1.4 Determinantes. determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.

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1 1.4 Determiates A teoria dos determiates surgiu quase simultaeamete a Alemaha e o Japão. Ela foi desevolvida por dois matemáticos, Gottfried Wilhelm Leibiz ( ) e Seki Shisuke Kowa ( ), ao solucioarem um problema de elimiações ecessárias à resolução de um sistema de equações lieares com icógitas. Defiição: Seja A matriz quadrada de ordem. O determiate de A deotado por é defiido como a soma de todos os produtos elemetares com sial de A ou seja! A sg(σ) a 1j1 a 2j2 a j σ1 sedo a 1j1 a 2j2 a j é o produto elemetar de A, ou seja, é produto dos elemetos de A tais que ão há duas delas da mesma liha ou mesma colua. O cojuto J σ {j 1, j 2,, j } é formado pela permutação dos úmeros aturais 1 a. A fução sg(σ) correspode ao sial + ou -. Se o úmero míimo de trocas que são ecessárias para colocar a permutação J σ é par etão o sial é +, caso cotrário o sial é -. Seja A matriz quadrada de ordem 1, ou seja, A a ode a R. Etão este caso, o determiate de A é A a. Exemplo 1: Para a matriz A [ 3], temos: 3. Seja A matriz quadrada de ordem 2, ou seja, A [ a 11 a 12 a 21 a ] logo defiição acima, o seu 22 determiate é igual ao produto dos elemetos da diagoal pricipal meos o produto dos elemetos da diagoal secudária.: a 11 a 12 a 21 Exemplo 2: Seja a matriz A [ 8 1 ], o determiate de A é a 11 a 12 a 13 Agora seja A matriz quadrada de ordem 2, ou seja, A [ a 21 a 23 ] logo defiição acima, o a 33 seu o determiate da matriz A pode ser calculado através de uma regra, deomiada regra de Sarrus ( ) dadas pelas seguites etapas: 1) Repete-se, à direita da matriz, as duas primeiras coluas: a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 [ a 21 a 23 ] a 33 a 21 2) Efetuam-se os produtos dos elemetos idicados a diagoal pricipal, coservado os siais: a 11 a 33, a 12 a 23 e a 13 a 21 3) Efetuam-se os produtos dos elemetos idicados a diagoal secudária, trocado-se os siais: a 11 a 23, a 12 a 21 a 33 e a 13 4) Somam-se os produtos obtidos: (a 11 a 33 + a 12 a 23 + a 13 a 21 ) + ( a 11 a 23 a 12 a 21 a 33 a 13 ) Exemplo 3: Seja a matriz A [ 3 1 0], etão, aplicado-se a regra de Sarrus temos: 1 2 [ 3 1 0] 3 1 logo

2 Expasão em cofatores Defiição: Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. Seja A ij a sub-matriz de ordem 1 de obtida removedo a i-ésima liha e a j-ésima colua de A. O cofator ij de cofator de A, a i-ésima liha e j- ésima colua é defiido por ij ( 1) i+j det (A ij ) sedo A ij a sub-matriz formada a partir de A retirado-se a sua i-ésima liha e a sua j-ésima colua. É claro que a sub-matriz A ij tem ordem 1. Exemplo 4: Seja a matriz A [ 3 1 0]. Quais são os cofatores 11 e 23. Primeiramete temos a sub-matriz A 11 [ ] e A 23 [ 1 2 ] que tem os respectivos determiates 2 1 det(a 11 ) e det(a 23 ) logo seus cofatores são 11 ( 1) 1+1 det(a 11 ) ( 1) e 23 ( 1) 2+3 det(a 12 ) ( 1) 5 ( 3) 1 ( 3) 3. Teorema (Teorema de Laplace): O determiate de uma matriz quadrada A de ordem 2 pode ser calculado multiplicado as seus elemetos de qualquer liha (ou colua) por seus cofatores e somado os produtos resultates; ou seja, para quaisquer 1 i e 1 j, A a ij ij a ij det (A ij ) que é chamada de expasão de cofator ao logo da j-ésima colua e A a ij ij a ij det (A ij ) que é chamada de expasão cofator ao logo da j-ésima liha. i1 Se 2 temos a matriz A [ a 11 a 12 a 21 a ] logo defiição acima, o seu determiate é igual ao 22 produto dos elemetos da diagoal pricipal meos o produto dos elemetos da diagoal secudária.: 2 a 1j det(a 1j ) ( 1) 1+j a 11 det(a 11 ) ( 1) 2 a 12 det(a 12 ) ( 1) 3 a 11 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 Agora se 3 temos a matriz A [ a 21 a 23 ] etão, temos a sub-matrizes a 33 A 11 [ a 23 a ], A 12 [ a 21 a a ] e A 13 [ a a ] que os determiates 32 det(a 11 ) a 33 a 23, det(a 12 ) a 21 a 33 a 23 e det(a 13 ) a 21 Portato o determiate de A é: 3 i1 a 1j det(a 1j ) ( 1) 1+j a 11 det(a 11 ) ( 1) a 12 det(a 12 ) ( 1) a 13 det(a 13 ) ( 1) 1+3 a 11 det(a 11 ) ( 1) 2 + a 12 det(a 12 ) ( 1) 3 + a 13 det(a 13 ) ( 1) 4 a 11 ( a 33 a 23 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 ) + a 13 (a 21 ) a 11 a 33 a 11 a 23 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 + a 13 a 21 a 13 a 11 a 33 + a 12 a 23 + a 13 a 21 a 11 a 23 a 12 a 21 a 33 a 13

