Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

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1 Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva = 0 e = y = nos pontos onde Vamos determinar a reta tangente à curva y = nos pontos de abscissas = 0 e = (i) = 0 : Considere a reta secante passando pelos pontos (0, 0) e ( h, h ) com h suficientemente pequeno A h 0 equação dessa reta secante é dada por y 0 = ( 0) Quando h se aproima de 0, o ponto ( h, h ) se h 0 aproima de (0,0) e a reta secante de equação y = h tende à reta de equação y = 0 Dessa forma, temos que a reta de equação y = 0 é a reta tangente à curva y = no ponto (0, 0) (ii) = : Considere a reta secante passando por P (, ) e Q( + h,( + h) ) = Q( + h, + h h + h ), com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por ( h h h ) + + ( ) y ( ) = ( ( )) = ( h + h )( + ) + h ( ) Quando h tende a 0, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação y + = ( h + h )( + ) se aproima da reta de equação y + = ( + ) Assim, a reta de equação y = + é a reta tangente à curva y = no ponto (, ) Eercício Encontre a equação da reta tangente à curva y = f ( ) no ponto P, sendo a função f dada por: a) f ( ) = ; P =, a) Considere a reta secante passando por b) f ( ) = + + ; P = (, ) + h P, e Q + h, = Q(, ), + h + h com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por 4h + h + h 4 y = ( ) = ( ) = ( ) + h h + h Quando h tende a 0, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação y = 4 ( ) se aproima + h da reta de equação y = 4( ) Assim, a reta de equação y = é a reta tangente à curva y = no ponto P =, b) Considere a reta secante passando por P (, ) e Q( + h,( + h) + ( + h) + ) = Q( + h,( h + h ) + h + ) = Q( + h,h h + ) com h suficientemente pequeno A equação da reta secante por P e Q é dada por

2 ( h h ) + () y = ( ( )) = (h )( + ) + h ( ) Quando h tende a 0, o ponto Q se aproima de P, e a reta secante de equação y = (h )( + ) se aproima da reta de equação y = ( + ) Assim, a reta de equação y = é a reta tangente à curva y = + + no ponto P (, ) Eercício Se f ( ) / Temos por definição que com f =, encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de f ' f '( a) = lim a a a ( t b) t + b t b ( ) = = = lim t b t b t b '( a ) lim lim t b t b ( ) ( + ) ( t + b ) b = lim = = b = ( a ) = a t b ( t + bt + b ) b Dessa forma, Dom f ' = R {0} Fazendo a substituição = t e ( ) ( ) lim ( ) a = b ficamos t b ( t + b ) t b ( t + b ) = = ( t b ) t b ( t + bt + b ) t b t b, a Eercício 4 Se f ( ) =, encontre a derivada de f, usando a definição, e determine o domínio de f ' 5 Temos por definição que a 5 5 a ( 4 + )( 5 a ) ( 4 + a )( 5 ) f '( a ) = lim = lim = a a a a 5 5 a ( )( )( ) ( 0 a a ) ( 0 a + 5 a 4 ) 9( a lim ) lim 9 = 9 ( a )( 5 )( 5 a ) ( a )( 5 )( 5 a ) a ( 5 )( 5 a ) ( 5 a ) = lim = = a a a 5 Dessa forma, Dom f ' = R {5} Eercício 5 Use regras de derivação para calcular a derivada das seguintes funções: a) 6 5 f ( ) = ; b) g( ) = ; 5 c) h( t ) = ( t t + ) ( t ) ; d) 5 a) f '( ) = + 8 ; b) Escrevemos + r f ( r ) = r r g( ) = + ( ) + 7 = Assim, g '( ) = + = c) h '( t ) = (t ) ( t ) + ( t t + ) (5 t ) = t + 9t 4t + 5t d) ( r + ) r 6 r( r r ) (+ r )(r ) r r + f '( r ) = = = ( r r ) r ( r ) r ( r ) Eercício 6 Utilizando as regras de derivação, calcule y ', onde a) y = tg ; b) y = cotg ; c) y = sec ; d) y = cossec ; sen e) y = ; f) y = cos ; g) y = sen,

