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1 6. Álgebra Matricial Defiição : Um couto de ( m, ) úmeros (reais ou complexos) arraados em uma forma retagular de m lihas e coluas: a a a. a a a a. a..... a a a. a m m2 m3 m é chamada de matriz. Os úmeros a são os elemetos da matriz. O primeiro subscrito i deota o úmero da liha e o segudo subscrito deota a colua ode se ecotra o elemeto em questão. Uma matriz, deotada por uma letra maiúscula, pode ser escrita mais compactamete, da seguite forma: ou aida = a, i=,2,, m; =,2,, = m = a m Defiição 2 : Uma matriz, ode o úmero de lihas é igual ao úmero de coluas é dita matriz quadrada; em caso cotrário, é dita matriz retagular. Defiição 3 : Uma matriz, isto é, só com uma liha é deomiada matriz ou vetor liha; quado sua dimesão é m, com uma só colua, é chamada de matriz ou vetor colua. Defiição 4 : Uma matriz quadrada, ode apeas os elemetos demais a a 0 e todos os = 0, i é chamada de matriz diagoal. Em particular se os elemetos a = a matriz é dita matriz uitária e é deotada por I. ii ii 6. - Operações com Matrizes Defiição : Duas matrizes e são ditas B matrizes iguais se, e somete se, seus elemetos correspodetes forem iguais, isto é,

2 a = b, i=,2,, m; =,2,, Defiição 2 : soma de duas matrizes e B é defiida como uma matriz C, ode cada elemeto c C é soma dos elemetos correspodetes das matrizes e B ; isto é, c = a + b, i=,2,, m; =,2,, Observa-se, pelas defiições acima que a soma e igualdade de matrizes só é possível com matrizes de mesma dimesão. Defiição 3 : O produto de duas matrizes = [ ] C = c m formada da seguite maeira: a ik e B = b m p k p é uma matriz c p = a b ik k k= ou sea, c é o produto da i-ésima liha de pela -ésima colua B. Em outra otação, usado o ídice mudo como ídice idicativo de somação: c = aik bk ode o ídice k idica a somação: c = a b + a 2b2 + + a b i=,2,, m; =,2,, i i ik k Defiição 4 : Uma matriz é dita matriz ula, deotada por elemetos forem iguais a zero. 0, quado todos os seus Defiição 5 : Uma matriz é dita matriz trasposta de, e deotada por, quado faz-se em a troca de suas lihas por suas coluas respectivas. lem disso, se etão. m Defiição 6 : Uma matriz é dita matriz simétrica se, e somete se a = a, i=,2,, m; =,2,, i m =, ou aida, Defiição 7 : Uma matriz aida, é dita matriz ati-simétrica se, e somete se =, ou a = a, i=,2,, m; =,2,, Propriedades : s operações acima têm as seguites propriedades: i

3 . ssociatividade da dição: ( +B ) +C=+ ( B+C ) 2. Comutatividade da dição: +B=B+ 3. ssociatividade da Multiplicação: ( B) C = ( BC ) 4. Distributividade à Direita: ( +B) C=C+BC 5. Distributividade à Esquerda: B+C=B+C ( ) 6. Elemeto Neutro Multiplicativo I = I = 7. Elemeto Neutro ditivo +0=0+= 8. rasposta do Produto ( ) B = B 9. rasposta da Soma ( ) +B = +B 0.Distributividade por escalar α( ) +B = α+ α B, α=escalar Nota: Verifique que, em geral, B B. EXERCÍCIOS. Prove que se e B forem matrizes simétricas e B = D, com D uma matriz diagoal, etão B = B. 2. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com outra ati-simétrica. Sugestão: Escreva como ( + ) ( ) Defiição 8 : Uma matriz é dita matriz iversa de, deotada por, se e somete se - = I. Defiição 9 : Uma matriz quadrada é dita matriz ão-sigular se o seu determiate é diferete de zero; caso cotrário é chamada de matriz sigular. toda matriz quadrada é associada um úmero deomiado de DEERMINNE deotado por det.. Vide bibliografia idicada para o estudo mais detalhado sobre determiates.

