Fichas de recuperação

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1 Fichas de recuperação Ficha de recuperação Ficha de recuperação Ficha de recuperação 6 Ficha de recuperação 4 8 Ficha de recuperação 5 Soluções das Fichas de recuperação 5

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3 Ficha de recuperação NOME: N. O : TURMA: DATA: Fichas de recuperação Sejam a e b duas proposições. Em qual das opções seguintes está uma proposição equivalente a (a / b)? (A) a & b (B) b & a (C) a & b (D) b & a Qual das proposições seguintes é falsa? (A) 6! IR, ( > 0 < ) (B) 6! IR, > 0 6! IR, < (C) 7! IR : > / 7! IR : < (D) 7! IR : ( > / < ) Qual das proposições seguintes é verdadeira? (A) 6! IR, = = - (B) 6! IR, = = (C) (6! IR, = & = ) (D) (6! IR, = & = ) 4 Seja f uma função cujo gráfico é G f = {(-, -), (-, ), (0, ), (, 4)}. Seja g a função definida por g() = f( ). Qual é o valor de g(-)? (A) -5 (B) - (C) 7 (D) 0 5 Considere a função f: Z " Z definida por: f() = *, par, ímpar Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) f é injetiva e não sobrejetiva. (B) f não é injetiva e é sobrejetiva. (C) f não é injetiva nem sobrejetiva. (D) f é bijetiva. 6 Em qual das seguintes opções está uma fração equivalente a -? 4- (A) (B) - (C) - (D) - DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

4 Fichas de recuperação 7 Seja P() o polinómio definido por P() = a b - 6, com a, b! IR. Sabe-se que: o resto da divisão de P() por - é zero; P(-) = -8 Determine os valores de a e de b. 8 Seja P() o polinómio definido por P() = determine a multiplicidade da raiz de P(). 8. decomponha P() em fatores do.º grau. 8. Resolva a inequação P() < 0. 9 Seja P() o polinómio definido por P() = = determine os zeros de P(). 9. Resolva a condição ( - )(P) < 0. 0 Sejam f e g duas funções de Z em Z. Sabe-se que: f é definida por f() =. Determine a epressão de g sabendo que g % f() = Id Z Seja f a função de IN em B, B IN. Sabe-se que: f é definida por f() = 6 0 ; B = Dl f. Mostre que eiste a função inversa de f.. defina f -. Seja f a função real de variável real definida por f() =. determine D f.. Mostre que f % f() =.. defina f Seja f a função real de variável real definida por f() =. Determine o número de soluções inteiras de f() >. 4 Determine o domínio da função real de variável real definida por: f() = ( )( -) Considere uma função f real de variável real definida por f() =. Determine o conjunto-solução das seguintes inequações: a) f() G b) f() H - DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

5 Ficha de recuperação NOME: N. O : TURMA: DATA: Fichas de recuperação Sejam duas funções f e h, em que: o gráfico f é G f = {(0, ), (, ), (, 5), (4, )} ; o gráfico h está representado no referencial da figura. Determine: a) g % f() b) f % g(5) c) o domínio de f % g. d) o domínio de g % f. e) o contradomínio de f % g. f) o contradomínio de g % f. y O h 5 Sejam f e g duas funções reais de variáveis reais. Sabe-se que: f() = g() = - Defina as seguintes funções: a) (f g)() b) (f - g)() c) (fg)() d) e) d f g g d f n() n() Considere uma função a real de variável real. Sabe-se que: D a = [-, ] Dl a = [-, 6] Indique o domínio e o contradomínio das seguintes funções: a) b() = a() b) c() = a() e) f() = a() f) g() = - ac m - c) d() = -a() d) e() = ac m g) h() = ac- m 4 4 Na figura seguinte, está representado o gráfico da função f real de variável real. Sabe-se que: f é definida por f() = ; - ; ; D f = ]-4, 6] y 4. Indique o contradomínio de f. f 4. Indique os intervalos de monotonia de f. 4. Indique o conjunto dos majorantes e o conjunto dos minorantes de f. O 4.4 Justifique que f é limitada e indique, caso eistam, os etremos absolutos de f. 4.5 Represente graficamente a função g definida por g() = -f(-). 4.6 Resolva a inequação f() G ; ;. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

