( 1,2,4,8,16,32,... ) PG de razão 2 ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão 1 ( 100,50,25,... ) PG de razão ½ ( 2, 6,18, 54,162,...

Transcrição

1 Progressões Geométricas Defiição Chama se progressão geométrica PG qualquer seqüêcia de úmeros reais ou complexos, ode cada termo a partir do segudo, é igual ao aterior, multiplicado por uma costate deomiada razão. Exemplos (,,4,8,6,,... ) PG de razão ( 5,5,5,5,5,5,5,... ) PG de razão ( 00,50,5,... ) PG de razão ½ (, 6,8, 54,6,... ) PG de razão - Termo geral da P.G. eja a PG geérica (,,,,...,,...) a a a a4 a, ode a é o primeiro termo, e seja, o termo de ordem. edo q a razão da PG, da defiição podemos escrever: a = a. q a = a. q= ( a. q). q= a. q a = a. q= ( a. q ). q= a. q a é o -ésimo termo, ou De modo geral, o termo a, que ocupa a -ésima posição a seqüêcia, é dado por: é deomiada fórmula do termo geral da P.G. a a q =, que. Exemplos 0. Determiar o 0º. termo da P.G. (, 6, 8,...). 0. Numa P.G., o 5º. termo é igual a e o º. termo é igual a 7. Determiar a razão da P.G. e o seu 8º. termo. 0. Costruir a P.G. em que a soma do º. com o 5º. termo é 5 e a soma do 7º. com o 9º. termo é Determiar x a fim de que a seqüêcia 9x 4, x, x seja uma P.G. 05. Determiar três úmeros em P.G. cujo produto seja.75 e a soma do º. com o º. termo seja igual a Iterpolar três meios geométricos etre e 8. 6

2 Geericamete: a a. q j k j = k, Nota x Uma PG geérica de termos, pode ser expressa como:, x, xq q oma dos primeiros termos de uma P.G. eja a P.G. (,,,,...,,...) 4 cosiderar o que segue:, ode q é a razão da P.G. a a a a a. Para o cálculo da soma dos primeiros termos = a + a + a + a a + a 4, vamos Multiplicado ambos os membros pela razão q vem:. q= a. q+ a. q a. q+ a. q. ñ Logo, coforme a defiição de P.G., podemos reescrever a expressão acima como:. q= a + a a + a. q a + a + + a é igual a a Observe que.... q= a + a. q. Logo, substituido, vem: Daí, simplificado coveietemete, chegaremos à seguite fórmula da soma: = a aq q e substituirmos a a q =, obteremos uma ova apresetação para a fórmula da soma, ou seja:. = ( ) a q q Exemplo 09. Calcule a soma dos 0 primeiros termos da P.G. (,,4,8,... ) 0. Calcular a soma dos primeiros termos da P.G. (,,4,8,... ). Qual o úmero míimo de termos que devem ser cosiderados a P.G. (,9,7,8,... ) para se obter uma soma maior que.000? 7

3 érie geométrica covergete O que acotece com a soma dos termos de uma P.G. quado levamos em cota um úmero cada vez maior de termos a serem somados? Vamos cosiderar dois casos: º.) eja a P.G. algus valores de :,,,, de razão q=. Calcule a soma de seus primeiros termos para 5. 5 =, , , Podemos otar que, à medida que aumeta, o valor de fica cada vez mais próximo de. Dizemos que, para valores de tão grades quato se queira, a soma aida, = coverge para, ou, 4 8 º.) eja a P.G. (,4,8,6,...) de razão q=. Calculado algus valores de, temos: = 6; =.046; = Podemos otar que, à medida que aumeta, também aumeta, isto é, o valor de grade quato se queira. Dizemos que a soma diverge. Nosso objetivo é estudar apeas as séries geométricas covergetes. eja a P.G. Assim, ( a, a, a,...) cuja razão q é tal que: < q< q é um úmero cada vez mais próximo de zero à medida que o expoete aumeta. Etão, quado calculamos ( ) a q a(0 ) a a = = = = q q q q para suficietemete grade, temos: fica tão 8

