FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 11.º Ano de escolaridade Versão 4

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1 FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A º Teste º Ao de escolaridade Versão Nome: Nº Turma: Professor: José Tioco 9//8 Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias Quado, para um resultado, ão é pedida uma aproximação, pretede-se sempre o valor exato, a sua forma mais simples Evite alterar a ordem das questões Nota: O teste é costituído por duas partes Cadero : miutos (é permitido o uso de calculadora) Cadero : miutos (ão é permitido o uso de calculadora) Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia /7 Versão

2 Cadero : miutos (é permitido o uso de calculadora) De uma progressão geométrica () Determie a expressão do termo geral de u u de razão sabe-se que u u 9 Como u é uma progressão geométrica temos u u r, com razão r, Assim, u u 9 u u r 9 Como u u 9 u u 8uu 7 9u 7 u k k, temos u u u u r Logo, o termo geral é u 8 8 () Qual das opções seguites defie a progressão u por recorrêcia? (A) u 6 u u, (B) u u u, (C) u 6 u u, (D) u u u, Já sabemos que a razão da progressão é, por isso cada termo obtém-se do aterior multiplicado por, isto é,, u u u 6 Só os falta o primeiro termo: Assim, a defiição por recorrêcia fica u 6 u u, OPÇÃO A/C () Justifique que a soma de todos os termos da progressão é fiita e determie o valor dessa soma r A soma de todos os termos é dada por lim S limu r Como r, ou r u dada por S lim S r u Assim, S lim S, temos 6 lim, pelo que a soma de todos os termos é fiita e é Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia /7 Versão

3 () Para um determiado úmero real x, três termos cosecutivos de uma progressão geométrica ão moótoa são dados, respetivamete, por:, x e Qual é a razão da progressão? (A) (B) (C) (D) Como são termos cosecutivos, a razão etre eles é a razão da progressão Assim, x x x x x Como a progressão é ão moótoa, terá que ser x Assim, r Outro processo: Como são três termos cosecutivos, temos r r Como a progressão é ão moótoa, terá que ser r r r OPÇÃO A/D Sejam a, b e c sucessões, defiidas por: a b c () Calcule, caso exista, lima Temos a A sucessão A sucessão u v é limitada, pois, u coverge para zero Portato, lima limu v, porque sucessão que tede para zero a é o produto de uma sucessão limitada por uma () Calcule limb e limb lim lim c lim lim lim c lim lim lim lim Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia /7 Versão

4 c () Qual é o valor de lim? b c (A) (B) (C) (D) lim b limc limb OPÇÃO D/C Cosidere a sucessão a de termo geral a () Mostre que a é uma progressão aritmética decrescete e idique a razão da progressão a é uma p aritmética se e só se a a r (costate) a a Logo, a é uma p aritmética de razão e é decrescete porque a a () Calcule a a a a a correspode à soma de progressão, desde a até a 9 S a a 9 N, temos S 7 Como N N termos cosecutivos da () Usado a defiição, mostre que lima Temos de mostrar que por muito grade que seja o úmero real positivo L, existe uma ordem p a partir da qual todos os termos de a são iferiores a -L L a L L L L L Assim, L, existe uma ordem p, atural e superior a, tal que, p a L, o que sigifica que lima () A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética v é dada por Determie o termo geral da progressão Sedo, temos S v S Da mesma forma, S v v v 8 v 7 Assim, r v v 7 6 Como v v r, temos, v como termo geral Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia /7 Versão

5 6 Sejam b e c duas sucessões tais que, b e c b () 6 Usado a defiição de limite de uma sucessão, prove que b coverge para limb se e só se, p :, p b b , sedo p um úmero atural maior que 8, tem-se, p b, ou, todos os termos pertecem a V Pelo que a sucessão tem limite () 6 Determie o úmero de termos de b que ão pertecem a, Pela alíea aterior cocluímos que Portato, b 7998 V, Como 7998 b V, V 8, 7998, a sucessão tem 7998 termos que ão pertecem a V, () 6 Qual é o valor de limc? (A) 9 (B) (C) (D) 9 Pelas propriedades, limc lim c lim b limb limc limb, pois c difere de 9 b apeas os três primeiros termos OPÇÃO A Cadero : miutos (ão é permitido o uso de calculadora) 7 Cosidere a sucessão () 7 Mostre que b é limitada b de termo geral b se 6 Temos de ecotrar um miorate e um majorate do cojuto dos termos de b Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia /7 Versão

6 Sabemos que,, se 6 Portato, se e se 6 6 Logo, se, ou seja, b 6 6 Assim,, b 6, isto é, b é limitada () 7 O valor de b b9 é (A) (B) (C) (D) Temos b se 6 se 9 e b9 se 6 se 6 Portato, b b9 6 OPÇÃO B/C () 7 Mostre que b tem uma ifiidade de termos iguais a 6 b 6 se 6 se 6 se se k, k 6 8 k, k 9 k, k Portato, para k os termos de ordem 9 k valem todos 6 8 Cosidere a sucessão u defiida por recorrêcia: u u u 8, () 8 Usado o método de idução matemática, prove que:, u Sedo B a codição u, temos de mostrar que: B é verdadeira: temos B é hereditariedade: Hipótese: u u, proposição verdadeira; Tese: u Como u, vem, sucessivamete, u Logo, pelo método de idução, cocluímos que, u u u 8 8 u cqm Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia 6/7 Versão

7 () 8 Mostre que a sucessão u é decrescete u é decrescete, u u u u u 8 u u u u u u u u, que é verdade, pela alíea aterior Logo u é decrescete Outro processo: Provar que, u u, usado o método de idução () 8 Justifique que u é covergete Como, u, sabemos que a sucessão é miorada ( é miorate) Pela alíea aterior sabemos que sucessão miorada e decrescete é covergete u é decrescete, logo u é covergete, pois toda a () 8 Determie limu Como u é covergete, tem-se limu u Portato, lim 8limu limu limu lim8 limu lim limu 8 limu limu limu limu limu limu limu () 9 Seja v v uma sucessão de termos egativos tal que:, v Qual das afirmações é verdadeira? (A) (C) v é crescete mas ão é limitada (B) v é decrescete mas ão é limitada (D) v é crescete e limitada v é decrescete e limitada Como é uma sucessão de termos egativos, sabemos que, v v Assim,, v Portato,, v v, v v v, ou seja,, v v, logo v é crescete v é crescete e limitada OPÇÃO B Ficha de avaliação da Matemática A º Ao Págia 7/7 Versão