AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. 1. Assinale com V as proposições que considere verdadeiras e com F as que considere

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1 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. Sedo A e B cojutos disjutos, ambos majorados, os respectivos supremos ão podem coicidir b. Um cojuto pode ter máximo sem que teha supremo c. Um cojuto pode ter ífimo sem que teha míimo d. Sedo A e B cojutos disjutos, ambos com míimo, os respectivos miimos ão podem coicidir e. Se A é miorado e ão tem míimo, etão qualquer real superior ao ífimo de A excede (é maior que) uma ifiidade de elemetos de A f. O ífimo de um cojuto uca pode ser igual ao respectivo supremo g. Sedo A e B cojutos ão disjutos e majorados, o supremo do cojuto A B uca pode exceder (ser maior que) o meor dos supremos dos cojuto A e B h. Sedo A e B cojutos ão disjutos e miorados, o ífimo do cojuto A B pode ser iferior ao meor dos supremos dos cojuto A e B i. Um cojuto idutivo ão pode ter reais egativos j. Existem cojutos idutivos majorados l. Sedo A e B cojutos idutivos, A B pode ão ser idutivo m. Sedo A e B cojutos idutivos, A B é idutivo. O cojuto dos úmeros aturais pares é idutivo o. Sedo A e B cojutos idutivos e ão disjutos, A B ão pode em ehum caso ser idutivo p. O cojuto dos úmeros primos superiores a 0 99 tem míimo q. O cojuto dos úmeros primos é idutivo

2 r. Etre os racioais 0,5 e 0, ão existe ehum úmero racioal s. Etre os racioais 0,5 e 0, apeas existe um úmero fiito de irracioais t. O produto de dois úmeros irracioais é sempre irracioal u. A soma de dois racioais pode ser um úmero irracioal v. A raiz quadrada de um úmero racioal uca pode ser racioal x. A dízima 0,α α α 3 α, em que α i = se i for quadrado perfeito e α i = 0 se i ão for quadrado perfeito, represeta um úmero racioal z. A dízima 0,333 (3) represeta um úmero racioal. Dê exemplos de : a) De um cojuto que ão seja um itervalo em uma uião fiita de itervalos, que seja majorado e miorado e que ão teha máximo em míimo. b) De um cojuto idutivo a que ão perteça ehum úmero atural. c) De um cojuto idutivo a que ão perteça ehum úmero atural em ehum úmero irracioal d) De dois úmeros irracioais distitos cujo produto seja um úmero racioal 3. Determie o supremo, o ífimo, o míimo e o máximo (caso existam) do seguite cojuto : + A = : N : N + 4. Explicite a dízima que represeta 7/3 5. Represete sob a forma de uma fracção irredutível o racioal represetado pela dízima 0,3888 (8). 6. Justifique que é um úmero irracioal 7. Supodo que o atural é quadrado perfeito, justifique que + ão pode ser quadrado perfeito. Nota : Um úmero atural diz-se quadrado perfeito quado é o quadrado de outro úmero atural 8. Utilize o método de idução matemática para provar que para qualquer atural a igualdade seguite é verdadeira, =

3 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO II. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. O real / pertece à vizihaça V / () b. As vizihaças V /3 () V /3 (0) são disjutas c. Os potos iteriores de um cojuto A são em qualquer caso potos de acumulação de A d. Os potos froteiros de um cojuto A são em qualquer caso potos de acumulação de A e. Os potos froteiros de um cojuto A uca são potos de acumulação de A f. Não existem cojutos cuja froteira coicida com o derivado g. Sedo A aberto e B fechado, A B é em qualquer caso fechado h. Sedo A aberto e B fechado, A B é em qualquer caso aberto i. Um cojuto aberto ão pode ter máximo em míimo j. O supremo do derivado de um cojuto ão pode exceder o supremo do próprio cojuto l. O iterior de um cojuto está cotido o derivado desse mesmo cojuto m. Sedo A limitado e A ão vazio, ão pode ter-se A INT A. Sedo A e B abertos, etão (R A) B é fechado o. Sedo A aberto, etão A A p. Qualquer cojuto ifiito tem pelo meos um poto iterior q. Qualquer cojuto ifiito tem pelo meos um poto froteiro r. Qualquer cojuto ão vazio e majorado tem pelo meos um poto froteiro