3 sen cos cos sen ( sen ) a) y = tg =, então, y ' = = = sec ; cos cos cos cos (sen )sen cos (cos ) b) y = cotg =, então, y ' = = = cossec ; sen sen sen ( sen ) sen c) y = sec =, então y ' = = = tg sec ; cos cos cos cos cos cos d) y = cossec =, então y ' = = = cotg cossec ; sen sen sen sen cos sen cos sen e) y ' = = ; ( ) f) y ' = cos + ( sen ) = cos sen ; g) y = sen sen,então, y ' = cos sen + sen cos = sen cos Eercício 7 Calcule a derivada das funções definidas a seguir: ( ) ( ) a) f = + b) f ( ) = cos ( ) c) h( ) = cos ( ) sen d) f ( ) = tg + tg e) h( ) = f) f ( ) = ( + 5 ) ( + sen ) g) f ( ) = ( )cos h) g( ) = tg(5 ) i) f ( ) = 0 cos ( ) j) f ( ) sen 7 cos (( ) 0 ) 5/ 6 /5 ( + 4) t = + l) g( ) = / 5 m) f ( ) = sen ( ) 4 ( + ) t 4t Em todas os cálculos das derivadas usaremos a regra da cadeia e as regras de derivação a) ( ) 4 f = ( + ) = ( + ), então f '( ) = ( + ) ( ) = ( + ) ; b) f '( ) = cos ( )( sen( ))( ) = 4 cos( )sen( ); c) h '( ) = sen ( ) (( )( )) = 4 ( )sen( ) ; d) Utilizando também o item a do eercício 6, sen cos sen sen (sen cos ) e) h '( ) = = ; 5 6 /5 5 9 (4 + 5 ) f) f '( ) = ( + 5 ) ( + 5 ) = 5 5 ( + 5 ) g) f '( ) = tg sec + sec ; 6 /5 f '( ) = ( + )cos + ( )( sen ) = ( + )cos ( )sen ; h) Utilizando também o item a do eercício 6, ; g '( ) = (0 )sec (5 ) ; ( + sen ) (+ cos )cos ( + sen ) (0 cos )( sen ) i) f '( ) = = 0 cos 9 9 0( + sen ) cos ( cos + cos + sen + sen ) = ; 0 cos j) f ( ( ))( )( ) = 40( + ) 9 ( sen( + ) 0 ) sen 6 cos (( + ) 0 ) ; '( ) = 7sen cos ( + ) sen( + ) 0( + ) = ( ) 0

4 5 / / 5 5/ /5 ( + 4) ( )( + ) ( + 4) ( + ) ( ) l) g '( ) = 5 6/5 ( + ) m) 0 9 ( + 4) ( + ) ( + 4) ( + ) = ( + ) ( + 4) ( + ) ( ) = ; 5 5( + ) 4 4 t ( t 4 t ) t(4t 4) 6t t f '( ) = cos cos 4 4 = 4 4 t 4 t ( t 4 t ) ( t 4 t ) t 4t Eercício 8 Encontre a derivada das funções f ( ) = arccos e g( ) = arctg ( + 4) ( + ) = = 6 5 ( + ) i) Derivada da função f ( ) = arccos Dada a função f ( ) = arccos, vamos encontrar sua derivada f '( ) A função = cos y é injetora em [0, π ] e, portanto, possui inversa f :[,] [0, π ] dada por f ( ) = arccos Assim, para qualquer (, ) temos d f ( ) = = d d cos y sen y dy Da Identidade Fundamental da Trigonometria, segue que temos que sen y 0 Logo, memorizar esse resultado: sen y = Assim, sen y = cos y = Como y [0, π ], f '( ) = = sen y, (,) Podemos d arccos = ; d ii) Derivada da função g( ) = arc tg Dada a função g( ) = arctg, vamos encontrar sua derivada g '( ) A π π π π função = tg y é injetora em, e, portanto, possui inversa g : (, + ), g( ) = arctg Assim, para qualquer R temos d g ( ) = = d d tg y sec y dy dada por Mas, sec y = + tg y = + Assim, g '( ) = =, R Podemos memorizar esse sec y + resultado: d arctg = d + iii) Derivada da função h( ) = arc cotg Dada a função h( ) = arc cotg, vamos encontrar sua derivada h '( ) A função cotg y = é injetora em ( 0,π ) e, portanto, possui inversa h : (, + ) ( 0, π ) dada por h( ) = arccotg Assim, para qualquer R temos d h ( ) = = = d d cotg y cossec y cossec y dy