6 Fichas de recuperação 5 Indique uma condição que defina a região tracejada representada no referencial o.n. Oy da figura. 6 Indique as coordenadas do ponto médio de um segmento [AB], em que A(, ) e B(-, -6). y - O - 7 Considere, num referencial o.n. Oy da figura, o ponto A(-, 0) e a reta r paralela ao eio O. r y B Sabendo que AB =, determine a equação que define a reta r. 8 Considere num referencial o.n. Oyz o ponto A(-, k -, -k ), com k! IR. A O Se A! 7. octante, determine os possíveis valores de k. 9 No referencial o.n. Oy da figura está representada uma elipse definida por: y = 5 6 y B O C A Sabe-se que: A é um dos vértices e pertence ao eio maior; B é um dos vértices e pertence ao eio menor; C é um dos focos da elipse. Qual é, na unidade quadrada considerada, a medida da área do triângulo [ABC]? 0 Qual é, na unidade de comprimento considerada, a máima distância entre o ponto A(-4, 5) e um ponto P da circunferência (y - ) =? Na figura está representado, num referencial o.n. Oyz, o prisma quadrangular regular [OABCDEFG]. Sabe-se que: os pontos C, A e D pertencem aos eios coordenados O, Oy e Oz, respetivamente; o ponto F tem coordenadas (-, -6, ).. escreva a equação reduzida da superfície esférica de centro no ponto F e que é tangente ao plano Oy.. Seja M o ponto médio da aresta [ED]. E A F B z G D C O y Mostre que o plano mediador de [FM] é definido por 4 6y = 0. Considere, num referencial o.n. Oy, os vetores uv(-, ) e vv(, -).. determine as coordenadas do vetor wv, tal que uv = wv - v.. Seja A(4a, 5), P(-, ) e tv = uv - v, com a! IR. determine o valor de a, de modo que os vetores AP e tv sejam colineares. Considere, num referencial o.n. Oy : a circunferência T definida por ( ) (y - ) = 4 ; a reta r de equação y = 5.. Mostre que A(-4, ) e B(-, ) são os pontos de interseção da reta r com a circunferência T.. determine a equação reduzida da mediatriz de [AB].. Represente a região do plano definida por ( ) (y - ) G 4 / y G 5 / < - 4 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

7 4 Na figura estão representados, em referencial o.n. Oy : a circunferência de centro C definida por y - 8-4y 40 = 0 e que contém o ponto A(8, 0). [CB] é um raio da circunferência paralelo a Oy. 4. escreva a equação reduzida da circunferência. y C A Fichas de recuperação 4. Indique uma condição que defina a região sombreada da figura incluindo as fronteiras. 4. escreva uma equação vetorial da reta BC. O B 4.4 escreva um sistema de equações paramétricas da reta AC. 5 5 Determine / ( ai ) considerando que: a) a i = - i i = b) a i = - i - (- ) i c) a i = i 6 Num edifício foi selecionada uma amostra de 0 famílias para responderem à questão: «Quantos televisores possuem?» Os resultados do inquérito foram resumidos na seguinte tabela: u 4 5 f r 0,0 0,5 0,5 0,5 0,05 6. Quantas famílias possuem televisores? 6. determine: a) a percentagem de famílias desta amostra com mais de televisores. b) o número médio de televisores por família. c) a soma dos quadrados dos desvios em relação à média da amostra. d) a variância e o desvio-padrão da amostra. e) o percentil de ordem 0. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 5