4 s. Qualquer cojuto ão vazio e miorado tem pelo meos um poto froteiro t. Se A é aberto, etão FRONT A = u. Se A é limitado e aberto, etão FRONT A v. Se A é limitado e fechado, etão FRONT A x. Qualquer que seja A, INT (FRONT A ) = z. Qualquer que seja A, INT (FRONT A ) FRONT (INT A). Dê exemplos : a) De um cojuto limitado sem potos de acumulação b) De um cojuto aberto majorado mas ão miorado c) De um cojuto com iterior vazio mas com ifiitos potos de acumulação d) De um cojuto fechado sem potos de acumulação e) De um cojuto fechado com apeas dois potos de acumulação 3. Cosidere o cojuto A = ] 0, [ {(-) + / : N } {-, } a) Determie o iterior, a froteira e o derivado de A b) Diga justificado se se trata de um cojuto aberto ou fechado c) Determie, caso existam, o ífimo, supremo, míimo e máximo de A 4. Mostre que se a A ão é poto de acumulação do complemetar de A, etão a é poto iterior de A 5. Utilizado exemplos coveietes, mostre que pode ter-se: a) FRONT (INT A) FRONT A b) INT (FRONT A) 6. No texto da folha aexa ecotra-se a demostração de uma certa propriedade. Leia atetamete tal demostração, procure etedê-la e em seguida eucie a propriedade que se pode cosiderar provada com tal demostração.

5 . Atededo a que A B A, coclui-se que (A B) A, qualquer que seja o cojuto B. Tal iclusão é portato válida se em particular B =.. Cosidere-se agora a A e admita-se que B =. Como a B (dado ser B = ), existe uma particular vizihaça V δ (a) a que ão pertece ehum elemeto de B, salvo evetualmete o próprio a. Sedo V ε (a) uma qualquer vizihaça de a, vejamos que ela se ecotra pelo meos um x A B distito de a, assim se provado que a (A B) como se pretedia. Dois casos se podem dar : i) Se δ < ε, teremos V δ (a) V ε (a). Em V δ (a) ecotra-se pelo meos um x A distito de a, por ser a A ; esse x ão pode pertecer a B pois vimos acima que em V δ (a) ão se ecotra ehum elemeto de B salvo evetualmete o próprio a ; etão esse x A B, é distito de a e tem de pertecer a V ε (a), tedo em vista que V δ (a) V ε (a). ii) Se ε δ, teremos V ε (a) V δ (a). Em V ε (a) ecotra-se pelo meos um x A distito de a, por ser a A ; esse x pertece também à vizihaça V δ (a) dado que V ε (a) V δ (a) ; portato, esse mesmo x ão pode pertecer a B, pois vimos acima que em V δ (a) ão se ecotra ehum elemeto de B salvo evetualmete o próprio a ; etão esse x A B, é distito de a e pertece a V ε (a).

6 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO III. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. Uma sucessão cujos termos de ordem par formam uma subsucessão crescete e os termos de ordem ímpar formam uma subsucessão decrescete uca pode ter limite b. Uma sucessão limitada pode ão ter limite c. Uma sucessão com limite pode ão ser limitada d. Uma sucessão com limite fiito pode ão ser limitada e. Se uma sucessão verifica a codição de Cauchy e admite uma subsucessão com limite igual a /, etão o limite máximo da sucessão é igual ao seu limite míimo f. O cojuto dos sublimites de uma sucessão ão pode ser ifiito g. Se o limite máximo de uma sucessão é igual a e o limite míimo igual a 0, etão a sucessão ão pode verificar a codição de Cauchy h. Se uma sucessão admite como sublimite +, etão o cojuto dos sublimites fiitos da sucessão ão pode ser limitado i. O cojuto dos sublimites de uma sucessão é sempre fechado j. A sucessão de termo geral u = + é moótoa l. A sucessão de termo geral u = verifica a codição de Cauchy + m. Uma sucessão crescete com todos os termos egativos verifica ecessariamete a codição de Cauchy. Existem úmeros irracioais que ão são limite de ehuma sucessão crescete de úmeros racioais o. Sedo A um subcojuto fechado de R, sedo x A ( =,, 3, ) e sedo S o cojuto dos sublimites fiitos da sucessão x, etão S A.

