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1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei.º 74/004, de de Março Prova Escrita de Matemática A 1.º Ao de Escolaridade Prova 5/1.ª Fase 11 Págias Dração da Prova: 150 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. 009 VERSÃO 1 Na folha de respostas, idiqe de forma legível a versão da prova. A asêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos das respostas aos ites do Grpo I. Prova 5.V1 Págia 1/ 11

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével, azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, de desehos o de otras represetações, qe podem ser primeiramete elaborados a lápis, sedo, a segir, passados a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica, sempre qe for ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e dos ites, bem como as respectivas respostas. As respostas ilegíveis o qe ão possam ser idetificadas são classificadas com zero potos. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 5.V1 Págia / 11

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas: o úmero do item; a letra qe idetifica a úica alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. A prova icli, a págia 4, m Formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. Prova 5.V1 Págia / 11

4 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 1 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 1 α r tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 87 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 5.V1 Págia 4/ 11

5 GRUPO I Na resposta a cada m dos ites deste grpo, seleccioe a úica alterativa correcta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a alterativa seleccioada. Não apresete cálclos em jstificações. 1. De m baralho com 40 cartas, repartidas por qatro aipes (Copas, Oros, Espadas e Pas), em qe cada aipe cotém m Ás, ma Dama, m Valete, m Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas scessivamete, ao acaso, seis cartas a m jogador, qe as coloca a mão, pela ordem qe as recebe. Qal é a probabilidade de o jogador obter a seqêcia 4 7 Dama Rei, as cartas recebidas? (A) (B) (C) (D) A C A 1 40 C. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe: P (A) = 0, P (B ) = 0,4 P (A B) = 0,5 (P desiga probabilidade.) Qal é a probabilidade de se realizar A, sabedo qe B se realiza? (A) (B) (C) (D) 4 1. Cosidere ma variável aleatória X, cja distribição de probabilidades é dada pela tabela segite. i 4 5 P (X = i ) k k 4 Qal é o valor de k? (A) 1 (B) (C) (D) 4 Prova 5.V1 Págia 5/ 11

6 4. Seja m úmero real positivo. l log Qal das epressões segites é igal a e 4 10? (l desiga logaritmo de base e ; log desiga logaritmo de base 10.) (A) l log (B) + (C) (D) l 4 log 5. Para m certo úmero real positivo k, é cotía a fção f, de domíio R, defiida por log ( k + ) se 0 f ( ) = se( ) se <0 Qal é o valor de k? (A) 1 (B) (C) (D) 4. Na figra 1, está represetado m triâglo iscrito ma circferêcia de cetro O e raio igal a 1. Um dos lados do triâglo é m diâmetro da circferêcia. ) O Fig. 1 Qal das epressões segites represeta, em fção de, a área da parte sombreada? π (A) π se ( ) (B) se ( ) (C) π se( ) (D) π se( ) 4 Prova 5.V1 Págia / 11

7 π 7. Seja z m úmero compleo, em qe m dos argmetos é. i Qal dos valores segites é m argmeto de, sedo z o cojgado de z? z π 5 7 (A) (B) π (C) π (D) π 8. Seja b m úmero real positivo, e z bi 1 = m úmero compleo. Em qal dos triâglos segites os vértices podem ser as images geométricas dos úmeros compleos z 1, (z 1 ) e (z 1 )? (A) (B) Im(z) Im(z) O Re(z) O Re(z) (C) (D) Im(z) Im(z) O Re(z) O Re(z) Prova 5.V1 Págia 7/ 11

8 GRUPO II Nas respostas aos ites deste grpo, apresete todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto. i Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere z i e z = cis π. 1 = 1 i 1.1. Determie z 1 a forma trigoométrica, sem recorrer à calcladora. 1.. Determie o meor valor de N, tal qe ( i z ) = 1.. De m bilhete de lotaria sabe-se qe o se úmero é formado por sete algarismos, dos qais três são igais a 1, dois são igais a 4 e dois são igais a 5 (por eemplo: ). Determie qatos úmeros diferetes satisfazem as codições ateriores.. Uma caia cotém bolas, idistigíveis ao tacto, meradas de 1 a 0. As bolas meradas de 1 a 10 têm cor verde, e as bolas meradas de 11 a 0 têm cor amarela. Cosidere a eperiêcia aleatória qe cosiste em retirar, scessivamete, das bolas da caia, ão repodo a primeira bola retirada, e em registar a cor das bolas retiradas..1. Determie a probabilidade de as das bolas retiradas da caia terem cores diferetes. Apresete o resltado a forma de fracção irredtível... Na mesma eperiêcia aleatória, cosidere os acotecimetos: A: «A 1.ª bola retirada é verde.» B: «A.ª bola retirada é amarela.» C: «O úmero da.ª bola retirada é par.» Qal é o valor da probabilidade codicioada P(( B C) A)? 5 A resposta correcta a esta qestão é P(( B C) A) =. 19 Nma peqea composição, sem tilizar a fórmla da probabilidade codicioada, epliqe o valor dado, começado por iterpretar o sigificado de P(( B C) A), o coteto da sitação descrita e fazedo referêcia: à Regra de Laplace; ao úmero de casos possíveis; ao úmero de casos favoráveis. Prova 5.V1 Págia 8/ 11

9 4. Sejam f e g das fções, ambas de domíio R +. Sabe-se qe: lim ( f ( ) ) = 0; + a fção g é defiida por g ( ) = f ( ) +. Prove qe o gráfico de g ão tem assimptotas oblíqas. 5. Cosidere a fção g, de domíio R +, defiida por g () = e + l Mostre, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, qe a fção g tem, pelo meos, m zero o itervalo ] 0,1; 0, [. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos. 5.. O gráfico de g cotém m úico poto A com abcissa pertecete ao itervalo ]0, ] e cja ordeada é igal ao dobro da abcissa. Tradza esta sitação por meio de ma eqação. Resolva a eqação, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora. Idiqe as coordeadas do poto A, com aproimação às décimas. Reprodza, a folha de respostas, o gráfico, o os gráficos, visalizado(s) a calcladora, devidamete idetificado(s), iclido o referecial. Assiale o poto A em qe se baseo para dar a sa resposta.. Sejam as fções f e h, de domíios ]1, + [ e ], [, respectivamete, defiidas por f ( ) = log ( 1) e por h( ) = log ( ). Determie, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, o cojto solção da codição f ( ) 1 + h( ). Apresete o resltado sob a forma de itervalo real. Prova 5.V1 Págia 9/ 11

10 7. Nm certo dia, o Ferado esteve doete e tomo, às 9 horas da mahã, m medicameto cja cocetração C(t ) o sage, em mg/l, t horas após o medicameto ter sido miistrado, é dada por 0, t Ct ( ) =te ( t 0) Resolva, recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, os dois ites segites Calcle lim Ct ( ) e iterprete esse valor o coteto da sitação apresetada. t Determie a qe horas se verifico a cocetração máima. Apresete o resltado em horas e mitos, arredodado estes às idades. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos; sempre qe proceder a arredodametos, se três casas decimais. FIM Prova 5.V1 Págia 10/ 11

11 COTAÇÕES GRUPO I... (8 5 potos) potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos TOTAL potos Prova 5.V1 Págia 11/ 11

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