Matemática FUVEST ETAPA QUESTÃO 1. b) Como f(x) = = 0 + x = 1 e. Dados m e n inteiros, considere a função f definida por m

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1 Mateática FUVEST QUESTÃO 1 Dados e iteiros, cosidere a fução f defiida por fx (), x para x. a) No caso e que, ostre que a igualdade f( ) se verifica. b) No caso e que, ache as iterseções do gráfico de f co os eixos coordeados. c) No caso e que, esboce a parte do gráfico de f e que x >, levado e cota as iforações obtidas os ites a) e b). Utilize o par de eixos dado a págia de respostas. b) Coo f(x) 0 0 x 1 e x f(0) 1, os potos de itersecção 0 de f co os eixos coordeados são ( 1; 0) e (0; 1). c) Supodo f defiida de R { } e R, podeos obter o gráfico de f a partir da hipérbole y fazedo, essa orde: x I. u deslocaeto horizotal de duas uidades para a esquerda. II. ua reflexão e toro do eixo Ox. III. u deslocaeto vertical de duas uidades para cia. Assi, teos o gráfico: d) Existe u par de iteiros (, ) (, ) tal que a codição f( ) cotiue sedo satisfeita? Se, f(x). x a) f( ) _ i _ i 4 d) f( ) ( ) Coo ( ) d Z e ( ) d Z, a igualdade será satisfeita se, e soete se, ( 0 e 0) ( ). Assi ão existe (; ) (; ) tal que f( ).

2 QUESTÃO Cosidere a circuferêcia λ de equação cartesiaa x y 4y 0 e a parábola α de equação y 4 x. a) Deterie os potos pertecetes à iterseção de λ co α. b) Desehe, o par de eixos dado a págia de respostas, a circuferêcia λ e a parábola α. Idique, o seu deseho, o cojuto dos potos (x, y) que satisfaze, siultaeaete, as iequações x y 4y 0 e y 4 x. b) A circuferêcia λ de equação reduzida x (y ) 4 te cetro (0; ) e raio. Assi, o cojuto dos potos (x; y) que satisfaze, siultaeaete, as iequações x y 4y 0 e y 4 x é represetado pela região sobreada do gráfico a seguir. a) Teos: x y 4y 0 4 y y 4y 0 * * x 4 y x 4 y Z ( x / y 1) 0 y 5y 4 0 * [( x / y 1) x 4 y 0 ( x 0 / y 4) \ ortato, os potos pertecetes à itersecção de λ co α são ( 1, ; ) ( 1 ; ) e (0; 4). QUESTÃO Os coeficietes a, b e c do poliôio p(x) x ax bx c são reais. Sabedo que 1 e 1 αi, co α > 0, são raízes da equação p(x) 0 e que o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8, deterie a) o valor de α; b) o quociete de p(x) por (x 1). i é a uidade iagiária, i 1. a) Coo os coeficietes de p(x) são reais, etão as raízes são 1, 1 αi e 1 αi e p(x) (x ( 1)) (x (1 αi)) (x (1 αi)) (x 1)(x 1 αi) (x 1 αi).

3 elo teorea do resto, p(1) 8 (1 1) (1 1 αi)(1 1 αi) 8 α 8 α 4. Coo α > 0 teos α. b) O quociete de p(x) por (x 1) é ( x 1)( x 1 i)( x 1 i) ( x 1) (x 1 i) (x 1 i) x x 5. QUESTÃO 4 Ua bola braca está posicioada o poto Q de ua esa de bilhar retagular, e ua bola verelha, o poto, cofore a figura a seguir. A reta deteriada por e Q itersecta o lado L da esa o poto R. Alé disso, Q é o poto édio do segeto R, e o âgulo agudo forado por R e L ede 60 o. A bola braca atige a verelha, após ser refletida pelo lado L. Sua trajetória, ao partir de Q, fora u âgulo agudo θ co o segeto R e o eso âgulo agudo α co o lado L ates e depois da reflexão. Deterie a tagete de α e o seo de θ. Seja e Q as reflexões de e Q através de L e S o poto ode a bola braca acerta L. Coo QSR ( t ) QSR ( t ) α SM ( t ),, S e Q são colieares. Aalogaete, Q, S e são colieares. Deste odo Q e Q são ediaas do triâgulo R, e sua iterseção S é baricetro desse triâgulo. ortato RS SM. Teos RM RS SM SM SM SM. RM No triâgulo retâgulo RM, R cos 60 o SM 6 SM e M R se 60 o 1 6SM $ $ SM. M Logo, o triâgulo SM, tgα SM SM e, pelo Teorea de itágoras, S SM M SM SM ( SM) 7SM, de odo M SM 1 que seα. S 7SM ela lei dos seos, o triâgulo QRS, R RS QR SM seθ seα seθ 1 SM SM 1 seθ. seθ 1 7