7 p. Sedo u x v (para N ), lim u = /, lim v = e represetado por S o cojuto dos sublimites da sucessão x, etão S [ /, ] q. Sedo A um cojuto limitado e ifiito, existe pelo meos uma sucessão de elemetos de A sem termos repetidos e com limite fiito r. Se lim y =, etão pode ão existir lim y + y s. Se lim y =, etão se existir lim y + este limite só pode ser igual a y t. Se existem fiitos os limites lim (u + v ) e lim (u v ), etão as sucessões u e v têm também limites fiitos u. Se u > 0, v > 0, lim u = lim v e ambos os limites são fiitos, etão u ão pode ter-se lim = + v v. Sedo o limite máximo de uma sucessão u, o úmero de termos da sucessão que excedem, só pode ser fiito x. Sedo o limite míimo de uma sucessão u, o úmero de termos da sucessão que são iferiores a, pode ser ifiito z. Sedo u e v duas sucessões que verificam a codição u v < / para N, etão ambas as sucessões têm limite fiito. Dê exemplos, explicitado em cada caso o termo geral da sucessão: a) De uma sucessão de termos todos distitos que admita como sublimites apeas os reais 0 e b) De uma sucessão crescete com limite real egativo c) De duas sucessões com limite ifiito cujo quociete ão teha limite x d) De uma sucessão x tal que lim exista, sem que exista lim (x+ x ) e) De uma sucessão de termos todos distitos, limitada e sem limite 3. Determie os sublimites, bem como os respectivos limites máximo e míimo, da sucessão de termos geral, x = ( ). s e ( π / ) + ( ) +

8 4. Calcule os limites seguites: e a) lim [ l o g ( + ) l o g ] / b) lim c) lim d) lim / [ l o g ( + ) l o g ] ! + 4! + 6! + + ( )! 3.[( )!] ; ;. ; 5. Diga se há ou ão um erro o seguite cálculo : l i m. ( e l o g ( + ) ) = l i m. [ +. ξ ( ) ]. η( ) = l i m. ξ ( ). η( ) = ξ ( ) = l i m = η( ) Caso eteda haver um erro faça o cálculo correcto do limite. 6. Duas sucessões, uma crescete u e outra decrescete v, dizem-se cotíguas se e só se lim (u - v ) = 0. Prove que duas sucessões cotíguas são covergetes e têm limite comum. 7. Existido e sedo ão ulo lim (x + x ), mostre que lim x = ±. Explicite em que codições o limite é mais ou meos ifiito

9 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO VI. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. A fução que a cada x ] -, + [ faz correspoder f (x) = x.( + x) - é ijectiva b. Sedo f (x) estritamete crescete o seu domíio, etão é ijectiva c. Sedo f (x) ijectiva o seu domíio, etão é estritamete moótoa d. Sedo f (x) crescete o seu domíio, etão a fução g(x) = f (x) é igualmete crescete o seu domíio e. Sedo f (x) crescete o seu domíio, etão a fução g (x) = f (x) é igualmete crescete o seu domíio f. Em qualquer poto de acumulação do respectivo domíio, uma fução admite pelo meos um sublimite g. Em qualquer poto de acumulação do respectivo domíio, uma fução ou admite limite à direita ou limite à esquerda h. Se o limite de uma fução f (x) o poto a é igual a, etão verifica-se a seguite codição : Qualquer que seja δ >, existe ε = ε (δ ) > 0 tal que, para todos os x a do domíio da fução que perteçam a V ε (a) os correspodetes valores f (x) pertecem a V δ () i. Se o limite de uma fução f (x) o poto a é igual a, etão verifica-se a seguite codição : Qualquer que seja 0 < δ <, existe ε = ε (δ ) > 0 tal que, para todos os x a do domíio da fução que perteçam a V ε (a) os cor-respodetes valores f (x) pertecem a V δ () j. Se em relação a certo poto a de acumulação do domíio de f (x) se verifica a seguite codição, Qualquer que seja δ >, existe ε = ε (δ ) > 0 tal que, para todos os x a do domíio da fução que perteçam a V ε (a) os correspodetes valores f (x) pertecem a V δ (), etão o limite de f (x) o poto a é igual a l. Se em relação a certo poto a de acumulação do domíio de f (x) se verifica a seguite codição,