8 Fichas de recuperação Ficha de recuperação NOME: N. O : TURMA: DATA: Na figura, está representado o triângulo equilátero [ABC] e o semicírculo DCE de centro O. Sabe-se que: [AB] pertence ao diâmetro [DE] ; r o semicírculo tem área igual a. Determine o valor eato da área do triângulo [ABC]. C D A O B E Na figura, está representado o triângulo [ABC]. C Sabe-se que, na unidade considerada: AB = 6, BC = 5 e AC = determine a amplitude do ângulo ACB, em graus, arredondada à décima.. determine o valor eato da área do triângulo [ABC]. A 6 B Num triângulo [ABC], sabe-se que: AB = 0 cm e AC = 6 cm ACB t = 76,0 Determine o perímetro do triângulo [ABC], em centímetros, arredondado à décima. 4 Considere o ângulo orientado a, representado na figura, com amplitude igual a 4. a O A Indique a amplitude do ângulo generalizado: a) (a, ) b) (a, ) c) (-a, -4) B 5 Indique o valor de at e de k para o ângulo generalizado (a, k) de amplitude: a) 500 b) c) 07 6 Simplifique as epressões: 4 4 sin - cos a) sin - cos b) cos cos - sin cos 7 Na figura, está representado o pentágono regular [EFGHI] inscrito no retângulo [ABCD]. Sabe-se que: AD = Determine, arredondando à décima: a) o perímetro do pentágono [EFGHI]. b) a área do pentágono [EFGHI]. B F C E G A I H D 8 Seja f a função definida por f() = sinc m determine o contradomínio de f. 8. determine a epressão geral dos zeros de f. 6 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

9 8. calcule o período fundamental de f. 8.4 Resolva a equação f() = em! [-5r, 5r]. i 8.5 Sabendo que cosd n = e i! [0, r], determine f(i). r r 9 Determine o valor eato de arcsine cosc mo arccose sinc mo. 6 6 Fichas de recuperação 0 No referencial Oy da figura está representado o círculo trigonométrico de centro O e o polígono [ABCD]. y Sabe-se que: os pontos A e D pertencem ao eio O ; os pontos B e E pertencem à circunferência; B, C e E têm a mesma ordenada; E e D têm a mesma abcissa; OA =! E0, r E é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB. E D C O a B A 0. Mostre que a área, A, do polígono [ABCD], em função de, é dada por A() = ( cos ) sin. r 0. determine Ac m e interprete geometricamente o resultado. 0. use as capacidades gráficas da sua calculadora para determinar a amplitude do ângulo AOB que conduz à área máima do polígono [ABCD] e indique o valor dessa área arredondada à décima. 0.4 Mostre que o perímetro, P, do polígono [ABCD], em função de, é dado por: P() = cos 5- cos 0.5 determine o perímetro do polígono quando este tem a área máima. Na figura está representado o losango [ABCD]. B C Sabe-se que: o losango tem perímetro 8 ; DAB t = 45 Qual é o valor do produto escalar AB $ AD? A 45º D Num triângulo [ABC], sabe-se que: AB = AC = 5 AB $ AC = -7,5 Determine, em graus, a amplitude do ângulo BAC. Considere, num referencial o.n. Oy : a circunferência T, de centro C, definida por ( - ) (y - ) = 4 ; o ponto P que pertence à circunferência T que tem ordenada e abcissa menor do que.. determine uma equação vetorial da reta CP.. escreva a equação reduzida da reta tangente a T que passa em P. 4 Num referencial o.n. Oyz, o plano a é definido por y - z = 6. Determine: a) as coordenadas do ponto de interseção do plano a com o eio Oz. b) uma condição que defina a reta perpendicular ao plano a e que passa em A(-,, ). c) uma equação cartesiana de um plano paralelo ao plano a e que passa no ponto de coordenadas (,, -). DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 7