4 Defiição 0 : Sea uma matriz -dimesioal um espaço vetorial X. Deomia-se matriz aduta de, deotado-a por ad( ) ou, à matriz da mesma dimesão de, ode cada elemeto a é o cofator do elemeto a para i, =,2,,, ode o cofator de a é o valor do determiate de ordem ( ) ( ), ode se retira de a i-ésima liha e a -ésima colua, multiplicado o resultado por ( ) eorema : oda matriz ão-sigular tem uma matriz iversa. Propriedades da matriz iversa: i+.. - = I - 2. det det = det I= 3. ( ) B = B ( ) = ( ) Defiição : Sea uma matriz quadrada e sea p, etão é dito ser a p-ésima potêcia da matriz. Propriedades : = p. = p q p+ q p 2. ( ) q = pq 3. 0 = I Valor bsoluto e Norma de uma Matriz Seam duas matrizes e B. iequação etre duas matrizes = e b B = k m tem o mesmo sigificado que B [ ] a b, i, a ik m Defiição : Defie-se valor absoluto(modulus) de uma matriz matriz : = [ a ik ] m a seguite

5 = a ode a são os moduli de cada elemeto de. Se e B são matrizes para as quais as operações +B,Btêm sigificado, etão:. +B + B 2. B B 3. α α, com α escalar. 4. p p Defiição 2 : Defie-se orma de uma matriz = [ a ik ] m a um úmero real deotado por, que satisfaça as seguites codições (vide tópico sobre espaços lieares ormados): Sedo. 0 = 0 = 0 2. α = α 3. +B + B 4. B B. = [ a ik ] m pricipais ormas defiida sobre ela:, com α escalar uma matriz de dimesão arbitrária, seam as defiições das três Defiição 3 : Defie-se m-orma através da seguite fórmula: m = max a i ou o maior valor das somas dos módulos dos elemetos das lihas. Defiição 4 : Defie-se l-orma através da seguite fórmula: l = max a i ou o maior valor da soma dos módulos dos elemetos das coluas

6 Defiição 5 : Defie-se k-orma através da seguite fórmula: k = a i, = 2 Exercícios. Determiar as m-orma, l-orma e k-orma da matriz : Ecotrar uma outra orma qualquer, diferetes das estudadas e verificar se satisfaz as codições ecessária e suficietes para que ela sea orma de uma matriz. Defiição 6 : Defie-se produto itero ou produto escalar de dois vetores x e y, deotado por ( x, y ), ao úmero real determiado da seguite forma: ( x, y ) = xiyi o qual deve satisfazer as seguites codições: Exercícios ( x, y ) 0 ( x, y) = ( y,x ) i ( x, y) = 0 x, y forem LI. ou ortogoais etre si. ( x, z + y) = ( x, z) + ( x, y) ( x, x ) 0 ( x, x) = 0 x = 0.Prove ( x, z + y) = ( x, z) + ( x, y ). ( x, y) x y (desigualdade de Schwarz)

7 2.Mostre que, se x e y satisfazem a desigualdade triagular,etão ( ) ( x, y = x+y x y ) ópicos Sobre ratameto Matricial os Espaços Vetoriais 6.3. rasformação de Coordeadas de um Vetor Sob Mudaça de Base Seam { ek} = { e, e2,, e} e { εk } = { ε, ε2,, ε } duas bases de um mesmo espaço liear X. Cada vetor a ova base { ε k} tem, a base atiga { e k }, certas coordeadas ( s, s, s ), isto é: k 2k, k εk = s ke ske = sike i i= () matriz ão sigular S = s, chamada também de matriz mudaça de base é a trasposta da matriz que especifica a trasformação de bases. Sea, etão x X, e seam sua represetação as bases dadas: x= xie i= i (2) x = ξ ε = (3) Substituido estas expressões () em (3), obtém-se: x = ξ ε = ξ s e = e s ξ i i = = i= i = (4) Comparado (2) com (4), vê-se que: ou uma forma matricial: x = s ξ, i=,..., (5) i =

