Novo Espaço Matemática A 12.º ano Proposta de Teste [novembro ]

Transcrição

1 Nome: Ao / Trma: Nº: Data: / / Não é permitido o so de corretor Deves riscar aqilo qe pretedes qe ão seja classificado A prova icli m formlário As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova Seja a m úmero real positivo CADERNO (É permitido o so de calcladora gráfica) Cosidera a scessão ( ) em qe = 6 e tal qe: = a + = a a, N Se = 65 7, etão podes coclir qe é igal a: (A) (B) (C) 9 (D) Dada ma scessão ( v ), sabe-se qe: v = v = lim ( v ) = Seja ( ) ma scessão defiida por: + v se 500 = v se > 500 A scessão ( ) é moótoa? Jstifica Determia lim si

2 Seja f a fção poliomial de gra 4, defiida por 4 f = + Sejam A e B os potos do gráfico de f de abcissas, respetivamete, e Jstifica qe eiste m poto C de abcissa c ], [ tal qe a reta tagete ao gráfico de f o poto C é paralela à reta AB Determia o valor, arredodado às cetésimas, de c 4 A poplação de ma escola secdária, do cetro da cidade, distribi-se da segite forma: 60% dos alos são rapazes; 75% dos alos vivem a cidade; 0% dos alos qe vivem a cidade são raparigas Evolvedo todos os alos da escola é feito m sorteio, de forma aleatória, para atribir m comptador 4 A probabilidade de o comptador ser atribído a ma rapariga qe vive a cidade é: (A) 0, (B) 0,075 (C) 0, (D) 0,5 4 Determia a probabilidade de o premiado viver a cidade, sabedo qe é rapaz Apreseta o resltado em percetagem FIM (Cadero ) Cotações Total Qestões - Cadero 4 4 Potos

3 CADERNO (Não é permitido o so de calcladora) 5 Seja f a fção, de domíio R \ { }, defiida por f Cosidera a scessão de úmeros reais ( ) tal qe Qal é o valor de lim f? = = (A) (B) + (C) 0 (D) 6 Sejam f e g fções reais de variável real, de domíio R, tais qe: Sabe-se qe: f = ( + ) f ( ) = g ( ) f = g f f ( ) g 6 Determia lim e g 0 se > 0 0 = se 0 6 A eqação f ( ) = 0, é possível em ], [ Jstifica 6 Verifica qe 0, está etre g ( ) e g e qe g g < 0 Recorredo ao Teorema de Bolzao-Cachy, podes garatir qe a eqação g ( ) = 0, é possível o itervalo ], [? Jstifica

4 7 Seja f a fção real de variável real, de domíio \{ } Sabe-se qe f ( ) ( + ) 5 6 = = 7 Mostra qe f ( + ) f = + R, defiida por:, sedo f a fção segda derivada de f 4 7 Determia a eqação redzida da reta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa 7 Desiga por A e B os potos de ifleão do gráfico de f, sedo a abcissa de A meor qe a abcissa de B e represetadas, respetivamete, por A e B Mostra qe: ] [ f ( ),, > 0 A B 8 Cosidera a fção f, de domíio + R, defiida por f = + 8 Determia, caso eista, ma eqação da assítota vertical ao gráfico de f 8 Seja C o poto do gráfico de f, represetado m referecial o Oy, cja ordeada é o míimo absolto da fção f Escreve ma eqação da circferêcia de cetro em C e qe passa pela origem do referecial 8 Na figra, em referecial o Oy, ecotra-se represetada a fção f Sabe-se qe: B pertece a Oy e A pertece a O, sedo OB = OA ; a reta AB é tagete ao gráfico de f o poto P Determia as coordeadas do poto P 4

5 FIM (Cadero ) Cotações Cadero (com calcladora) Qestões 4 4 Potos Total 80 Cadero (sem calcladora) Qestões Potos Total 0 Total 00 5

6 FORMULÁRIO GEOMETRIA Comprimeto de m arco de circferêcia: α r ( α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Setor circlar: αr ( α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π rg (r raio da base; g geratriz) Área de ma sperfície esférica: (r raio) Volmes 4 π r Pirâmide: Área da base Altra Coe: Área da base Altra Esfera: 4 π r (r raio) PROGRESSÕES Soma dos primeiros termos de ma progressão ( ): Progressão aritmética: + Progressão geométrica: r r TRIGONOMETRIA si cos a + b = si a cos b + si b cos a a + b = cos a cos b si a si b sia sib sic = = a b c a = b + c bccosa COMPLEXOS iθ ( ) i θ ρ cis θ = ρ cis θ o ρ e = ρ e PROBABILIDADES µ = p + + p p ( ) σ = p µ + + µ Se X é N ( µ, σ ), etão: ( µ σ < < µ + σ ) P X, ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 9545 ( µ σ µ σ ) P < X < + 0, 997 REGRAS DE DERIVAÇÃO ( + v )' = ' + v' ( v )' = ' v + v' ' v v' = v v ( )' = ' ( R ) ( si ) ( cos ) ' = ' cos ' = ' si ' ( ta )' = e = ' e cos ( a ) = ' a I a ( a R + \{ } ) ( I ) ' = = ' R I a + ( log ) a \{ } a LIMITES NOTÁVEIS lim + = e si lim = 0 e lim = 0 I lim = 0 + e lim = + R + p ( p ) ( N ) θ + kπ θ + kπ iθ cis = cis o e = e ρ θ ρ ρ ρ ( k { 0,, } e N ) 6

