VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. Entrelinha 1,5, sem figuras nem imagens

Transcrição

1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 19/01, de 5 de julho Prova Escrita de Matemática A 1.º Ao de Escolaridade Prova 65/1.ª Fase 1 Págias Etreliha 1,5, sem figuras em images Duração da Prova: 150 miutos. Tolerâcia: 0 miutos. 01 VERSÃO 1 Prova 65.V1/1.ª F. Págia 1/ 1

2 Na folha de respostas, idique de forma legível a versão da prova (Versão 1 ou Versão ). A ausêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos de todas as respostas aos ites de escolha múltipla. Utilize a calculadora sempre que for ecessário. Em caso de egao, deve riscar de forma iequívoca aquilo que pretede que ão seja classificado. Escreva de forma legível a umeração dos grupos e dos ites, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que ão possam ser claramete idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lugar. Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra que idetifica a úica opção escolhida. Não apresete cálculos, em justificações. A prova iclui, as págias e 4, um Formulário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do euciado da prova. Prova 65.V1/1.ª F. Págia / 1

3 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: ar^a-amplitude, em radiaos, do âguloaocetro; r-raioh Áreas de figuras plaas Losago: Trapézio: Diagoal maior # Diagoal meor Base maior+ Base meor # Altura Polígoo regular: Semiperímetro # Apótema Sector circular: ar ^a -amplitude, em radiaos, do âguloaocetro; r-raioh Áreas de superfícies Área lateral de um coe: r rg^r -raioda base; g-geratrizh Área de uma superfície esférica: 4rr ] r - raiog Volumes Pirâmide: 1 # Áreadabase # Altura Coe: 1 # Áreadabase # Altura 4 Esfera: rr ] r- raiog Trigoometria se] a+ bg= sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sea seb tga+ tgb tg ] a+ bg= 1 - tga tgb Prova 65.V1/1.ª F. Págia / 1

4 Compleos Limites otáveis ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, - 1+ e! Ng f lim b1 + 1 l = e lim se " 0 = 1 ^! Nh Probabilidades lim " 0 e 1 = 1 = p+ f + p 1 1 v = p ] g + f + p ^ h 1 1 lim l ^ + 1h = 1 " 0 lim " + l = 0 Se X é N] v, g, etão: P] v 1 X 1 + vg. 0, 687 lim " + e p = + ^ p! Rh P] v 1 X 1 + vg. 0, 9545 P] v 1 X 1 + vg. 0, 997 Regras de derivação ^u+ vhl = ul + vl ^uvhl= uv l + uvl u l uv l = - uvl ` v j v ^ u hl 1 u - = ul ^! Rh ^seuhl = ul cos u ^cos uhl =-ul se u ^tg uhl = ul cos u ^ u e hl = ul e u ^ u a hl u = ul a l a ^a! R + " 1, h ^l uhl = ul u log u au l l ^ h = ul a ^a! R + " 1, h Prova 65.V1/1.ª F. Págia 4/ 1

5 GRUPO I Na resposta a cada um dos ites deste grupo, selecioe a úica opção correta. Escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra que idetifica a úica opção escolhida. Não apresete cálculos, em justificações. 1. Num grupo de ove pessoas, costituído por seis homes e três mulheres, vão ser escolhidos três elemetos para formarem uma comissão. Quatas comissões diferetes se podem formar com eatamete duas mulheres? (A) C (B) 6 C (C) 9 A (D) 6 A Prova 65.V1/1.ª F. Págia 5/ 1

6 . Cosidere uma variável aleatória X, tal que os seus valores Xi! " 01,,,, Sabe-se que: a e b são úmeros reais; PX ( = 0) = a PX ( = 1) = a PX ( = ) = PX ( = ) = b PX ( > 1) = PX ( < ) Qual é o valor médio da variável aleatória X? (A) (B) 7 5 (C) 17 9 (D) Cosidere uma variável aleatória X com distribuição ormal de valor médio 11 e desvio padrão v Sabe-se que v é um úmero atural e que P^X > h. 0, 075 Qual é o valor de v? (A) 1 (B) 11 (C) 6 (D) 4 Prova 65.V1/1.ª F. Págia 6/ 1

7 4. Seja f a fução, de domíio R \" 0,, defiida por f^h = se^ h Cosidere a sucessão de úmeros reais ^ h tal que = 1 Qual é o valor de lim f^ h? (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) + 5. Seja f uma fução de domíio R + Sabe-se que lim l + f^h " + = 1 Qual das equações seguites pode defiir uma assítota do gráfico da fução f? (A) y = 1 (B) y = (C) y = (D) y = Prova 65.V1/1.ª F. Págia 7/ 1

