais geral, se a 2 2b 2 = ±, etão (a+2b) 2 (a+b) 2 =. (b) As frações r = x /y se aproximam de um limite quado aumeta. Qual é esse limite? 4. Utilize séries cohecidas, covergetes ou divergetes, para determiar se a série é covergete ou divergete, o caso da covergêcia, determie a soma. [( ) ( ) ] 3 [( ) ( ) ] 3 2 [ + (b) + (c) 2 2 3] [ ( + ) ] 8 5. Verifique que a fução determiada pelo -ésimo termo da série verifica a hipótese do teste da itegral e use o teste para verificar a covergêcia das séries. l() (3 + 2) 2 (b) 2 (c) + =2 =2 (l()) 2 ( ) ta ( 2 + ) 2 (g) sech 2 8 arcta() () (h) + 2. Utilize o teste da comparação para determiar a covergêcia das séries abaixo. 2 + cos() arcta() (b) + 2 (c)! =2 + tah() 2 (g) 2 (h) =2

2 7. Utilize o teste da razão para determiar a covergêcia das séries abaixo ! 2 (b) 5 (c) ( + )! e =0 =0 =0 =0 ( + )( + 2)! l()! (g) (h)! (2 + )! =0 =0 8. Utilize o teste da raiz para determiar a covergêcia das séries abaixo. 5 + ( ) (b) (l()) (c) 2 + =2 =2 ( ) 3 ( ) l() (g) (h) (l()) /2 =2 =2 =2 ( l() 9. Determie se as séries verificam as codições do teste das séries alteradas, além disso verifique a covergêcia. ( ) 2 (b) ( ) (c) ( ) ( + e ) ( ) e2 + e 2 =0 =0 + ( ) l() ( ) (g) ( ) 0 / (h) ( ) si() + 2 = Determie se as séries são absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete. ( ) (b) ( ) l() ( 0) (c) ( ) 2 + 2/3! =2 =0 si ( ) ( ) cos(π) (g) ( ) sech() (h) ( ) l() 3 + l() =2 =2 ) 2

3 Gabarito. Respostas Coverge (b) A fução arcta x é limitada por ±π/2. Assim, π 2 arcta x sequêcia é covergete, pois ± π arcta 0, logo 0. 2 Coverge Diverge Coverge (g) Coverge (h) Coverge (i) Coverge (j) Coverge (k) Coverge (l) Facilmete se verifica que + = (m) Como 2 + = π. Pelo teorema do saduíche a Portato, a sequêcia é covergete Não é possível verificar a covergêcia da sequêcia ( ) ( 2 + ). Pois, fazedo, o valor da sequêcia ficaria oscilado as proximidades dos úmeros ±/2. Logo, a sequêcia diverge. () Coverge (o) Coverge (p) Coverge 2. Quado a sequêcia x L, ou seja, o ifiito a relação de recorrêcia x k+ = x k ta x k é da forma L = L ta L. Portato L = πs, em que s Z. 3. Respostas Supodo que a 2 2b 2 = ±, tem-se que (a + 2b) 2 2(a + b) 2 = (a 2 2b 2 ) =. (b) Como (a + 2b) 2 2(a + b) 2 (a + 2b)2 =, etão (a + b) 2 2 = (a + b) 2. Defiido r = x /y, tem-se que r 2 2 =. Sabe-se que a sequêcia y é crescete e que y +. Logo, r 2 2 0, ou seja r Respostas Coverge (b) Diverge (c) Coverge Coverge 5. Respostas Coverge (b) Diverge y 2 3

4 Coverge O termo geral da série a = ta(/) é decrescete. Mas, a quado. Portato, a série diverge. Coverge (g) Como f(x) = sech 2 x = itegral. Assim, (h) Coverge. Respostas Coverge (b) Coverge ˆ 4 (e x + e x é uma fução cotíua e decrescete, pode-se aplicar o teste da ) 2 sech 2 xdx = tah x! 2 para todo 4. Assim, pelo teste da comparação, Diverge Coverge (g) Coverge = tah. Portato, a série coverge.! 2 para todo 4. Como a série dada por 2 é covergete,! coverge. (h) A soma dos primeiros úmeros ao quadrado é dado por = série pode ser reescrita a forma = 7. Respostas ( + )(2 + ). Logo, a ( + )(2 + ). Como ( + )(2 + ) 3 e a série dada por 3 é covergete, tem-se, pelo teste da comparaçao, que a série também é covergete. Coverge (b) Coverge (c) Coverge Diverge Coverge Coverge (g) Diverge (h) Pelo teste da razão, tem-se que 8. Respostas Coverge (b) Coverge ( + )!! ( + ) + = ( + /) e <. Portato, a série coverge. 4

5 (c) Coverge Diverge ( Neste caso, o teste da raiz ão se aplica, pois ) 3 ( = 3 ). No etato, o termo geral ( da série a = ) 3 e 3 0. Portato, a série diverge. Coverge (g) Coverge (h) Diverge 9. Respostas Coverge (b) Coverge Diverge x + Trasformado o termo geral da sequêcia em uma fução real, tem-se que f(x) = x +. Derivado, se verifique que f (x) = x 2 x + 2 < 0 para x. Ou seja, a fução f(x) é decrescete para x. x(x + ) 2 + Como f(x) 0 quado x, coclui-se, pelo teste de Leibiz, que a série dada por + é covergete. Coverge (g) Diverge (h) Coverge 0. Respostas Diverge (b) Codicioalmete Covergete (c) Codicioalmete Covergete Absolutamete Covergete Absolutamete Covergete Codicioalmete Covergete (g) Absolutamete Covergete l (h) É possível mostrar que a seqüêcia dos termos gerais é decrescete para 4 e que 0. Ou l seja, a série alterada é covergete. Sabe-se, aida, que l + l + = 2. Assim, l l l 2. Como a série dada por l é divergete, tem-se que l 2 ( ) l l 2 também é divergete. Logo, a série ( ) l é codicioalmete covergete. l 5