7 Proposta de Resolção [ovembro - 07] CADERNO (É permitido o so de calcladora gráfica) = 6 a a = 6 a a 6 = 0 a = a = Como a > 0, cocli-se qe a = = 657 = 657 = 6575 = Resposta: Opção correta (B) Relativamete à scessão ( ) tem-se: = + v = 0; = 4 + v = 7; lim ( ) Como = = + v > e lim ( ) = +, cocli-se qe a scessão Resposta: A scessão ( ) é ão moótoa Sabe-se qe: si Como lim ( ) = +, a partir de ma certa ordem, si é ão moótoa Como lim = lim = 0, pelo Teorema das scessões eqadradas cocli-se qe si lim = 0 Resposta: si lim = 0 4 Sedo f = +, tem-se f = e O declive da reta defiida pelos potos A (, ) e (, ) f f + m = = = 5 f = A é dado por:

8 Proposta de Resolção [ovembro - 07] Como f é ma fção poliomial, é cotía e difereciável em R, em particlar é cotía em [, ] e difereciável em ], [ Pelo Teorema de Lagrage, c ] a b[ f ( c), : = 5 A reta de declive 5 qe passa pelo poto de abcissa c é tagete ao gráfico de f o poto de abcissa c f = 4 6 Resolvedo graficamete a eqação f ( c) 5 c,57 Resposta: c, 57 = obtém-se: 4 Cosidera os acotecimetos: C: "O comptador é atribído a m alo qe vive a cidade" M: "O comptador é atribído a m alo do seo masclio" F: "O comptador é atribído a m alo do seo femiio" Sabe-se qe: P( M ) = 0,6 P( C ) = 0,75 P( F C ) = 0, 4 P( C F ) = 0, 0, 75 = 0, 5 Resposta: Opção correta (D) 0,5 4 P( M C ) = 0, = 0, 7 ( ) P C M ( M ) P ( M ) P C = = 0,75 0,7 = 0,875 0,6 Resposta: A probabilidade de o premiado viver a cidade, sabedo qe é rapaz é de 0,875 FIM (Cadero ) Cotações Total Qestões - Cadero 4 4 Potos

9 Proposta de Resolção [ovembro - 07] lim = lim = = lim f ( ) = lim = = 0 Resposta: Opção correta (C) 0 CADERNO (Não é permitido o so de calcladora) 6 6 lim lim f f ( ) g = lim f f g = ( + )( ) ( ) g lim = f ( ) lim + = ( ) ( ) + f f g 0 = lim ( )( ) = Resposta: ( ) lim f f g = 0 6 Como a fção f admite derivada fiita em todos os potos do domíio, em particlar em [, ], a fção é cotía em [, ] 8 f ( ) = g ( ) = e f = g = = 0 5 Como < 0, <, pelo Teorema de Bolzao, c ], [ : f ( c) = 0, 5 Logo, a eqação f ( ) = 0, é possível em ], [ 6 Sedo g ( ) = e 8 g = =, verifica-se qe 0 5 0, 5 < < e g g < 0 Como 0 0 = = +, a fção g ão é cotía em [, ], logo o Teorema de lim Bolzao-Cachy ão é aplicável este itervalo Resposta: Não é possível garatir qe g ( ) = 0, é possível através do Teorema de Bolzao- Cachy

10 Proposta de Resolção [ovembro - 07] 7 7 f + = = , como qeríamos demostrar 7 f = = 8 Seja y = m + b a eqação da reta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa m = f = Etão, tem-se y = ( ) y = + y = Resposta: y = Sabedo qe f ( ) ( + ) 5 6 =, podemos fazer o estdo de siais de f ( + ) f Por observação da tabela idetifica-se A = 0 e B =, abcissas dos potos de ifleão do gráfico de f 0,, f > 0 ] [ 8 8 lim f = lim + = 0 + = Resposta: Uma eqação da assítota vertical do gráfico de f é = 0 8 f 4 = = 4 f = 0 0 = ( )( + ) = 0 > 0 = = > 0 = 0 + f 0 + f ց ր f é míimo da fção Tem-se f =, o seja (, ) C 4

11 Proposta de Resolção [ovembro - 07] OC = + = 8 Eqação da circferêcia de cetro C e qe passa a origem: ( ) ( y ) Resposta: ( ) ( y ) + = 8 + = 8 8 Seja AOB ˆ = α e y = m + b a eqação redzida da reta AB OB taα = = OA m = ta 80 α = taα = = Assim, f Tem-se: = = = > = = = f 5 = + = + = O poto P tem coordeadas , 5 5 Resposta: P 5 6 5, 5 5 FIM (Cadero ) Cotações Cadero (com calcladora) Qestões 4 4 Potos Total 80 Cadero (sem calcladora) Qestões Potos Total 0 Total 00 5