4 4 QUESTÃO 5 U recipiete hereticaete fechado e opaco coté bolas azuis e bolas bracas. As bolas de esa cor são idêticas etre si e há pelo eos ua de cada cor o recipiete. Na tetativa de descobrir quatas bolas de cada cor estão o recipiete, usou- -se ua balaça de dois pratos. Verificou se que o recipiete co as bolas pode ser equilibrado por: I) 16 bolas bracas idêticas às que estão o recipiete ou II) 10 bolas bracas e 5 bolas azuis igualete idêticas às que estão o recipiete ou III) 4 recipietes vazios tabé idêticos ao que coté as bolas. Sedo A, B e R, respectivaete, os pesos de ua bola azul, de ua bola braca e do recipiete a esa uidade de edida, deterie a) os quocietes A e R ; B B b) o úero A de bolas azuis e o úero B de bolas bracas o recipiete. Do euciado, teos: R A A B B 16 B 10 B 5 A 4 R (I) a) (I) & 6 B 5 A A 6 ; e B 5 (I) & R B 4 b) Coo A 6 6 A B e R 4 B 5 5 B R 4 B, de (I) cocluíos: R A A B B 16 B 4 B A 5 6 B B B 16 B 6 A 5(1 B ) ara que 6 A e, cosequeteete, 5(1 B ) seja iteiros ão ulos, A deve ser últiplo de 5 e B u últiplo de 6, positivo e eor que 1. Assi B 6 e A 5$ ( 1 6) 5. 6 QUESTÃO 6 Cosidere o triâgulo equilátero ΔA 0 OB 0 de lado 7 c. a) Sedo A 1 o poto édio do segeto AB 0 0, e B 1 o poto siétrico de A 1 e relação à reta deteriada por O e B 0, deterie o coprieto de OB 1. b) Repetido a costrução do ite a), toado agora coo poto de partida o triâgulo ΔA 1 OB 1, pode se obter o triâgulo ΔA OB tal que A é o poto édio do segeto AB 1 1, e B o poto siétrico de A e relação à reta deteriada por O e B 1. Repetido ais ua vez o procedieto, obté se o triâgulo ΔA OB. Assi, sucessivaete, pode se costruir ua sequêcia de triâgulos ΔA OB tais que, para todo 1, A é o poto édio de A 1 B 1, e B, o poto siétrico de A e relação à reta deteriada por O e B 1, cofore figura a seguir: Deotado por a, para 1, o coprieto do segeto A 1A, verifique que a 1, a, a, é ua progressão geoétrica. Deterie sua razão. c) Deterie, e fução de, ua expressão para o coprieto da liha poligoal A 0 A 1 A A, 1. O poto é siétrico ao poto e relação à reta r se o segeto é perpedicular à reta r e a iterseção de e r é o poto édio de.

5 Coo ΔA 0 OB 0 é equilátero, ABO ( t 0 0 ) 60 o. Coo B 1 é siétrico a A 1 por OB 0, OB 0 AB 1 1 e, portato, (OÂ 1 B 1 ) 60 o e OBA ( t 1 1 ) 60 o. Daí, o ΔA 1 OB 1 é equilátero e, aalogaete, o ΔA OB é equilátero para todo 0, d Z. a) OB 1 OA 1 e OA 1 é a altura do ΔA 0 OB 0, logo OB 1 7 c. b) OA é a altura do ΔA 1 OB 1, 1 e 1 A 1 A $ OA 1, daí OA OA 1 $ A A 1 5 A 1 A a 1 a $, $ 1, que fora ua progressão geoétri- ca de razão e prieiro tero A0 A 1 AB c. c) O coprieto da liha poligoal é a soa dos prieiros teros da G defiida o ite b dada por: S 7 $ f1 d 1 p S 7( ) f1 d p c.