BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A 11. O ANO

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1 BANCO DE QUESTÕES MATEMÁTICA A. O ANO DOMÍNIO: Geometria Aalítica (o espaço). Cosidera, um referecial o.. do espaço, os plao defiidos pelas seguites equações: x yz e xyz A iterseção dos dois plaos é: (A) o cojuto vazio. (B) um poto. (C) uma reta. (D) um plao.. Cosidera, um referecial o.. do espaço, o plao defiido por y 3x e a reta r xyz,,, 3,0 k 3,,0, k. defiida por Qual das afirmações é verdadeira? (A) A reta r é paralela ao plao. (B) A reta r está cotida o plao. (C) A reta r é perpedicular ao plao. (D) A reta r é cocorrete, mas ão perpedicular ao plao. 3. Cosidera o cubo ABCDEFGH, de aresta, represetado a figura. Fixa-se, a figura, um referecial ortoormado do espaço, com origem o poto A, com uidade de comprimeto igual à aresta do cubo, tal que B está cotido o semieixo positivo das ordeadas, D está cotido o semieixo egativo das abcissas e F está cotido o semieixo positivo das cotas. Determia, relativamete a esse referecial, a equação cartesiaa do plao ADH a forma ax by cz d. Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

2 4. Na figura ao lado, está represetado, em referecial o.. do espaço, o prisma reto ABCDEFGH, de bases quadradas paralelas ao plao xoy. As coordeadas dos vértices A, B e G são, respetivamete, 3, 0, 0, 3, 6, 0 e 3, 6,. 4. Obtém uma equação vetorial do plao AFG. 4. Determia uma equação cartesiaa do plao que cotém o poto F e é perpedicular à reta DF. 4.3 Seja o plao que cotém reta BC e que passa o poto de coordeadas 0, 6, 0. Determia as coordedas do poto de iterseção do plao com o eixo Oz. Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

3 DOMÍNIO: Sucessões. Cosidera a sucessão a de termo geral. Calcula a. a.. Mostra que é termo da sucessão a e idetifica a respetiva ordem. 3.3 Estuda a quato à mootoia..4 Justifica que a ão é uma progressão aritmética em uma progressão geométrica..5 A sucessão a é covergete? E limitada? Justifica as tuas respostas.. Justifica que a expressão ão pode ser o termo geral de uma sucessão. 3. Na figura seguite, estão represetados os três primeiros termos de uma sucessão de costruções geométricas. Tal como a figura sugere: a primeira costrução é um semicírculo de raio ; cada costrução, a partir da seguda, é costituída pelo dobro dos semicírculos, com metade do raio, do que a costrução aterior. 3. Para cada, seja u o úmero de semicírculos da costrução de ordem. a. Justifica que a sucessão u é um sucessão moótoa. b. Apreseta o termo geral de u. c. Determia o úmero de semicírculos da décima costrução. 3. Para cada, seja v a área sombreada da costrução de ordem. v. v e iterpreta o resultado o cotexto da situação. a. Justifica que a sucessão v é defiida por b. Calcula lim c. Justifica que a sucessão v é limitada. Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

4 3.3 Para cada, seja w o perímetro da costrução de ordem. a. Calcula os dois primeiros termos de w. b. Obtém o termo geral de w e coclui que w é uma sucessão costate. 4. Uma das ledas a respeito da origem do jogo de xadrez cota que o jogo foi criado por um jovem ivetor para etreter um rei da Ídia. O rei ficou maravilhado e quis recompesar o jovem. Pergutou-lhe que presete desejava e a resposta foi surpreedete. O jovem pediu: grão de trigo pela ª casa do tabuleiro; grãos de trigo pela ª casa; 4 grãos de trigo pela 3ª casa; 8 grãos de trigo pela 4ª casa; e assim sucessivamete. 4. Justifica que os termos cosecutivos da sequêcia de grãos de trigo, do meor para o maior, estão em progressão geométrica, e idetifica a respetiva razão. 4. Parece que ão foi possível ao rei cumprir a promessa, dado que, para tal, ão chegava sequer toda a produção mudial de trigo da altura. Calcula o úmero de grãos de trigo que o rei teria de oferecer ao jovem para cumprir a recompesa. Apreseta o resultado em otação cietífica, a forma cetésimas e b iteiro. a 0 b, com a arredodado às 5. Cosidera a sucessão u defiida por recorrêcia como se segue: u 5 u 3 u, para 5. Determia o terceiro termo da sucessão u. 5. Apreseta o termo geral da sucessão u. 5.3 u é uma sucessão limitada? Justifica a tua resposta. Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

5 6. Cosidera a sucessão 6. Defie v por recorrêcia. v de termo geral v Justifica que v é uma progressão aritmética e idetifica a respetiva razão. 7. Prova, por idução matemática, que:, 7 é múltiplo de Seja w a sucessão defiida por w 3. Mostra, por defiição, que w. 3 Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

6 Geometria Aalítica (o espaço) SOLUÇÕES. (A). (C) 3. yz 0 4. Por exemplo: PAsAFtGF s, t x, y, z 3,0,0 s 0,6, t 6,0,0 s, t 4. 6x36y6y 0 (ou equivalete) 4.3 0,0,0 Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.

7 Sucessões. a Trata-se do 5º termo..3 a a 0 3 ; portato, para qualquer úmero atural, a a, pelo que a sucessão é moótoa decrescete..4 a a e a ão são costates. a (Em alterativa, pode verificar-se que ão existe razão aditiva em multiplicativa etre três termos cosecutivos). lim a 0. A sucessão é covergete e, portato, limitada.. ão está defiido para, pelo que ão pode defiir uma fução de domíio a. O úmero de semicírculos é crescete. b. u c a. v b. limv 0. A área sombreada da costrução tede para zero quado o úmero de círculos tede para. c. Por exemplo,,0v. (Em alterativa, pode referir-se que a sucessão é covergete). 3.3 a. w w b. w, pelo que a sucessão é costate. 4. O quociete etre quaisquer dois termos cosecutivos é costate () , u u u ; logo, a sucessão ão é limitada. 6. v 5 v v, para 6., v v ; r. Matemática A. o ao Raiz Editora, 09. Todos os direitos reservados.