8 6. Cosidere, para um certo úmero real a superior a 1, as fuções f e g, de domíio R, defiidas por f^h= a e g^h= a Cosidere as afirmações seguites. III) Os gráficos das fuções f e g ão se itersectam. III) As fuções f e g são moótoas crescetes. III) fl^ 1h gl^1h = l a a Qual das opções seguites é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (B) I é falsa e III é verdadeira. (C) I é verdadeira e III é falsa. (D) II e III são falsas. 7. Cosidere, o plao compleo, as images geométricas de quatro úmeros compleos: w 1, w, w e w 4 Sabe-se que: a imagem geométrica de w 1 está o 1.º quadrate; a imagem geométrica de w está o.º quadrate; a imagem geométrica de w está o.º quadrate; a imagem geométrica de w 4 está o 4.º quadrate. Qual é o úmero compleo que, com! N, pode ser igual a i8 i8 1+ i8? (A) w 1 (B) w (C) w (D) w 4 Prova 65.V1/1.ª F. Págia 8/ 1

9 8. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosidere z = 8+ 6i e w = i z z Seja a um argumeto do úmero compleo z Qual das opções seguites é verdadeira? (A) w = 10cisca r m (B) w = cis a r c m (C) w = 10cisca r m (D) w = cis a r c m GRUPO II Na resposta a cada um dos ites deste grupo, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Ateção: quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. 1. Em, cojuto dos úmeros compleos, cosidere z cis 1 = + r e z = 1 + i Sabe-se que z1 é uma raiz quarta de um certo úmero compleo w z Determie w a forma algébrica, sem utilizar a calculadora. 1.. Seja z = cis a Determie o valor de a pertecete ao -r6, sabedo que z + z é um úmero real. Prova 65.V1/1.ª F. Págia 9/ 1

10 . Uma caia cotém apeas bolas bracas e bolas pretas, idistiguíveis ao tato. Todas as bolas estão umeradas com um úico úmero atural. Sabe-se que: duas bolas em cada cico são pretas; 0% das bolas pretas têm um úmero par; 40% das bolas bracas têm um úmero ímpar..1. Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caia. Determie a probabilidade de essa bola ser preta, sabedo que tem um úmero par. Apresete o resultado a forma de fração irredutível... Admita agora que a caia tem bolas. Etraem-se, ao acaso, sucessivamete e sem reposição, duas bolas da caia. Determie, sabedo que a probabilidade de ambas as bolas serem bracas é igual a 7 0. Seja W o espaço de resultados associado a uma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se que: PB ] g= 1 4 PA ], Bg= P^A ; Bh= 7 1 Determie PA ] g Prova 65.V1/1.ª F. Págia 10/ 1

11 4. Cosidere a fução f, de domíio R \" 0,, defiida por Z ] e - 1 ] e4-1 f^h = [ ] l^h \ se < 0 se > 0 Resolva os ites 4.1. e 4.., recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico. 4.. Seja g a fução, de domíio R +, defiida por g ^ h= f^h + l Estude a fução g quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos 0, e@ 4.. Cosidere, um referecial o.. Oy, o triâgulo [OAB] Sabe-se que: A é o poto de itersecção do gráfico da fução f com a bissetriz dos quadrates ímpares, 0, + 6 B é o poto de coordeadas (e, 0) Determie a área do triâgulo [OAB] Prova 65.V1/1.ª F. Págia 11/ 1

12 5. Cosidere as fuções f e g, de domíio Sabe-se que: f é uma fução poliomial de grau e 1 são zeros da fução f f ^0h= a seguda derivada, gll, de uma certa fução g tem domíio e é defiida por gll^h f^h e = Apeas uma das opções seguites está correta. III) A cocavidade do gráfico da fução g está sempre voltada para cima. III) A fução g tem um poto de ifleão de abcissa 1 III) gl, primeira derivada de g, é crescete o 6 Elabore uma composição a qual: idique a opção que está correta; apresete as razões que o levam a rejeitar as restates opções. Apresete duas razões diferetes, uma por cada opção rejeitada. 6. Cosidere a fução g, de domíio Seja a um úmero real do domíio de g r E -,0 ;, defiida por g () = se^h cos A reta tagete ao gráfico da fução g o poto de abcissa a é paralela à reta de equação y Determie o valor de a, recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora. = Cosidere, para um certo úmero real a positivo, uma fução f, cotíua, de domíio 6 -a, a@ Sabe-se que f^ ah = f^ah e f^ah> f ^0h Mostre que a codição f^h = f^+ ah tem, pelo meos, uma solução FIM Prova 65.V1/1.ª F. Págia 1/ 1

13 COTAÇÕES GRUPO I 1. a 8... (8 5 potos) potos 40 potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos 160 potos TOTAL potos Prova 65.V1/1.ª F. Págia 1/ 1