10 Qualquer que seja 0 < δ <, existe ε = ε (δ ) > 0 tal que, para todos os x a do domíio da fução que perteçam a V ε (a) os correspodetes valores f (x) pertecem a V δ (), etão o limite de f (x) o poto a é igual a m. Se em relação a certo poto a de acumulação do domíio de f (x) se verifica a codição de Cauchy e esse poto a fução admite o sublimite /, etão o limite da fução o poto a é igual a /. Se em relação a certo poto a de acumulação do domíio de f (x) se verifica a codição de Cauchy e esse poto a fução admite o sublimite f (a), etão a fução é cotíua o poto a / x o. A fução f (x) = e com domíio em R - {0} é descotíua em x = 0 p. A fução f (x) = x I (x) ão é cotíua o cojuto N q. A fução f (x) = x I (x) é cotíua o cojuto R N r. Se f (x) com domíio A é cotíua os cojutos B A e B A etão é igualmete cotíua o cojuto B B s. Se f (x) com domíio o itervalo [0, ] tem como cotradomíio o itervalo [0, [, etão ão pode ser cotíua o seu domíio t. Se f (x) com domíio o itervalo ] 0, [ tem como cotradomíio o itervalo [0, ], etão ão pode ser cotíua o seu domíio u. Se f (x) for cotiua o itervalo [-, ] e se [ - f (-) ]. [ - f () ]< 0, etão existe aquele itervalo pelo meos uma raiz da equação f (x) = v. Se f (x) for cotiua o itervalo [-, ] e se [ - f (-) ]. [ - f () ]< 0, etão existe aquele itervalo uma e uma só raiz da equação f (x) = x. Se f (x) for cotíua em R, etão é uiformemete cotíua em qualquer itervalo limitado (fechado ou ão) z. Se f (x) for uiformemete cotíua em qualquer itervalo limitado (fechado ou ão), etão é uiformemete cotíua em R. Cosidere as seguites fuções:

11 ª) Fução g que a cada x [-π/, π/] faz correspoder y = g(x) = se x ; ª) Fução f que a cada y A = {y : ( y). ( + y) 0 e ( + y) 0 } faz / y correspoder z = f(y) = ; + y Nestas codições : a) Determie a fução composta f o g, explicitado aida os respectivos domíio e cotradomíio ; b) Justifique que as fuções f, g e f o g são ivertíveis os respectivos domíios ; c) Determie f -, g - e a fução composta g - o f - ; d) Determie ( f o g) - e compare-a com g - o f Cosidere a seguite fução : x, x racioal ( x /, N ) ( x x +, x irracioal f (x) = /( + ), x = / ( N ) 0, x = a) Idique justificado quais os a R ode existe l i m f (x) ; b) Idique justificado quais os a R ode é cotíua a fução. / x e 4. Utilize a defiição de Cauchy para mostrar que l i m = / / x x + + e 5. Calcule os seguites limites : a) x i m l o g x x l o g x ) l ; b) l i m ( e ) x x (. x a ) 6. Seja f (x) cotíua o seu domíio A : a) Sedo A limitado e fechado, prove que também é limitado e fechado o cojuto das soluções em A da equação f (x) =. b) Se o cojuto A for limitado e aberto, será ecessariamete aberto o cojuto das soluções em A da equação referida? Justifique. 7. Estude a cotiuidade uiforme de f (x) = arc tag x os itervalos : a) [ 0, + [ ; b) ] -, 0 ] ; c) ] -, + [ Ajuda - Como resultado prévio para resolver as alíeas a) e b), comece por provar a seguite igualdade trigoométrica : α β [ (α, β 0 ) (α, β 0) ] a r c t g α a r c t g β = a r c t g + α. β