10 Fichas de recuperação Ficha de recuperação 4 NOME: N. O : TURMA: DATA: - n Estude, quanto à monotonia, a sucessão de termo geral u n =. n 4 Sobre uma dada sucessão (u n ), sabe-se que u n - u n = ( n - )( n -. ). estude a sucessão (u n ) quanto à monotonia.. Mostre que (u n ) pode ser definido por u n = n -.. Indique o valor lógico da afirmação: u é um dos majorantes da sucessão..4 Mostre que a sucessão é limitada. Prove, por indução matemática, que são verdadeiras as seguintes propriedades: a) 6n! IN, 9 n - é divisível por 8. n - r b) 6n! IN, r r r n =, com r! IR\{}. - r 4 Sobre uma progressão aritmética (a n ), sabe-se que: a = -4 a = - 4. determine: a) o termo geral de (a n ). b) o termo com o valor classifique (a n ) quanto à monotonia. 5 Sobre uma progressão aritmética (a n ), sabe-se que: a = 5 a 0 = - Determine: a) o termo geral de (a n ). b) a soma dos primeiros 0 termos da progressão. 6 Sobre três termos consecutivos de uma progressão aritmética monótona crescente (a n ), sabe-se que: a sua soma é igual a 8 ; o seu produto é igual a 0. Determine os três termos da progressão. 7 Sobre uma progressão aritmética (a n ), sabe-se que: a 6 = a 5 a = a 7 0 Determine: a) o termo geral de (a n ). b) S 0 - S 0 8 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

11 8 Sobre uma progressão aritmética (a n ), sabe-se que: 7 S 0 = S4 a 5 = 4 8. determine o termo geral de (a n ). 8. a soma dos primeiros n termos é igual a 4. Determine n. Fichas de recuperação 9 Sobre uma progressão geométrica (a n ), sabe-se que: a = 64 a 4 = 8 9. determine: a) o termo geral de (a n ). b) o termo com o valor 0, classifique (a n ) quanto à monotonia. 0 Sobre uma progressão geométrica (a n ), de termos positivos, sabe-se que: a 4 = 9 a 8 = 9 0. determine o termo geral de (a n ). 0. determine a soma dos primeiros 0 termos de (a n ). apresente o resultado na forma de fração irredutível. Sobre uma progressão geométrica (a n ), de termos positivos, sabe-se que: a = a - a a = 9. determine o termo geral de (a n ). S5. determine. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. S 0 Uma loja vai pôr à venda, durante várias semanas, um mesmo artigo por um preço 0 % inferior ao da semana anterior. Na primeira semana, o preço de venda do produto é Qual é o preço de venda do produto na terceira semana?. ao fim de quantas semanas o preço de venda do produto passa a ser inferior a 50? Sobre uma progressão geométrica (a n ), de termos positivos, sabe-se que: a = a = - a = Determine: a) o valor de. b) o termo geral de (a n ). 4 Considere a sucessão (u n ) de termo geral u n = Mostre que (u n ) é convergente. n n. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 9

12 Fichas de recuperação 5 Determine os seguintes limites: n a) lim n - 4n b) lim n n - 6-5n c) lim d - n 5n n 5n - d) lim n 5n - e) lim n f) lim _ n - ni 4n - g) lim 4 n 0 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

13 Ficha de recuperação 5 NOME: N. O : TURMA: DATA: Fichas de recuperação Considere a função f de domínio IR\{} definida por f() = -. Averigúe se eiste lim f(). " Seja a função f real de variável real, definida por: Determine: a) limf() " 7 b) k, de modo que eista lim f(). " 4 c) lim f() "-5 - se 4 f() = ), com k! IR k - se G 4 Sejam f e g funções reais de variável real. Sabe-se que: f() = - g() = - Determine, caso eistam, os seguintes limites: f ( ) a) lim " 0 g ( ) f ( ) b) lim " g ( ) g ( ) c) lim f ( ) " d) lim " e) lim " f) lim " 4 Considere as funções f e g definidas, respetivamente, por: Determine, caso eistam, os seguintes limites: a) lim (f % g)() " b) lim (f % g)() " 4 c) lim (g % f)() " 0 5 Determine os seguintes limites: a) lim " b) lim " f ( ) ( ) g ( ) f ( ) ( - ) g ( ) f ( ) g - f() = - e g() = 4 - c) lim " d) lim " 6 Considere a função f, real de variável real, definida por: 6. prove que lim f() eiste e indique o seu valor. " se f() = ) - se DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

