( ) Novo Espaço Matemática A, 11.º ano Proposta de resolução [maio 2019] CADERNO 1 (É permitido o uso de calculadora gráfica.) 1.1.

Transcrição

1 CADERNO (É permitido o uso de calculadora gráfica 887 = 5+ u u = 09 wn = u 3n + = 09 n = 363 Resposta: Opção (C 363 O primeiro dos 5 termos consecutivos é w 8 e o último é w 3 Seja S a soma desses 5 termos w8 + w S = 5 S = 5 S = 550 Resposta: 550 P( cos θ, sinθ PO = O P = ( cos θ, sinθ PA = A P = ( cos θ, sinθ PO PA = ( cos θ, sinθ ( cos θ, sinθ PO PA = cosθ + cos θ + sin θ = cosθ Resposta: PO PA = cosθ O triângulo [OAP] é retângulo em P se e só se PO PA = 0 PO PA = 0 cosθ = 0 cosθ = 0, 5 Recorrendo à calculadora, tem-se θ,38 rad Resposta:,38 rad f = = 3 ( ( ( tanθ = f = Recorrendo à calculadora θ,33 rad 75,96 Resposta: Opção (A 75,96

2 ( 3 As coordenadas do ponto A são, f (, ou seja, ( O declive da reta r é Então, o declive da reta s é A equação da reta s é do tipo: y b 9 = + b Daqui resulta que b = Equação da reta s: Resposta: 9 y = + 9 y = +, = + e passa em (, A Tem-se f ( t + + = t + 0,8 3 0,5t,5t 8t 8 Área da superfície poluída na hora do alerta: 8 f ( 0 = = 35 0,8 Na hora do alerta registou-se uma área de 35m Hora de início da aspiração do óleo: A aspiração do óleo teve início no momento em que f atingiu o seu máimo Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, obtém-se: Ao fim de,77 h, a área poluída atingiu o máimo de, aproimadamente, m de área Como 0, , conclui-se que o início da aspiração ocorreu após ter decorrido, aproimadamente, h 7 min após o alerta, ou seja, cerca das 9:7

3 Hora do fim da intervenção: É necessário resolver a equação f ( t = 0,05 35, ou seja, f ( t =,75 f ( t =,75 para t, 96 h Como 0, , conclui-se que o fim da intervenção ocorreu após terem decorrido, aproimadamente, h 30 min após o alerta, ou seja, cerca das 9:30 Resposta: Hora do alerta Relatório da ocorrência Área da superfície poluída no momento do alerta 35m Hora de início da aspiração do óleo Hora do fim da intervenção 08h 00min 00s 9h 7 min 9h 30min 3

4 CADERNO (Não é permitido o uso de calculadora 5 ( ( + y + z = = 0 z = 0 y = 9 y = 3 y = 3 Pontos de interseção da superfície esférica com o eio Oy: ( 0, 3, 0 e ( 0, 3, 0 A nova superfície esférica tem centro em ( 0, 0, 0 e raio 3, sendo, então, definida pela equação: Resposta: Opção (B + y + z = 9 + y + z = 9 5 O centro da superfície esférica ( + y + ( z = é (, 0, O vetor CA é normal ao plano α CA = A C =,, 0, 0, = 3,, ( ( ( C O plano α é definido por uma equação do tipo 3 + y z + d = 0, d R e passa em A(,, 0 Então, d = 0 Daqui resulta que d = 5 Equação do plano α : 3 + y z + 5 = 0 O ponto P tem coordenadas ( 0, 0, z e pertence a α 5 Então, z + 5 = 0 z = 5 Assim, tem-se: P 0, 0, AP 5 5 = P A = 0, 0, (,, 0 =,, Uma equação vetorial da reta AP é: 5 (, y, z = A + k AP, k R, ou seja, (, y, z = (,, 0 + k,,, k R 5 Resposta: (, y, z = (,, 0 + k,,, k R 3 lim = lim = lim = 6 f ( A reta definida pela equação y = é assíntota horizontal quando 6 A função f é contínua em = sse lim f ( lim f ( f ( + = =

5 f ( 0 0 ( + ( 3 ( ( 3 3 lim = lim = lim = lim = + lim = lim = + 3 f ( + + f ( ( = = = + 3 Como lim f ( lim f ( f ( + 63 ( [ [ = = fica provado que f é contínua em = f >, + > > 0 > f ( > [, + [, 5 3 Resposta:, 5 + = lim = = A reta = é assíntota vertical 7 lim f ( Assíntota oblíqua y = m + b ( + f m = lim = lim = lim = m = + + b = lim ( f ( m = lim = lim = lim = A reta y = é assíntota oblíqua O ponto de interseção das assíntotas = e y Resposta: P(, = é P(, 5

6 k + 3 ( 3 k + g f = g f = g = = 3 7 ( ( ( k + 3 g f = = k + 3 = k = 6 6 ( ( Resposta: Opção (D 8 8 ( g ( g 0 lim = g ( = = 0 + Resposta: Opção (C 0 ( + g g A função g no intervalo ], + [ é decrescente 3 < 5 g ( 3 > g ( 5 Resposta: Opção (D g ( 3 > g ( 5 9 Sejam + e números reais cuja diferença é P = + = + O seu produto é dado por ( ( P ( = + P ( = 0 + = 0 = ( P 0 + P + Resposta: O produto mínimo é 6