12 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULOS VII E VIII. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. Existido fiita f (a) e sedo f (a) =, etão l i m f ( x) = 0 b. Sedo f (a) = +, etão ecessariamete c. Sedo l i m f ( x) =, x a + l i m x a l i m x a x a f (x) = + f ( x) = 0 e f (a) =, etão f (a) = + d. Sedo f (x) = f (-x) em R (fução par) e existido f (0) fiita, etão ecessariamete f (0) = 0 e. Sedo f (x) = f (-x) em R (fução par) pode ter-se f (0) = + f. Sedo f () = e f () = -, a equação da tagete à curva y = f (x) o poto (, - ) é dada por y 4 x + 8 = 0. g. Existem fuções que apeas admitem derivada um úico poto do domíio h. A derivada da fução y = log x é y = (/x) i. A derivada da fução y = log x é y = /x j. A derivada da fução y = log x é y = x -. log x l. A derivada da fução y = arc tg (log x ) é y = + l o g m. A derivada da fução y = arc se (cos x ) é y = - ou y =, cosoate seja se x > 0 ou se x < 0. Se a fução y = f (x) é ijectiva e difereciável em todos os potos iteriores de certo itervalo I, etão a fução iversa x = f - ( y) é difereciável em todos os potos iteriores do itervalo J = f ( I ) o. Se as fuções f(x) e g(x) ão forem difereciáveis em certo poto a iterior dos respectivos domíios, etão a fução h(x) = f(x) + g(x) ão pode ser difereciável em a p. Se a fução f(x) ão for difereciável em certo poto a iterior do seu domíio, etão a fução h(x) = [ f (x)] ão pode ser difereciável em a x

13 x +, x < 0 q. A fução f (x) = é regular o itervalo [-, ] 3 x + x +, x 0 r. Se f (x) é regular os itervalos [-, ] e [, 3], etão é também regular o itervalo [-, 3] s. Se existem as derivadas laterais de f (x) em a e são de siais cotrários, etão a é um extremate relativo da fução t. Se para certa fução se tem f () = f (4) e f (3) = 0, etão a fução é regular o itervalo [, 4] u. Se f (x) for cotiua o itervalo [-, ] e f (x) < 0 para todos os valores x 0 do iterior desse itervalo, etão f (-) e f () são respectivamete o máximo e o míimo absolutos da fução em tal itervalo v. Se f (x) for cotiua o itervalo [, 4] e f (x) > 0 para todos os valores x diferetes de e 3 do iterior desse itervalo, etão f (x) é côcava aquele itervalo x. Se f (x) existe fiita em certa V ε (a) e existe l i m f (x), etão f (x) é cotíua o poto a x a z. Se f (a) = 0, etão a é abcissa de poto de iflexão do gráfico da fução. Utilizado a regra de Cauchy o levatameto de evetuais idetermiações que surjam os cálculos, estude se existe o limite seguite calculado separadamete os respectivos limites laterais : x arc se ( e ) l i m x 0 π arctg ( ) x e 3. Cosidere a seguite fução : x. ( + x ), x < f (x) = x + x, x < x 3 x + 4, x Determie as fuções f (x) e f (x) em todos os potos dos respectivos domíios 4. Cosidere a fução f (x) = arc se x. l o g x : a) Determie os itervalos de mootoia e extremates especificado quato a estes se são absolutos ou apeas relativos ;