14 Fichas de recuperação 6. Considere agora um número real k e a função g de domínio IR definida por: f( ) se! g() = ) k - se = Indique, justificando, o valor de k para o qual eiste lim g(). " 7 Determine os seguintes limites: - - a) lim " b) lim - - " - 8 Considere a função f real de variável real de domínio IR, definida por: 8. Determine: a) lim f() " k - - k se -G 0 f() = *, k! IR 4 - se H 0 6 b) o valor de k, de modo que eista lim f() e indique esse limite. " 0 9 Considere a função f real de variável real de domínio IR, definida por: 9. Determine: a) lim f() " b) lim f() "- 9. Estude f quanto à continuidade. f() = * - 4 se 0 - se 0 0 Considere a função f, real de variável real, de domínio IR, definida por: k cos se G 0 - f() = *, k! IR se Determine k, de modo que f seja contínua no seu domínio. Considere a função f, real de variável real, de domínio IR, definida por:. Indique o domínio de f.. Estude a continuidade de f. f() = Determine, caso eistam, as equações das assíntotas verticais ao gráfico de f..4 Determine, caso eistam, as equações das assíntotas não verticais ao gráfico de f..5 Seja g a função definida por g() = ( )f(). Estude g quanto à eistência de assíntotas não verticais ao seu gráfico. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

15 Considere a função f real de variável real de domínio IR, definida por: - se 4 - f() = * se = - se -. Mostre que a reta de equação = é a única assíntota vertical ao gráfico de f.. estude f quanto à eistência de assíntotas não verticais ao seu gráfico.. Determine os zeros e estude o sinal de f. Fichas de recuperação Calcule a taa média de variação da função real de variável real definida por f() = -, no intervalo: a) [-, ] b) [0, 5] c) [-4, 0] 4 Seja a um número real e considere f a função real de variável real, definida por: f() = a - 4 Determine a, de modo que a taa média de variação de f no intervalo [0, ] seja igual a. 5 Determine, usando a definição de derivada, a derivada de f() = - 4 em =. 6 Um ponto P move-se numa reta numérica de tal forma que, em cada instante t, em segundos, a distância d, em metros, à origem O é dada pela epressão: Determine: d(t) = 4t t - a) a velocidade média atingida pelo ponto P nos primeiros segundos. b) a velocidade instantânea no instante t =. 7 Considere a função f real de variável real, definida por f() = 7 -. Determine: a) fl() b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. c) a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto de abcissa. d) a abcissa do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares. 8 Determine, caso eistam, os zeros de fl, derivada de f, definida por: a) f() = 4 - b) f() = c) f() = - - d) f() = ( - ) c - m 9 Considere a função f, real de variável real, definida por f() = - -. A partir do estudo do sinal da derivada, indique os intervalos de monotonia e, caso eistam, os etremos relativos e absolutos de f. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

16 Fichas de recuperação 0 Considere os pontos A(, ), B(, 6) e C(5, ) e a reta r de equação y =. 0. determine: a) o desvio vertical de cada um dos pontos em relação à reta r. b) a soma dos desvios. 0. Mostre que o valor médio das abcissas dos três pontos é e, tendo por base que y = a b, sendo a e b, respetivamente, o declive e a ordenada na origem da reta r, deduza o valor da média das ordenadas dos três pontos. Numa amostra bivariada = 4 e y = 5 SS = 6 e SS y = 0 (,) y, sabe-se que: o declive da reta de mínimos quadrados é igual a determine: a) a equação reduzida da reta de mínimos quadrados. b) o coeficiente de correlação linear.. conclua sobre a associação linear entre as duas variáveis. 4 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

