( ) ( ) Novo Espaço Matemática A 11.º ano Proposta de Resolução [janeiro ] + = é tangente a uma esfera de centro ( 1, 0, 1)

Transcrição

1 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] Seja CA = a CADERNO (É permitido o uso de calculadora gráfica) CA AM = 7, 5 CA AM cos 0 = 7, 5 a a = a = 7, 5 89 ( ) Como a > 0, tem-se: a = 89 = 7 O perímetro do triâgulo [ABC] é igual a 3 7 = 5 Resposta: Opção (A) 5 No espaço, em relação a um referecial ortoormado Oxyz, sabe-se que o plaoα defiido pela equação x y z = é tagete a uma esfera de cetro (, 0, ) C Seja r a reta perpedicular a α que passa em C (,0,) x, y, z =, 0, + k,,, k R Uma equação vetorial da reta r: ( ) ( ) ( ) + k, k, + k, k R O poto de iterseção da reta r com o plao α é do tipo ( ) O poto pertece ao plao α + k + k + + k 3 = 0 6k = 3 k = Seja T o poto de iterseção da reta r com o plao α T +,, +, ou seja, 3 T,, O raio da esfera é igual a CT ( ) Seja V o volume da esfera 3 V 3 = π 3, ou seja, V 7, = = + + = Resposta: O volume da esfera, arredodado às cetésimas, é 7,70

2 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] 3 3 β : x + y + z + d = 0, d R 5 O poto T pertece ao plao β, etão d = 0, ou seja, d = 5 β : x + y + z 5 = 0 5 Resposta: O plao β é defiido pela equação x + y + z 5 = Coordeadas do vértice A: ( x,0,0) tal que x = 0, ou seja, x = Assim, (,0,0 ) Coordeadas do vértice B: ( 0, y,0) tal que Coordeadas do vértice C: ( ) CA = A C = (,0, ) CB = B C = ( 0,5, ) y + =, ou seja, 5 0,0, z tal que z = 0, ou seja, Seja θ a amplitude do âgulo formado pelos vetores CA e CB CA CB cosθ = = = CA CB θ = arccos 580 Recorredo à calculadora, obtém-se: θ 80, Resposta: A amplitude do âgulo formado pelos vetores CA e CB é 80, Sabe-se que u 5 = A y = Assim, ( 0,5,0 ) B z = Assim, ( 0,0,) C u = 3+ u, tem-se: Como = 3+ u u = 3 765

3 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] Resposta: Opção (B) 3765 Sabe-se que a difereça etre dois termos cosecutivos é igual a 08 u u = + 08 u u = u + u = 08 u = 05 Sedo u = 05, etão u + = = 093 Assim, a soma desses dois termos cosecutivos é dada por , ou seja, 638 Resposta: A soma dos dois termos cosecutivos é 638 FIM (Cadero ) Cotações Total Questões - Cadero 3 3 Potos

4 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] 5 Seja P o poto da reta r de abcissa 3 CADERNO (Não é permitido o uso de calculadora gráfica) Determia, a forma reduzida, a equação da reta s que é perpedicular à reta r o poto P P ( 3, y) ( ) ( ) ( ) 3, y =,3 + k,, k R Daqui resulta: 3 = + k k = y = 3 k y = 7 O poto P tem coordeadas ( 3,7) Um vetor diretor da reta r é, por exemplo, r (, ) Declive da reta r: mr = = Declive da resta s: m s = = = m r Equação reduzida da reta s: y = x + b, b R A reta s passa pelo poto P( 3,7) Etão, 3 7 = + b Daqui resulta que 3 b = Equação reduzida da reta s: 3 y = x + Resposta: 3 y = x +

5 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] 6 O declive da reta r é igual a ta ( 80 θ ) cos ( θ ) = si ( θ ) = 9 = 7 6 6, ou seja, ta ( θ ) Como 0 < θ < 90 e cos ( ) θ =, tem-se cosθ = O declive da reta r é dado por ta ( θ ) ( θ ) ( θ ) si = = = cos 7 7 Resposta: Opção (D) Equação da circuferêcia: x x y y + + = 5 ( ) ( ) x x y y x x y y x y + + = = = 0 Cetro da circuferêcia C (, ) P x y tais que: CA AP = 0 CA AP = 0 3, x, y 3 = 0 3x 6 + y 3 = 0 y = 3x + 9 A reta t é o cojuto de potos (, ) ( ) ( ) Resposta: A equação da reta t é y = 3x O âgulo formado pelos vetores u e v é obtuso se e só se u v < 0 u v < 0, k, k + k,0, k < 0 k + k + k < 0 k + 3k < 0 Cálculo auxiliar: ( ) ( ) ( ) k k k k k k + 3 = = 0 = 0 = 3 Assim, k 3k 0 k ] 3,0[ + < Resposta: Opção (A) ] 3,0[ 5

6 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] 9 9 Seja M o poto médio [AB] 0 3 M +,, + =,0, O plao mediador de [AB] é o cojuto dos potos P( x, y, z ), tais que: AB MP = 0 AB MP = 0 (,,5 ) x, y, z + = 0 5 x y + 5z + = 0 x y + 5z + = 0 Resposta: O plao mediador de [AB] é x y + 5z + = k, k, + k, k R 9 Qualquer poto da reta r é do tipo ( ) Pretede-se o poto da reta r que também pertece ao plao α ( ) ( ) + 3k k k = 0 6k k 3+ 6k = 0 k = 9 T ( 7, + 9, 8) = ( 6,7, 9) Resposta: O poto T tem coordeadas ( 6,7, 9) 93 Para que o plao α seja tagete à superfície esférica o poto B é ecessário que: B α e AB seja ormal ao plao α AB é ormal ao plao α, se e só se, e α k R : AB = kuα? ( ) k ( ),,5 =,,3, k R AB u são colieares, sedo uα = (,,3 ) 6

7 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] Daqui resulta que: k = k = k = k = Sistema impossível 3k = 5 5 k = 3 Coclui-se que os vetores AB e uα ão são colieares Assim, o plao α ão pode ser tagete à superfície esférica o poto B Resposta: O plao α ão é tagete à superfície esférica o poto B 0 0 a) 0 (zero) ão é miorate do cojuto dos termos da sucessão O primeiro termo da sucessão é egativo, pois u =, dode se coclui que 0 ão é miorate do cojuto dos termos da sucessão b) é majorate do cojuto dos termos da sucessão Repara que: = + +, em que 5 N, > Etão, N, < Coclui-se que é majorate do cojuto dos termos da sucessão + 0 u + ( + ) 3 ( )( + ) ( )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) 3 3 u = = = 5 N, > 0 ( + )( + ) N, 0 A sucessão ( u ) u u > + é estritamete crescete Sedo crescete, tem-se N, u u Assim, u = é miorate do cojuto dos termos da sucessão Sedo é majorate e miorate, coclui-se que a sucessão ( u ) é limitada 7

8 Novo Espaço Matemática A º ao Proposta de Resolução [jaeiro - 08] FIM (Cadero ) Cotações Cadero (com calculadora) Questões 3 3 Potos Total 80 Cadero (sem calculadora) Questões a) 0b) 0 Potos Total 0 Total 00 8