3 Exemplo 5: Seja a matriz A [ 3 1 0], etão, temos a sub-matrizes A 11 [ ], A 12 [ ] e A 13 [ ] que os determiates 11 4, 12 ( 1) 1+2 det(a 12 ) ( 1) 3 ( ) 12 e 13 ( 1) 1+3 det(a 13 ) ( 1) 4 ( ) (3 2) 1 logo o determiate de A é ( 12) Exemplo 6: Use uma expasão em cofatores para ecotrar o determiate da de ordem 4, A [ ]. Podemos expadir ao logo de qualquer colua ou liha, mas a terceira colua é a melhor escolha porque cotém três zeros, cada um dos quais elimia a ecessidade de calcular os cofatores correspodetes. Assim, expadido ao logo da terceira colua obtemos 0( 1) 1+3 det(a 13 ) + 4( 1) 2+3 det(a 23 ) + 0( 1) 3+3 det(a 33 ) + 0( 1) 4+3 det(a 43 ) 0 + 4( 1) 5 det(a 23 ) det(a 23 ) ode A 23 [ 3 0 3]. Logo podemos calcular pela expasão em cofatores det(a 23 ) 0( 1) 1+2 det ( ) + 0( 1)2+3 det ( ) + 6( 1)3+2 det ( ) ( 1) 5 ( ) 6(6 15) 6( 9) 54 Assim 4 det(a 23 ) Teorema 1.4.2: Sejam A e B matrizes quadradas de ordem e k R um escalar ão ulo, etão são validas as seguites propriedades: (1) Se B é uma matriz obtida da multiplicação de uma liha de A por k, etão o determiate de B é det(b) k. (2) Se B é uma matriz obtida trocado as posições das i-ésima e k-ésima lihas, de A, etão o determiate de B muda de sial, ou seja, det(b). (3) Se B é obtida substituido a i-ésima liha pela soma da i-ésima liha com k-ésima liha, etão é det(b). Para provar (1) em todas as matrizes de ordem 4 observamos que B é uma matriz obtida da multiplicação de uma liha de A por k, ou seja a 11 a 12 a 13 a 14 a 11 a 12 a 13 a 14 a A [ 21 a 23 a 24 a 21 a 23 a 24 a 33 a ] e B [ 34 k k ka 33 ka ] etão pelo Teorema temos 34 a 41 a 42 a 43 a 44 a 41 a 42 a 44 4 det(b) b 3j det(b 3j ) ( 1) 3+j ka 3j det(a 3j ) ( 1) 3+j k 4 Fialmete, para provar (3), em todas as matrizes de ordem 2 temos A [ a 11 a 12 a 21 a ] etão, seja 22 B [ a 21 a 11 a ] é uma matriz obtida trocado as posições das primeira e seguda liha de A, etão 12 det(b) a 21 a 12 a 11 (a 11 a 12 a 21 ) a Exemplo 7: O determiate das matrizes de ordem 4, A [ ] e B [ uma matriz obtida trocado as posições da seguda e quarta liha de A. Pelo exemplo 6 temos ] é