4 Assim, a = a + a + a + = < < q... ; q Esse é o valor para o qual a soma coverge. Exemplos. Calcular o valor de Resolver a seguite equação: 4 x x x 4 x = Obter a fração geratriz da dízima 0, x x x x 5. Qual o valor de x a equação x = Produto dos termos de uma PG limitada ( P ) = ( a a ). Questões Ateriores do Teste ANPAD 0. eja = b 4ac o discrimiate de ax bx c ax bx c + + = 0, a 0. e o discrimiate de + + = 0, a 0, é zero, etão é CORRETO afirmar que a, b e c: a) formam uma progressão geométrica. b) formam uma progressão aritmética. c) são distitos. d) são úmeros egativos. e) Apeas b é egativo e a e c são positivos. 0. omado-se um mesmo úmero a cada termo da seqüêcia (0, 50, 00), a resultate é uma progressão geométrica de razão: a) b) c) d) e) 4 5 9

5 0. A respeito da seqüêcia defiida por: a) a seqüêcia pode ser apresetada como ( k a k ) a = e a = k+ ak para k, pode-se afirmar que: = para k. b) a seqüêcia é covergete. c) é uma seqüêcia decrescete. d) essa seqüêcia ão é moótoa. e) é uma seqüêcia costituída somete por úmeros primos. 04. Uma bola cai de uma altura de m. Cada vez que ela bate o chão, sobe a uma altura de três quartos da altura aterior. Etão a distâcia percorrida em metros pela bola até o repouso é: a) 84 b) 48 c) 6 84 d) 7 48 e) Cosidere a seguite expressão: 4 + x + x x +... i= i Pode-se afirmar que essa expressão: a) é limitada para todo x R. b) cresce idefiidamete para todo x R. c) para x= 0,5 vale 8. + ( ) d) para x= 0,5 vale 4. + ( ) e) para x= 0,5 vale 4. ( + ) 06. O cojuto solução da desigualdade x x x é: 9 a) b) { x R; x } c) { x R;0 x } d) { 0 } e) { x R; x 0oux } 40

6 07. As medidas dos lados de um triâgulo retâgulo são úmeros em progressão geométrica. Etão a RAZÃO dessa progressão é: a) 5 + ( 5+ ) b) c) d) e) k= k 08. Cosidere a seqüêcia fiita { } a) b) c) + d) e) 09.A soma idicada por a) 0 b) 0(0 ) c) d) (0 0 ) e) ( + )(0 0) i+ i (0 0) i= vale: 4

7 0. Cosidere um triâgulo eqüilátero de lado, deomiado T. Iscreva esse triâgulo um outro triâgulo eqüilátero, deomiado T, cujos vértices são os potos médios dos lados det. Iscreva em T um outro triâgulo eqüilátero T com as mesmas propriedades acima, isto é, seus vértices são potos médios dos lados de T. Proceda desta maeira até obter o triâgulo T. A soma dos perímetros desses triâgulos é: 6 a) 5x 5x b) 5 c) 9 6 d) 89 e) Uma bola é solta de uma altura de.04 metros. Cada vez que a bola atige o solo ela volta a subir, atigido uma altura igual a 75% da altura que tiha ates de atigir o solo. Após atigir o solo pela quarta vez a sua altura máxima será igual a: a) 4m b) 8m c) 64m d) 4m e) Nehuma das respostas acima.. Com relação à soma da série ifiita k= 5 6 k, pode-se afirmar que: a) ão existe. b) é igual a 5. c) é igual a 0. 7 d) é igual a 5. 6 e) é igual a Um pedreiro está costruido um muro, de modo tal que, a partir do segudo dia, a superfície cocluída a cada dia é o dobro da levatada o aterior. Dessa forma, o profissioal leva 0 dias para realizar a tarefa. e, em vez de apeas um pedreiro, trabalhassem dois com o mesmo desempeho do primeiro, o tempo ecessário para realizar a mesma tarefa seria de a) 5 dias. b) 6 dias. c) 7 dias. d) 8 dias. e) 9 dias. 4

8 4. No orgaismo de um rato de laboratório, foram itroduzidos dois vírus que atacam o sistema imuológico e foi verificado, com um croômetro, que a cada três miutos dobrava o úmero de vírus e, para cada vírus, um aticorpo ( elemeto de defesa do orgaismo) era absorvido para mater o vírus ativo. Ao completar 90 miutos após a itrodução dos vírus o ratiho, os últimos aticorpos foram absorvidos e todos os vírus estavam ativos sem exceção: logo, pode-se afirmar, com certeza, que o ratiho ficou somete com a metade da defesa (metade dos aticorpos) do seu orgaismo combatedo os vírus exatamete quado o croômetro idicou: a) miutos b) 0 miutos c) 45 miutos d) 60 miutos e) 87 miutos 5. Cosiderado a dízima x= 0, , qual a fração que a gerou? a) b) c) d) e) Não existe uma fração que gere a dízima. 4