17 Soluções das Fichas de recuperação FICHA DE RECUPERAÇÃO (A) Fichas de recuperação (B) (C) 4 (D) 5 (B) 6 (A) 7 a = - e b = Multiplicidade. 8. P() = ( - ) ( ) 8.! ]-,[\{-} 9 9. zeros: -, -,, 9.! ]-, -[, ], [, ], [ 0 g() = -. para f ter inversa, tem de ser injetiva. 6,! IN, f( ) = f( ) & 6 0 = 6 0 & 6 = 6 ( - ) 6( - ) = 0 ( - )( ) 6( - ) = 0 ( - )( 6) = 0 como 6,! IN, 6! 0, então, ( - )( 6) = 0 - = 0 =, pelo que f é injetiva. como B = D'f, então, f é sobrejetiva, conclui-se por isso que f é bijetiva, logo, tem inversa. (Em opção pode estudar a posição do vértice da parábola que ocorre para = - e, como - " IN, concluir que f é injetiva.). f - : B " IN, definida por f - (y) = - y -.. Df = IR\ ' 6 -. f % f() = f(f()) = = = = y. f - : IR\ ' " IR, definida por f - (y) =. 6y - Há soluções inteiras. 4 D f = ], ] 5 a)! [-, ] b)! [-, ] DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 5

18 Fichas de recuperação FICHA DE RECUPERAÇÃO a) b) c) D f % g = {,,5} d) D g % f = {0,, } e) D' f % g = {, 5} f) D' g % f = {, } a) (f g): [-, ]! IR definida por: (f g)() = - b) (f - g): [-, ]! IR definida por: (f - g)() = - - c) (fg): [-, ]! IR definida por: (fg)() = ( ) - d) d f g n: [-, ]! IR definida por: d f g n() = - g g e) d n: [-, ]! IR definida por: d n() = - f f a) D b = [-, ], D' b = [-4, ] b) D c = [-, ], D' c = [-, ] c) D d = [-, ], D' d = [-4, 4] d) D e = [-6, 4], D' e = [-, ] e) D f = ;-, E, D' f = [-, 6] f) D g = [-9, 6], D' g = [-, 6] g) D h = [-4, 6], D' h = [-4, ] 4 4. D' f = [, 7[ 4. f é estritamente crescente em [, 6] e estritamente decrescente em ]-4, ]. 4. ]-, ] é o conjunto dos minorantes e [7, [, o conjunto dos majorantes de f. 4.4 f é limitada por ser majorada e minorada. é o mínimo absoluto g - O ! ]-4, -], [0, 6] 5 - < < / - G y G 0 6 (-, -) 7 y = y 4 8 < k < 6 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

19 ( ) (y 6) (z - ) = 4. M(0, -, ), então, temos (y ) (z - ) = ( ) (y 6) (z - ) y 6y 9 = 4 4 y y 6-4 6y - y = y - = 0 4 6y = 0 c.q.d. Fichas de recuperação 5. c-, m. a = -. ( ) (y - ) = 4 / y = 5 e vem ( ) ( 5 - ) = 4 ( ) ( 4) = = 4 6 = = 0 aplicando a fórmula resolvente, obtém-se = -4 0 = -, então, quando = -4, temos y = -4 5 =, e obtemos o ponto de coordenadas (-4, ). e, quando = -, temos y = - 5 =, e obtemos o ponto de coordenadas (-, ) c.q.d.. y = - -. r A T B C ( - 4) (y - 7) = 5 y O 4. ( - 4) (y - 7) G 5 / y G 4 4 / H 4 4. (, y) = (4, 7) k(0, ), k! IR 4.4 = 4 4k ), k! IR y = 7 k 5 a) 5 b) c) a) 0 % b) =,9 televisores c) SS =,8 d) S =,5 e S =,07. e) P 0 =,5 televisores DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 7

20 Fichas de recuperação FICHA DE RECUPERAÇÃO u.a.. 7,6. u.a. 5,5 cm 4 a) 60 b) 96 c) a) (40, ) b) (-00, -0) c) (7, 5) 6 a) b) cos 7 a), u.c. b) 0,7 u.a D'f = [-, ] 9 r 8. C. S. = ' : = r r 4kr 0 = r- 4kr, k! Z 8. 4r 8.4 C. S. = {-r, r, 5r} cos cos 0 0. Trata-se de um trapézio dado, pois [BC]//[AD]. A() = sin = = ( cos ) sin c.q.d. r # 0. Quando =, o polígono vai ser o triângulo retângulo [AOB] cuja área é igual a =. 0. y, A O r 0.4 como AB = ( - cos) ( sin ) = 4- cos = 5 - cos, BC = cos, CD = e 0.5 P r c m = 6 A D = cos vem P() = cos 5 - cos c.q.d. 8 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