4 216. Já o determiate de B é det(b) 2( 1) 1+1 det(b 11 ) + 0( 1) 1+2 det(b 12 ) + 0( 1) 1+3 det(b 13 ) + 5( 1) 1+4 det(b 14 ) 2( 1) 2 det(b 11 ) ( 1) 5 det(b 14 ) 2 det(b 11 ) 5 det(b 14 ) ode B 11 [ 0 0 3] e B 14 [ 3 0 0]. O determiate de B 11 é det(b 11 ) 6( 1) 1+1 det ( ) + 0( 1)1+2 det ( ) + 0( 1)1+3 det ( ) 6( 1) 2 ( ) (0 12) 6( 12) 72. O determiate de B 14 é det(b 14 ) 8( 1) 1+1 det ( ) + 6( 1)1+2 det ( ) + 0( 1)1+3 det ( ) 8( 1) 2 ( ) + 6( 1) 3 (3 4 0 ( 1)) + 0 8(0 0) 6(12 0) 72 Assim det(b) 2 det(b 11 ) 5 det(b 14 ) 2( 72) 5( 72) Portato det(b). Teorema 1.4.3: Seja A uma matriz quadrada de ordem. O determiate de uma matriz e de sua trasposta são iguais, ou seja det(a T ). Exemplo 8: Sejam as matrizes do tipo 2 2, A [ ] e sua trasposta AT [ ] O determiate de A é 1 e o determiate de A T é det(a T ) Teorema 1.4.4: Uma matriz quadrada A de ordem é ivertível se e somete se 0. Exemplo 9: Sejam as matrizes do tipo 2 2, A [ ] ivertível e B [ ] sigular. O determiate de A é 1 e o determiate de B é det(b) Teorema 1.4.5: Se A e B são matrizes quadradas de ordem, etão det(ab) det(b). Exemplo 10: Seja uma matriz A [ ] do tipo 2 2, etão: A2 [ ] e seus respectivos 9 13 determiates são e det(a 2 ) Defiição: Seja A uma matriz quadrada de ordem. É chamada matriz adjuta a matriz adj(a) [ ] 1 2 ode ij é o cofator de A, a i-ésima liha e j-ésima colua sedo 1 i e 1 j. Exemplo 11: Seja a matriz A [ 3 1 0], calcule a matriz adjuta de A. Já calculamos os cofatores 11 4, 12 12, 13 1 e Temos aida as sub-matrizes A 21 [ ], A 22 [ ], A 31 [ ], A 32 [ ], e A 33 [ 1 2 ] e os seus respectivos 3 1 determiates det(a 21 ) , det(a 22 ) , det(a 31 ) , det(a 32 ) e det(a 33 ) Assim temos os cofatores 21 ( 1) 2+1 det(a 21 ) ( 1) 3 7 7, 22 ( 1) 2+2 det(a 22 ) ( 1) 4 2 2, 31 ( 1) 3+1 det(a 31 ) ( 1) 4 ( 1) 1, 32 ( 1) 3+2 det(a 32 ) ( 1) 5 ( 3) 3 e

5 ( 1) 3+3 det(a 33 ) ( 1) 6 ( 5) 5. Portato a matriz adjuta é adj(a) [ ] Teorema 1.4.6: Se A é uma matriz ivertível de ordem 2, etão A 1 1 Exemplo 12: Ecotre a iversa de A [ 3 1 0] utilizado matriz adjuta. Pelo Exemplo 5 temos, e pelo Exemplo 10 temos a matriz adjuta logo A 1 1 adj(a) 1 [ ] 1 [ ] [ ] Teorema 1.4.7: Se A é uma matriz quadrada ivertível de ordem, etão det(a 1 ) 1. Demostração. Como A é ivertível etão existe uma matriz A 1 tal que AA 1 I e pelo Teorema portato pelo Teorema temos que det(a 1 ) det(a 1 A) det(i) 1. Logo det(a 1 ) Exemplo 12: Seja A [ 3 1 0] a sua iversa é A 1 1 [ ]. O determiate de A é Defiição: Seja A uma matriz quadrada de ordem e X e Y uma matriz colua de ordem 1. Cosidere de equação lieares AX Y. A matriz A k é obtida substituido os elemetos da k-esima colua de A pelos elemetos da matriz Y, ou seja a 11 a 1k 1 y 11 a 1k+1 a 1 A k a i1 a ik 1 y i1 a ik+1 a i [ a 1 a k 1 y 1 a k+1 a ] Teorema (Regra de Cramer): Seja A uma matriz quadrada de ordem sobre um corpo K. Cosideremos um sistema de equações lieares AX Y ode X e Y são matrizes coluas de ordem 1. Se 0 etao x 11 det(a 1 ), x 21 det(a 2 ),, x 1 det(a ). Demostração. Já sabemos pelo Teorema se 0 etão A é ivertível, etão pelo Teorema o sistema AX Y possui uma úica solução logo X IX A 1 AX A 1 Y. Se 2 etão pelo Teorema temos que A 1 1 adj(a) logo pelo Teorema temos X A 1 Y 1 1 [ y y 21 ] [ ] 1 2 y 1 1 [ y 1j 1j y 2j 1j y j 1j ] 1 [ adj(a)y det(a 1 ) det(a 2 ) ]. det(a )