14 b) Determie os itervalos de covexidade e cocavidade da fução e as abcissas de evetuais potos de iflexão ; c) Determie o máximo e míimo absolutos da fução o seguite cojuto: B = [-/, /4 ] {/, /3}, começado por justificar a respectiva existêcia. 5. Aplique o teorema de Lagrage a uma fução coveiete para mostrar que com 0 < a b se tem a seguite dupla desigualdade. a -. (b a) b a. b -. (b a). 6. Supoha verificadas as seguites hipóteses : H A fução f (x) é defiida o itervalo I (de qualquer tipo) H Existe fiita a derivada f (x) os potos iteriores do itervalo I H3 O itervalo I é miorado, tem como míimo a e a fução é cotíua (à direita) esse poto H4 Existe l i m f (x). Posto isto : + x a a) Demostre que existe a derivada à direita em a e que coicide com l i m f (x) b) Substituido as hipóteses H3 e H4 por + x a ; H3 O itervalo I é majorado, tem como máximo b e a fução é cotíua (à esquerda) esse poto H4 Existe l i m f (x) x b demostre que existe a derivada à esquerda em b e que é igual a l i m f (x) ; x b c) Utilize os resultados das alíeas ateriores para calcular as derivadas laterais as extremidades do domíio das fuções arc se x e arc cos x. 7. Utilize a fórmula de Mac-Lauri de ordem 6 para obter uma aproximação de arc tg / e idique um majorate do valor absoluto do erro cometido a aproximação. Nota : Na obteção das sucessivas derivadas da fução y = arc tg x utilize a formula do exercício º da págia 4 do texto teórico. 8. Cosidere a fução y = tg x - 8. se x. a) Determie a expressão geral dos x que aulam a primeira derivada; b) Através do estudo do sial da seguda derivada, idique quais dos valores determiados em a) são maximizates ou miimizates.

15 AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULOS IV E V. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : = a. Sedo ( a + b ) covergete e a divergete, etão b pode ser = = covergete = b. Sedo ( a + b ) e ( a b ) covergetes, etão a e b são = = = ambas covergetes c. Sedo = = a covergete e a 0, etão ( ) a coverge =. d. Sedo ( a + b + ) = 5 e a = 4, etão b = / = = e. Sedo f. Sedo = = = a covergete e lim b = 0, etão b. a coverge a divergete e a 0, etão / coverge = g. Sedo a absolutamete covergete, etão ( e ) é também = absolutamete covergete = = h. Sedo a covergete, também covergem a e a = = = a a i. Sedo a e a covergetes, também coverge a = = j. Se lim a = 0 e a > 0, o critério da razão ão permite detectar a evetual divergêcia da série a = l. Se o critério da raiz permite detectar a divergêcia da série a sucessão a ão é evaescete m. Sedo = a = a covergete e a 0, também coverge l o g = a, etão. Sedo a simplesmete covergete e com soma igual a /3, etão = existe certa permutação α, α,, α, dos aturais,, 3, tal a α = que = - /4

16 o. Sedo a a + 0 ( =,, 3, ) e lim a = 0, etão é covergete a série = p. Sedo = ( ) a ( + ). a divergete, ão pode ser absolutamete covergete a série = a a a = q. Sedo = divergete, a série pode ser simplesmete covergete a + + r. Sedo = e a > 0, a série a a + = diverge a + + s. Sedo = e a > 0, a série ( ). a diverge a + t. Se umaa série de potêcias = a =. ( x a ) é absolutamete covergete para x = a + e divergete para x > a +, é também absolutamete covergete para x = a u. Se a série de potêcias =. ( x a ) x = a + é divergete para x > a + a = α α é simplesmete covergete para v. Uma série de potêcias a. ( x a ) pode ser simplesmete covergete simultaeamete para x = a + 4 e para x = a - 3 x. O cojuto dos valores de x para os quais uma série de potêcias é simplesmete covergete pode ter 4 elemetos α z. Uma série de potêcias = para x = 3/ e simplesmete covergete para x = -. Calcule a soma das seguites séries : a. x α pode ser absolutamete covergete a) = e. ( )! ; b) ( + 3). = ( + ).( + ) 3. Estude a covergêcia das séries :