8 x=sξ (6) ou sea o vetor x represetado as coordeadas de base { e k } é igual a matriz de mudaça de base S multiplicada pelo vetor x represetado as coordeadas { ε k }. Etão para se determiar as coordeadas de x a ova base ξ, tem-se S x= S - Sξ = Iξ = ξ ξ = S - x (7) Se em () multiplicarmos cada membro por e i, tem-se: ε e = s e e + s e e + + s ee + + s e e k i k i 2k 2 i ik i i k i ε e = s 0+ s 0+ + s + + s 0 k i k 2k ik k εkei = sik isto devido a ortogoalidade de { e, ou sea ( e, e ) = δ, e, e { e }. e assim k} i i k verifica-se que cada elemeto eik da matriz S é o produto itero ( ei, ε k), etre o i- ésimo vetor da base velha e o k-ésimo vetor da ova base, ou sea o coseo diretor etre e e ε. i Daí, se coclui que: k a soma dos produtos, dois a dois, dos coseos diretores correspodetes a diferetes eixos coordeados de uma ova base ortoormal é zero. a soma dos quadrados dos coseos diretores para cada ovo eixo coordeado é igual a uidade. Desta forma, coclui-se que SS=I. Exemplo: Represetação Matricial De rasformações Lieares Sea f : X Y () uma aplicação liear de um espaço X em outro espaço Y. Esta aplicação pode ser, em egeharia por exemplo, o relacioameto de tesões a deformações, ou forças a deslocametos, ou temperatura a fluxo de calor, ou correte elétrica a tesão elétrica, etc.

9 O primeiro passo para se fazer a represetação matricial de uma trasformação liear é relacioar dois coutos de vetores base, um para o espaço X e outro para Y. k 2 k 2 a base de Y. ssim se x X e y = Y, suas represetações com relação às bases de seus espaços são respectivamete: Seam { v } = { v, v,, v } a base de X e { w } = { w, w,, w } e (,,, ){,,, } x= x x x v v v = xv + x v + + x v (2) (,,, ){,, } y = y y y w w,v = y w + y w + + yw (3) ode ( x x x ) e ( y y y ),,, 2,,, são as coordeadas de x e y. 2 represetação matricial da trasformação liear () é: y=fx ode F é uma matriz quadrada de ordem e como foi demostrado acima, os elemetos da matriz de trasformação são os produtos iteros etre os vetores base das duas bases dos espaços em epígrafe, ( vi, w ). Sea, etão, achar a represetação matricial da seguite trasformação liear : L= D + 2βD + λ 2 D ode D represeta todos os poliômios em z de grau meor ou igual a três, D a sua derivada primeira e D a sua derivada seguda. Seam as seguites bases: Etão: Lv v = ; v = z; v = z ; v = z w = v i = λ = λ w 2 2 i ; Lv = 2β+ λ z = 2βw + λ w Lv = 2+ 4βz+ λ z = 2w + 4βw + λ w Lv = 6z+ 6βz + λ z = 6w + 6βw + λ w

10 matriz de L tem a seguite forma:.... =.... [ L] Lv Lv2 Lv3 Lv 4 [ L] 2 λ 2β λ 4β 6 = λ 6β λ Matrizes Ortogoais e utovetores e utovalores Defiição : Uma matriz real é dita matriz ortogoal se a sua trasposta coicide com a sua matriz iversa : = = =I Propriedades: s lihas(coluas) de uma matriz ortogoal, são duas a duas, ortogoais etre si; soma dos quadrados dos elemetos de cada liha (colua) é igual a ; O determiate de sua matriz é igual a ±. eorema : Qualquer matriz real ão-sigular, pode ser represetada a forma de um produto de uma matriz com coluas ortogoal por uma matriz triagular superior: =R ode R é uma matriz com coluas ortogoais e uma matriz triagular superior com diagoal uitária. Prova: Por coveiêcia, a prova será realizada com uma matriz de ordem 3. Sea etão represetada por: a a a a a a a a a 2 3 =