6 Exemplo 13: Ecotre a solução do sistema liear { 2x 1 6x 2 1 utilizado a regra de Cramer. 3x 1 4x 2 5 Matricialmete podemos escrever o sistema AX Y, sedo A [ ], X [x 1 x ] e Y [ 1 ]. Assim 2 5 A 1 [ ] e A 2 [ 2 1 ] e os seus respectivos determiates 2 ( 4) ( 6) 3 10, 3 5 det(a 1 ) 1 ( 4) ( 6) 5 26 e det(a 2 ) Portato x 1 det(a 1 ) e x det(a 2 ) 7 10 Exercícios 1) Calcule o determiate das seguites matrizes iversa. a) [ ] b) [ 1 2 3] c) [ ] d) [1 ] e) [ ] ) Calcule o determiate da de ordem 4, A [ ] ) Mostre que o determiate de uma A matriz triagular iferior de ordem 2 com é dado pelo produto da diagoal dos elemetos, ou seja, a 11. 4) Sabedo que o determiate de uma A matriz triagular iferior de ordem com é dado pelo produto da diagoal dos elemetos, Mostre que o determiate de uma A matriz triagular superior de ordem é dado pelo produto da diagoal dos elemetos, ou seja, a 11 a. 5) Baseado os exercícios ateriores respoda: a) Qual é o determiate de uma A matriz diagoal de ordem? b) Qual é o determiate da matriz idetidade I de ordem? 6) Sejam as matrizes do tipo 2 2, A [ ] e B [ 2 1 ]. Verifique se det(b) det(a + B). Que podemos cocluir com esse exercício? 7) Sejam as matrizes do tipo 2 2, A [ ] e B [ 2 1 ]. Verifique se 5 1 det(b) det(ab). 8) Sejam as matrizes do tipo 2 2, A [ ] e a sua iversa A 1 [ 4 1 ]. Verifique se 1 0 det(a 1 ) 1. 9) Mostre que matrizes quadradas de ordem 2, [ ] e [1 0 ] são sigulares utilizado o determiate ) Calcule o a matriz adjuta e a iversa das seguites matrizes a) A [ 1 2 3] b) [ ] c) C [ ] x 1 + 3x 2 + x ) Resolva o sistema liear { x 1 + 2x 2 + 3x 3 2. utilizado a regra de Cramer. 3x 1 + x 2 + 2x 3 3

7 12) Mostre que se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e β R um escalar, etão det(βa) β. 13) Prove que se A é uma matriz ivertível de ordem 2, etão adj(a) é ivertível e (adj(a)) 1 det(a 1 )A adj(a 1 ) Pelo Teorema A 1 1 adj(a) e pelo Teorema det(a 1 ) 1 logo I A 1 A 1 adj(a)a det(a 1 ) adj(a)a ou seja (adj(a)) 1 det(a 1 )A. Também temos que A (A 1 ) 1 1 det(a 1 ) adj(a 1 ) logo I AA 1 (A 1 ) 1 1 det(a 1 ) adj(a 1 ) A 1 adj(a 1 ) A 1 adj(a 1 1 ) adj(a) adj(a 1 )adj(a) ou seja (adj(a)) 1 adj(a 1 ). 14) Prove que se A é uma matriz de ordem 2 e 1, etão adj(adj(a)) A. Pelo Teorema A 1 1 adj(a) 1 adj(a) adj(a) e pelo Teorema det(a 1 ) logo 1 A (A 1 ) 1 1 det(a 1 ) adj(a 1 ) 1 1 adj(a 1 ) adj(a 1 ) adj(adj(a)).