21 0. (, y) = (, ) k(-, ), k! IR. y = 6-4 a) (0, 0, -) b) (, y, z) = (-,, ) k(,, -), k! IR c) y - z - 0 = 0 Fichas de recuperação FICHA DE RECUPERAÇÃO 4 u n - u n = - n - n -n- n - - n- n n - 6n - = = n n ( n )( n ) -4 = < 0, então, como 6n! IN, u ( n )( n ) n - u n < 0, conclui-se que a sucessão u n é monótona decrescente.. para n > temos u n - u n > 0, a sucessão é decrescente e, para n =, u n - u n < 0, a sucessão é crescente, logo, (u n ) não é uma sucessão monótona.. a b an a bn b n( a b) ( a b) n - n - = = ( n- )( n- ) ( n- )( n- ) temos assim que a b = 0 / a b = -4 a = -b / b = -4 b = - / a = 4 u n - u n = ( n - )( n - = ) n- - n- e vem u n =. Como 6n! IN, u n G u, então, u = é um dos majorantes de (u n ). n -..4 Temos que u = -, u = e, para n H, a sucessão é decrescente de termos positivos, logo, para n H, temos 0 < u n G. conclui-se que a sucessão é limitada, pois 6n! IN, - G u n G. a) para n =, tem-se 9 - = 8, que é divisível por 8, logo, é verdade. Tomemos um certo n! IN hipótese: 9 n - é divisível por 8. Tese: 9 n - é divisível por 8. demonstração: como por hipótese, 9 n - é divisível por 8, então, 9 n - = 8t 9n = 8t, com t! IN 9 n - = 9 # 9 n - = 9 # (8t ) - = 9 # 8t 9 - = 9 # 8t 8 = 8(9t ) como t! IN, então, 9t = k! IN e temos 9 n - = 8k, que é divisível por 8. portanto, pelo princípio de indução, 6n! IN, 9 n - é divisível por 8 é verdadeira. n - r b) 6n! IN, r r r n =, com r! IN\{}. - r - r ( - r)( r) para n =, tem-se = = r que é verdade. - r - r Tomemos um certo n! IN n - r hipótese: r r r n = - r r Tese: r r r n r n = - r n - DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana 9

22 Fichas de recuperação demonstração: n - r como por hipótese, r r r n =, então, temos: - r n - r r n r n r n r n r r r n r n = r - r n = = - r - r n - r portanto, pelo princípio de indução, 6n! IN, r r r n =, é verdadeira. - r 4 4. a) a n = n - 7 b) n = 6 4. Como r = > 0, então, a progressão é monótona crescente. 5 a) a n = 7-4n b) S 0 = Os termos são, 6 e 0. 7 a) a n = 4n b) S 0 - S 0 = a n = 0,4n 8. n = a) a n = 64c m n - b) n = 9 9. A progressão é monótona decrescente a n = 4c m n S 0 = 968. a n = 6c m n -. S S = 056. a = 405. n = a) = - n b) a n = n n 4n 4n n - 4n - 6n 4 u n - u n = - = = n n ( n )( n ) ( n )( n > 0, ) n logo, (u n ) é monótona crescente. Como 6n! IN, 0 < n < n, então, n <, então, (u n ) é majorada. Assim, como (u n ) é crescente e majorada, então, é convergente. 5 a) b) 4-0 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