11 ( ) ( 2) ( 3) Sea represetar a matriz como : =,, a a a ode ( ) a = -ésima colua. ( ) ( 2) ( 3) Como é uma matriz ão-sigular, os seus vetores a, a, a são LI, pois caso cotrário uma das coluas poderia ser escrita como a combiação liear das demais, o det = 0, o que toraria a matriz sigular. que implicaria em ( ) Sea etão a matriz R, também a forma ortogoais, como requerido. R ( ) ( 2) ( 3) =,, r r r, ode ( ) r são coluas Sea, por hipótese, r ( ) ( 2) compoetes t r r : 2, ( ) ( ) = a. Sea agora a decomposição do vetor a ( 2) ( ) ( 2) = t 2 r + r ( 2) a em seus ode ( ) ( ) ( r r 2 ), = 0 Similarmete, sea a decomposição de ( 3) a em três compoetes, ( 3) ( ) ( 2) ( ) = t3 + t23 + a r r r 3 ( ) ( 2) ( ) 3, t23, t r r r 3 : ode Sea etão ( ) ( 3) ( r r ) ( 2) ( 3) ( r r ), = 0, = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( a 2, r ) = t 2 2 r, r + r, r ( ) ( ) ( ) ( ) Devido a ortogoalidade dos ( ) r, temos etão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( a 2, r ) = t 2 r, r ( ) dode se tira: ( 2) ( ) ( a, r ) 2 = () () ( r, r ) t ( 2) ( 2) ( ) = t2 r a r Similarmete, seam:

12 dode, devido a ortogoalidade tem-se: ( 3) ( ) ( ) ( ) ( 2) ( ) ( 3) ( ) ( a, r ) = t3( r, r ) + t23( r, r ) + ( r, r ) ( 2) ( 2) () ( 2) ( 2) ( 2) () 3 () 2 ( a, r ) = t2 ( r, r ) + t23( r, r ) + ( r, r ) ( 3) ( ) ( ) ( ) ( a, r ) = t3( r, r ) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( a, r ) = t23( r, r ) dode tira-se: ( 3) ( ) ( a, r ) t3 = () () ( r, r ) ( 2) ( 2) ( a, r ) t23 = ( 2) ( 2) ( r, r ) () 3 () 3 () () = t3 t23 r a r r 2 É fácil verificar que os vetores ssim, tem-se: ( ) r costruídos desta forma são ortogoais dois a dois. a ( ) ( ) = r ( 2) ( ) ( 2) = t2 + a r r () 3 () () 2 () = t3 + t23 + a r r r 3 ode ( ) ( ) (, r i ) () i () i ( r, r ) t = a Ou a forma matricial: =R a a2 a 3 r r2 r 3 t2 t 3 a2 a22 a 23 = r2 r22 r 23 0 t 23 a3 a32 a 33 r3 r32 r eorema 2 : oda matriz real ão-sigular pode ser represetada a forma de produto de uma matriz triagular iferior com diagoal uitária e uma matriz com lihas ortogoais.

13 eorema 3 : O produto de uma matriz real com coluas ortogoais pela sua trasposta é uma matriz diagoal. Prova: Seam a = e = a i e D d uma matriz diagoal, isto é, = d = 0, i Por tese tem-se que = D. Pelas regras da multiplicação de matrizes tem-se: ode vetor são as coordeadas do i-ésimo vetor a ki ( ) a, assim: d d = a a ki k k= ki k k= ( i) a e a k são as coordeadas do -ésimo () i ( ) (, ) = a a = a a eorema 4 : Qualquer matriz ão-sigular com coluas ortogoais é uma matriz ortogoal pós-multiplicada por uma matriz diagoal. eorema 5 : Uma trasformação liear tem uma úica iversa se, e somete se, a matriz da dada trasformação é ão sigular. lém disso, a sua iversa também é liear e a sua matriz é a iversa da trasformação iicial. Defiição 2 : Um vetor ão ulo é dito autovetor de uma dada matriz se o resultado de uma trasformação liear apropriada sobre o vetor gera um vetor coliear, isto é, x = λx, ode x é o autovetor equato λ é chamado de autovalor de x. eorema 6 : oda trasformação liear (matriz ) um espaço liear tem o míimo um autovetor. Defiição 3: Um subespaço liear L ( k ) k < é dito ser subespaço ivariate com relação a uma dada trasformação liear y=xse cada vetor trasformado deste subespaço se trasforma em outro vetor do mesmo espaço, isto é, se x L x L. eorema 7 : oda trasformação liear (matriz ) um subespaço liear ivariate de um espaço vetorial complexo, tem o míimo um autovetor. Defiição 4 : Duas matrizes associadas a uma mesma trasformação liear represetadas em bases distitas são ditas matrizes similares ou equivaletes e têm etre si a seguite relação: - B B=S S k k

