Proposta de Resolução. Grupo I. θ = 1. x. Daqui resulta que ( ) ( )< π π π 4 2. π 5π. 1. Se. (x pertence ao 1.º Q e 2x pertence ao 2.º Q).

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1 Grupo I 1. Se π π π π π x, 4, então < x < < x < π. 4 (x pertence ao 1.º Q e x pertence ao.º Q. Assim, tan( x < 0 e cos > 0 Opção: (A tan( x cos( x x. Daqui resulta que ( ( < tan x cos x 0.. sinx = 0 sinx = Recorrendo ao círculo trigonométrico verifica-se que: π, π a equação tem duas soluções; 6 π π, 6 a equação não tem soluções (é impossível; π π, a equação tem uma solução; 6 π 5π, a equação tem uma solução. 6 Opção: (B π π, 6. Se o declive da reta r é m, então o declive da reta s é 1 m. Assim, tem-se que tan( θ = 1 m. π sin θ π θ Como θ cos 1 1 tan = = = = = m π sinθ tanθ 1 cos θ m Opção: (D m

2 4. r: x = y 1 z = x 0 y 1 x = y 1 z = = z = 1 1 Um vetor diretor da reta r é u ( 1,1,0. Qualquer vetor diretor de r é colinear com u ( 1,1,0 ku k k k. (,,0, R\ { 0} Das opções dadas a única que satisfaz é a (A. Opção: (A (,,0, ou seja, é do tipo 5. O centro da esfera tem coordenadas ( 1,0,1 e é um ponto da reta r. Então a reta passa pelo centro da esfera. A interseção da reta com a esfera é um segmento de reta correspondente a um diâmetro. O raio da esfera é igual a 8 =. O diâmetro, dobro do raio, é 4. Opção: (B 4 6. Equação do plano yoz: x =0 x = 0 x = 0 x y + z = 5 z = y + 5 As coordenadas de qualquer ponto da reta r são do tipo ( 0, y, y + 5, y R. Das opções apresentadas a (D é a única que satisfaz a condição ( Opção: (D ( 0, 1,4 0, y, y + 5, y R.

3 Grupo II f ( x ( x ( x ( x = 0 sin = 0 sin = 0 sin = 0 kπ x = kπ, k Z x =, k Z. Zeros de f: kπ x =, k Z 1.. f ( x = x ] π,π[ π sin( x = sin( x = sin( x = sin( x = sin π π x = + kπ x = π+ + kπ, k Z π π x = + kπ x = + kπ, k Z 6 Como x ] π,π[, tem-se: π π x = + π x = + π, ou seja, 6 11π 5π x = x =. 6 Resposta: 5π (abcissa de A e 11π (abcissa de B Pretende-se o valor de AP + BC = sinα + tanα, sabendo que AB = 1 cosα = 1. 1 Sabe-se que: 1 cosα = cosα = e α π 0, 5 Recorrendo à fórmula fundamental da trigonometria, tem-se: sin α = 1 sin α = 9. π Como α 0,, conclui-se que sinα = 5. 5 sinα 5 tanα = = = cosα

4 Assim, AP + BC = sinα + tanα = + =. 6 Resposta: AP + BC = π.. cos α = sinα = sinα = AP + BC sinα + tanα AB A área do trapézio é dada por: = ( 1 cosα Sabe-se que sinα = 5. Então α = α 16 cos 1 cos = 5 5. Como α π 0,, tem-se cosα = 4 5. Sabe-se que, α tanα = sin. Então, tanα = 5 =. cosα sinα + tanα cos = = = 0, Área do trapézio: ( α Resposta: Área do trapézio: 0,15.. AP + BC sinα + tanα AB A área do trapézio é dada por: = ( 1 cosα sinα cosα + sinα sinα + tanα = = cosα ( 1 cosα ( 1 cosα ( ( α ( α α + α α sin 1 cos sin 1 cos 1 cos sinα sin α = = = cosα cosα cosα sin α = cosα Resposta: A área do trapézio é dada por sin α. cosα

5 ..1. Se P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares as coordenadas são do tipo ( x, x. Mas P também pertence à reta r. Então, tem-se: ( ( ( x, x =,1 + k, 4, k R k = x = + k 1 4k = + k x = 1 4k x = 1 4k 5 x = P( x, x, ou seja, 5 5 P, Resposta: Coordenadas do ponto P 5 5,.. AB = B A = ( 6, 4, 4 Seja r um vetor diretor de r: r ( cos cos ABr = = = AB r ( ABɵr ɵ cos( AB r ( AB r = ɵ Recorrendo à calculadora, obtém-se ABɵr 9,7. Resposta: A amplitude do ângulo formado pelas duas retas é 9,7... Seja C o centro da circunferência. C ( 0,. A reta tangente à circunferência no ponto A é o conjunto dos pontos (, que satisfazem a condição CA. AP = 0. CA. AP = 0 1, 1. x + 1, y = 0 ( ( x 1 y + = 0 y = x + 1 Equação reduzida da reta: y = x + 1 Resposta: y = x +1 P x y do plano

6 x + 1 r: = y = z 1 x = y = z 1 x = y = z 1 1 Um vetor diretor de r: r (,1,1 Equações que definem a reta s: s : x + 1 y z = = 1 1 Equação do plano xoz: y =0 x + 1 = y x = 7 z = y z = 0 y = 0 y = 0 Coordenadas do ponto de interseção de s com o plano xoz: ( 7,0,0 Resposta: ( 7,0,0 4.. A ( 1,, α : x + y z = 1 1,, Um vetor normal ao plano α: n ( Reta que passa em A e é perpendicular a α : ( ( ( x, y, z = 1,, + k 1,,, k R O centro C da superfície esférica é o ponto de interseção da reta com o plano. ( C 1 + k,+ k, k, k R. O ponto C pertence ao plano α. Então: ( ( 1+ k + + k k = 1 1+ k k 6+ 9k = 1 14k = 4 k = Assim, C 1 +, +, C,, 7 7 7

7 Raio da superfície esférica: AC = = + + = = Equação da superfície esférica: x y z = Resposta: x y z = Área do círculo: πr π r = 9π r = Raio da esfera: 4 Seja d a distância do plano ao centro C da esfera. d 4 d + = 4 d = 7 d = ± 7 C(0,-1, Assim, os planos são definidos por: z = + 7 e z = 7 Resposta: Os valores de k são ± AB. AC Repara que: AC = AF + FC AB. AC = AB. AF + FC = AB. AF + ABFC. Assim, ( = AB AF + 0 = AB AF = 1 (área do retângulo Resposta: AB. AC = 1