23 c) 9 0 d) e) 0 f) 0 g) Fichas de recuperação FICHA DE RECUPERAÇÃO 5 lim f() = lim " - " - - = - = - e lim f() = lim 0 " " - = 0 = Como lim f()! lim f(), não eiste lim f(). " - " " a) 0 b) k = 9 c) k 0 a) - b) 4 a) - c) Não eiste. d) e) 0 f) 4 - b) Não eiste lim (f % g)(). " 4 45 c) 6 5 a) - b) -4 c) 0 d) lim f() = lim ( - ) = 8-4 = 4 e lim f() = lim (7-0) = 4-0 = 4 " " " - " - como lim f() = lim f() = 4 e D " " - f = IR\{}, então, lim f() = 4 " - 6. Dado que D g = IR, então, lim g() = 4, pelo que k - = 4 k = 6. " 7 a) b) 4-8 a) 4 b) k = - e lim f() = -. " 0 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

24 Fichas de recuperação 9 9. a) - b) - 9. Na restrição a ]-, 0[, f é contínua, pois é definida por uma função polinomial, e, na restrição ]0, [, f é contínua, pois é definida por uma função racional, logo, f é contínua em todo o seu domínio. 0 k = 7. D f = IR\{-, }. f é contínua em todo o seu domínio, dado que é definida em todos os intervalos do seu domínio por uma função racional.. eiste uma assíntota vertical ao gráfico de f de equação = -..4 eiste uma assíntota horizontal ao gráfico de f de equação y =. ( )( - ) g() = ( )f() = = Temos que lim g() = e lim g() = -, pelo que não eistem assíntotas horizontais " ao gráfico de g. Temos, então, que: m = lim g ( ) " "- = b = lim (g() - ) = lim e " - " = lim e o = " - - Temos, então, que: m = lim g ( ) = "- b = lim (g() - ) = ( - 0-4) lim e "- "- - - o lim e o = 5 " o = lim e o == lim e o = 5 "- - - "- - - então, eiste uma assíntota oblíqua ao gráfico de g de equação y = 5.. as restrições de f aos intervalos ]-, [ e ], [ são funções contínuas por serem racionais. Assim, para procurar assíntotas verticais, apenas faz sentido calcular lim f() = lim " - " - = = e lim f() = lim " " " = - 0 = conclui-se, assim, que a reta de equação = é a única assíntota vertical ao gráfico de f.. para " -, temos lim f() = lim - = -. "- " conclui-se que a reta de equação y = - é assíntota horizontal ao gráfico de f em -. para ", temos lim f() = lim - =. " " - conclui-se que não eiste assíntota horizontal ao gráfico de f em. m = lim f ( ) - " = lim = " - b = lim (g() - ) = lim e " - o = lim = lim = " - " - " - conclui-se que a reta de equação y = é assíntota oblíqua ao gráfico de f em. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

25 -. em ]-, [, temos f() = 0 = 0 = /! ]-, [! {} em ], [, temos f() = 0 = 0 ( = - 0 = ) /! ], [! { } - f tem apenas um zero em =. Fichas de recuperação f() - 0 assim, f() < 0! ]-, [ e f() > 0! ], [. a) -4 b) c) -7 4 a = f ( h) -f ( ) 5 f'() = lim h " 0 h 6 a) m/s b) 5 m/s 7 a) f'() = 7-4 b) y = 6 c) y = - d) = 8 a) = b) Não eiste. c)! { -, } d) = - 4( h) h-h - 4 = lim = lim h " 0 h h " 0 h h( - 8 -h) = lim = lim(-8 - h) = -8 h " 0 h h " 0 = 9 f'() = - 6 com D f' = IR. Como f'() = 0 ( - ) = 0 = 0 0 =. - 0 f'() 0-0 f má. 4 min. DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana

26 Fichas de recuperação f é crescente em ]-, 0] e em [, [ e decrescente em [0, ], tem um máimo relativo em = 0 com o valor - e um mínimo relativo em = 0 com o valor a) e A = 0, e B - e e C = 0. = b) e A e B e C = 0 / i = i n = 5 = e vem y = () = a) y = - 8 b) r. -0,456. a associação linear entre as variáveis é negativa fraca, pois o coeficiente de correlação é negativo e ;r; está suficientemente afastado de. 4 DIMENSÕES Matemática A. o ano Material fotocopiável Santillana