14 isto é, e B são relacioadas pela trasformação realizada pela matriz S. Propriedades:. S ( ) +B S=S S+S BS S S= ( S S ) S S= ( S S) eorema 8 : Se uma dada matriz quadrada de ordem tem autovetores liearmete idepedetes, etão sua represetação a base formada por esses autovetores é uma matriz diagoal, equivalete à primeira. Prova: Sea uma matriz quadrada. Seam { e i } uma base de formada pelos seus autovetores. Logo, segue que: e = λ e, =,2,, Sea x um vetor qualquer do espaço em questão. Decompodo-o em relação à base e, tem-se: { } i ode x= x e x são as coordeadas de x o vetor-base e. plicado a trasformação = represetada por sobre x, tem-se o seguite vetor: y = x = x e = como é liear, etão: y = x e = x λ e = = ssim, vê-se que as coordeadas de y a base dada { e i }, são: ou aida: y = λ x, =,2,,

15 y = δkλxk k= ode δ k é o delta de Kroecker. ssim, a ova base, a trasformação é represetada por uma matriz diagoal: ou expadido, tem-se: = ( δkλ) λ λ2 0 0 = λ eorema 9 : Se uma matriz é real e simétrica, etão ( x, y) = ( x, y ) eorema 0 : odos os autovalores de uma matriz simétrica com elemetos reais, são reais. Prova: Seam λ um autovalor de uma matriz e x o seu correspodete autovetor; etão, Desde que como ( ) > 0 =, etão x = λx, x 0 ( x, x) = ( x, x) ( λxx, ) = ( x, λx) λ * ( x, x) = λ ( x, x) * x, x, por defiição, etão λ= λ, e λ é um úmero real.. eorema : Os autovetores de uma matriz real simétrica autovalores distitos, são ortogoais etre si., correspodete a eorema 2 : Sea uma matriz real simétrica, e ( 2 ) ( λ λ λ ) λ= mi λ, λ,, λ Λ = max,,, 2

16 ode λ, λ2,, λ são todos autovalores de. Etão a seguite iequação é válida para qualquer vetor x : λ( x, x) ( x, x) Λ( x, x ) eorema 3 : Para uma matriz real e simétrica sea positiva defiida, é ecessário e suficiete que todos os seus autovalores seam positivos. Exercício. che os autovalores e os autovetores da matriz : Utilizado-se o software MathCad, tem-se: 2 = eigevals ( ) = eigevecs ( ) = che os autovalores e os autovetores da matriz : = Utilizado-se o software MathCad, tem-se:

17 eigevals ( ) eigevecs ( ) = = i i i Note que existem dois autovalores complexos, que por defiição são cougados i i i i i Note que a 3ª e 4ª coluas são os autovetores correspodetes aos autovalores complexos, e cougados Iversão de Matrizes riagulares Sabemos que a iversa de uma matriz triagular também é triagular e da mesma forma. Sea etão S = s uma matriz triagular e sea t - = = S a matriz iversa de S. Etão, S = I t s = I ou sea, ou melhor aida, t t = s = ( t s ) 2 2 s22 t = ts+ t2s2 + + t, s s (, ) t ii = s t = t s + t s + + t s s ii (, + +,,, ) ii i i i i

18 t t ii =, i=,2,, s ii = t s ik k s k= raslação e Rotação de Eixos Defiição : Sea a trasformação y= c+ x ode c é um vetor costate, caracterizado o deslocameto da origem do couto { y k } em relação ao couto { x k }. uma trasformação desta atureza, deomia-se traslação de eixos. Defiição 2 : Qualquer que sea a trasformação do tipo y=x, pode ser etedida como uma rotação de eixos, quado for uma matriz ortogoal. Em geral, os elemetos a de são os coseos diretores do eixo i de { } em relação ao eixo do x. couto { } k Exemplo: rotação de um âgulo θ em toro do eixo x 3, em um espaço trasformação (demostrar): y k y cosθ seθ 0 x y2 = seθ cosθ 0. x 2 y x 3 3 R é dado pela