17 a) = + β, em que β é um parâmetro real ; b) = + β +, em que β é um parâmetro real positivo. 4. Mostre que o critério de Gauss ão permite detectar a atureza da série ( )! = ( + 0 ). ( + ). ( 3 + ).. ( + ) Estude em seguida a atureza da série recorredo a um outro critério 5. Estude para que valores dos parâmetros α e β a série, = ( ) + α β + é absolutamete covergete, simplesmete covergete ou divergete. 6. Estude a covergêcia das série de potêcias seguites idicado os cojutos de valores de x para os quais as séries são absolutamete covergetes, simplesmete covergetes ou divergetes: a) = ( ) (!). ( x ) ()! ; b) = 4. l o g l o g ( + ) + ( x / ) 7. Aplique o teorema de Lagrage y = /x, em [3, 4], [4, 5],, [, + ] ( 3). Some membro a membro as igualdades obtidas, simplifique e aproveite a igualdade fial obtida para provar que a soma da série / está etre,80 e,8 8. Determie quatos termos iiciais devem ser cosiderados para calcular com erro ão superior a 0,00 a soma da série : = 3. = [ + ( / ) ]. 9. Utilize a série produto de Cauchy para mostrar que ( e x ) = e x

18 AUTO AVALIAÇÃO COMPLEMENTOS SOBRE CONJUNTOS. Relativamete aos cojutos que a seguir se idicam, assiale com, Os que sejam fiitos Os que sejam ifiitos umeráveis 3 Os que sejam ifiitos ão umeráveis a) Cojuto dos iteiros egativos b) Classe de todos os subcojutos do cojuto dos úmeros aturais c) Cojuto dos divisores iteiros de 00 d) Cojuto dos úmeros irracioais pertecetes ao itervalo ]0, [ e) Cojuto dos aturais que são quadrados perfeitos f) Cojuto dos reais do itervalo ] 3, 5 ] g) Cojuto dos úmeros racioais pertecetes ao itervalo ] -, 4 ] h) Classe de todos os subcojutos do cojuto dos racioais egativos i) Cojuto dos racioais pertecetes ao itervalo [-, + [ j) Classe de todos os subcojutos do itervalo ], 4 ] k) Classe de todos os subcojutos fiitos de R l) Classe de todos os subcojutos fiitos de N m) Cojuto de todos os grãos de areia existetes a terra ) Classe de todos os subcojutos do cojuto da alíea m) o) Cojuto de todas as fuções reais de variável real p) Cojuto de todas as sucessões reais q) Cojuto de todas as sucessões reais com limite fiito r) Classe de todos os subcojutos de N cujo máximo ão exceda s) Cojuto derivado do cojuto Q dos úmeros racioais t) Classe de todos os subcojutos de N cujo míimo ão exceda 999 u) Froteira do cojuto R Q v) Cojuto de potos de uma recta x) Cojuto de potos de um plao z) Cojuto dos úmeros iteiros divisíveis por 7 e por 3. Sedo U = R cosidere a sucessão de cojutos A = [0, + (-). / ] { }. Calcule os limites máximo e míimo da sucessão e diga se existe ou ão limite 3. Defia uma fução que possa ser utilizada para provar directamete a equipotêcia dos itervalos [0, ] e [0, [. 4. Cosidere a seguite sucessão de subcojutos de N : A = {(-) + (-) + } { k : k N e k }

19 Estude a existêcia de limite para as sucessões A e B = A A Sedo U um cojuto uiversal ão vazio, defia-se para cada A U a seguite fução :, x A I A (x) = (Fução idicatriz do cojuto A ) 0, x U A a) Idique a idicatriz do cojuto U e do cojuto ; b) Justifique que o cojuto das idicatrizes de todos os subcojutos de U (o próprio U e o vazio icluídos) tem potêcia superior à de U