Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 17 de Junho de 2013 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

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1 Acesso de Maiores de 3 aos Prova escrita de Matemática 17 de Jho de 013 Dração da prova: 150 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Primeira Parte As oito qestões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada ma delas são idicadas qatro alterativas, das qais só ma está correta. Escreva a folha de resposta a letra correspodete à alterativa qe seleccioar para respoder a cada qestão. Se apresetar mais do qe ma resposta, a qestão será alada, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Não apresete cálclos. 1. Temos das caias com bolas bracas e bolas pretas. A primeira cotém 4 bolas bracas e 3 bolas pretas. A segda cotém 3 bolas bracas e 5 bolas pretas. Uma bola é retirada da primeira caia e colocada a segda caia. Qal a probabilidade de, tirado ma bola ao acaso da segda caia, sair ma bola preta? A) B) C) D) Seja Ω o espaço de resltados associado a ma determiada eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe: P (B) = 0.6 P (A B) = 0. P (A B) = 0.7 Qal o valor de P (B A)? A) 3 B) 0.4 C) 0.3 D) Cosidere a fção real f, de domíio R, defiida por f() = 16. No gráfico desta fção cosideram-se os potos de abcissas 6, 5, 3, 1, 0, 1, 3, 5 e 6. Escolhem-se ao acaso dois desses 9 potos e deseha-se o segmeto de recta qe tem por etremidades esses dois potos. Qal é a probabilidade de esse segmeto de recta itersectar o eio das abcissas? A) 4 5 B) 4 9 C) 5 9 D)

2 4. Cosidere as fções, de domíio [0, + [, defiidas por f() = l(3 + ) e g() = 3 + si(). Cosidere as das proposições: I - o teorema de Bolzao permite afirmar qe a eqação f() = 1 tem, pelo meos, ma solção o itervalo ]0, 1[; II - o teorema de Bolzao permite afirmar qe a eqação g() = 7 tem, pelo meos, ma solção o itervalo ], 3[. Qal das segites afirmações está certa? A) I é verdadeira e II é falsa B) I é falsa e II é verdadeira C) I e II são ambas falsas D) I e II são ambas verdadeiras 5. A figra represeta parte do gráfico de ma fção f, real de variável real. f e f são, respetivamete, a primeira e a segda derivada de f. Qal das segites afirmações pode ser verdadeira? A) f (a) f (b) < 0 B) f (a) f (c) < 0 C) f(b) f (b) < 0 D) f(a) f (a) < 0 6. Sejam f e g fções de domíio ]0, + [. Sabe-se qe: a reta de eqação y = + 1 é assítota do gráfico de f; f ão tem zeros; g() = 3 e +. f() Qal das opções segites defie ma assítota do gráfico de g? A) y = 3 B) y = C) y = 3 D) y = 1

3 7. Na figra estão represetadas, o plao compleo, as images geométricas de cico úmeros compleos: w, z 1, z, z 3 e z 4. Qal o úmero compleo qe pode ser igal a w 3i? A) z 1 B) z C) z 3 D) z 4 8. Se z 1 = 1 + 3i + i e z = A) B) i ( ( π )) 3, cis etão z1 z é igal a: 4 C) ( ) 3π cis D) cis ( ) 3π 3

4 Segda Parte Nas qestões desta segda parte, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. 9. Cosidere os úmeros compleos z 1 = 1 + i e z = 7 i 3 + i. a) Resolva a eqação z 4 = z z, sem recorrer à calcladora. Apresete os resltados a forma trigoométrica. b) Escreva ma codição, em C, cojto dos úmeros compleos, qe defia, o plao compleo, a circferêcia qe tem cetro a imagem geométrica de z 1 e qe passa a imagem geométrica de z. 10. A tabela de distribição de probabilidades de ma variável aleatória X é dada por Sabedo qe a e b são úmeros reais, o valor médio da variável aleatória X é, qal o valor de a? i P (X = i ) a a b b b 11. Cosidere todos os úmeros de 5 algarismos qe se podem obter a partir de todas as possíveis permtações dos algarismos 1,, 4, 6 e 8. Sabedo qe esses úmeros estão ordeados por ordem crescete idiqe: a) qal é a posição qe ocpa o algarismo 6418? b) qal é o úmero qe está a 67 a posição. 1. Seja f a fção real defiida por f() = l a) Determie aaliticamete: ( ) i. O se domíio. ii. As coordeadas dos potos de itersecção do gráfico de f com os eios coordeados. b) Calcle lim f() e lim f() e iterprete os resltados obtidos Cosidere a fção real de variável real defiida por g() = e. a) Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, mostre qe g tem m úico etremo relativo. b) Determie as assítotas de g. c) Mostre qe o etremo relativo de g é, de facto, etremo absolto. 4

5 14. O qadrilátero [ABCD] da figra é m trapézio retâglo. Sabe-se qe CD = AE = BE = 1, α é a amplitde, em radiaos, do âglo BAD, ] α 0, π [. a) Mostre qe o perímetro do trapézio retâglo é dado, em fção de α, por P (α) = si(α). cos(α) b) Mostre qe a área do trapézio retâglo é dada, em fção de α, por A(α) = 3 tg(α). 15. A poplação de coelhos selvages, ma determiada ( ) região, t meses após o istate iicial, é π t dada, aproimadamete, por P (t) = a + b si. 6 a) Determie a e b sabedo qe, o istate iicial, a poplação é de 10 5 elemetos e qe ao fim de 3 meses há elemetos a poplação. b) Estde a fção P, qato à mootoia. c) Para qe valores de t a poplação é máima? 5

6 Cotações Primeira parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada qestão ão respodida o alada Segda parte a) b) a) b) a) i a) ii b) a) b) c) a) b) a) b) c) Total

7 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 1 3 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 1 3 α r tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 635.V1 Págia 4/ 11 7