5 Mas, cossec y = + cot g y = + Assim, h '( ) = =, R Podemos cossec y + d memorizar esse resultado: arc cotg = d + iv) Derivada da função p( ) = arcsec Dada a função p( ) = arcsec, vamos encontrar sua derivada π π p '( ) A função = sec y é injetora em [0, ) (, π ] e, portanto, possui inversa π π p : (, ] [, + ) [0, ) (, π ] dada por p( ) = arcsec Assim, para qualquer (, ) (, + ) temos d p ( ) = = d d sec y sec y tg y dy π π Mas, tg y = sec y Logo, tg y = ± Como para y [0, ) (, π ], temos que sec y > tg y > 0 e sec y < tg y < 0, temos p '( ) = =, sec y tg y (, ) (, + ) Podemos memorizar esse resultado: d arcsec = ; d v) Derivada da função q( ) = arccossec Dada a função q( ) = arccossec, vamos encontrar sua π π derivada q '( ) A função = cossec y é injetora em [,0) (0, ] e, portanto, possui inversa π π q : (, ] [, + ) [,0) (0, ] dada por q( ) = arccossec Assim, para qualquer (, ) (, + ) temos d q ( ) = = = d d cossec y cossec y cotg y cossec y cotg y dy π π Mas, cotg y = cossec y Logo, cotg y = ± Como para y [,0) (0, ], cossec y > cotg y > 0 e cossec y < cotg y < 0, temos q '( ) = =, cossec y cotg y (, ) (, + ) Podemos memorizar esse resultado: d arccossec = ; d Eercício 9 A função f ( ) = 9 é crescente para < Se g é a função inversa de f neste intervalo, encontre g '(0) As raízes da equação <, segue que f ( ) = 0 g(0) = Como ( g f )( ) = em (, g '(0) = g '( f ( )) = = f '( ) 8 9 = 0 são, 0 e Como por hipótese g é a função inversa de f para f '( ) = 9, f '( ) = 8 Por definição de inversa, e pela regra da cadeia, temos g '( f ( )) f '( ) =, ou seja,

6 Eercício 0 A função f ( ) = 9 é decrescente para < < Se h é a função inversa de f neste intervalo, encontre h '(0) Como por hipótese h é a função inversa de f em < <, a raiz da equação interessa nesse caso é = 0 Assim, f (0) = 0 e como 9 = 0 que f '( ) = 9, f '(0) = 9 Por definição de inversa, ( g f )( ) =,, e pela regra da cadeia g '( f ( )) f '( ) =, ou seja, g '(0) = g '( f (0)) = = = f '(0) 9 9 Eercício A função encontre g '(0) f ( ) = 9 é crescente para > Se g é a função inversa de f neste intervalo, Como por hipótese g é a função inversa de f em >, a raiz da equação 9 = 0 que interessa nesse caso é = Assim, f () = 0 e como f '( ) = 9, f '() = 8 Por definição de inversa, ( g f )( ) =,, + ) e pela regra da cadeia g '( f ( )) f '( ) =, ou seja, g '(0) = g '( f ()) = = f '() 8 Eercício Calcular dy d para as equações a seguir : a) 5 y 4 y + y = ; b) (5 + y ) y sen = 9 5 dy 4 dy dy 5 a) Derivando ambos os lados da equação em relação a, obtemos 0 y 0 y + = 6, ou seja, d d d dy 5 dy 6 ( 0 y 0 y + ) = 6 Portanto, = 5 4 d d 0 y 0 y +, quando y 0 y + 0 b) Derivando ambos os lados da equação em relação a, obtemos (5 ) (5 dy dy + y + y ) sen y cos 9 d d = Assim, 5(5 ) 6(5 ) dy dy + y + + y y sen y cos 9 d d = dy ( 6(5 + y ) y sen ) = 9 5(5 + y ) + y cos Portanto, d 6(5 + y ) y sen 0 dy 9 5(5 + y ) + y cos =, quando d 6(5 + y ) y sen Eercício Determine os máimos e mínimos absolutos das seguintes funções, nos intervalos indicados: a) f ( ) =, [, ] ; b) f ( ) =, [, ] ; c) f ( ) = +,, 4 a) Verifiquemos a eistência de etremos absolutos da função f ( ) = no intervalo [, ] Como a função f é polinomial, a função é contínua em R e, portanto, contínua em [, ] Logo, f admite máimo e mínimo absolutos em [, ] Devemos inicialmente encontrar os pontos críticos de f, f '( ) = 4 6 f '( ) = 0 ( ) = 0, ou seja, f '( ) = 0 = 0 ou =

7 Como 0, [, ], temos dois pontos críticos = 0 e = Como f ( ) =, f (0) = 0, f ( ) = = = 6 6 intervalo [, ], assume mínimo absoluto em e f () = 0, segue que, = e máimo absoluto em = f ( ) < f (0) = f () < f ( ) e, assim, f no b) Utilizando o item a, temos que o único ponto crítico de f no intervalo [, ] é = 0 Temos também que f () = Portanto, f () < f (0) < f ( ), e assim, f no intervalo [, ] assume mínimo absoluto em = e máimo absoluto em = 4 c) f ( ) = +,, Verifiquemos a eistência de etremos absolutos da função 4 f ( ) = + no intervalo, Como a função f é a soma de uma racional com uma polinomial e 0,, a função é contínua em, Logo, f admite máimo e mínimo absolutos Devemos inicialmente encontrar os pontos críticos de f, 4 4 f '( ) = + f '( ) = 0 = 0 = ou = Como,, o único ponto crítico de f em, é = Temos que 7 f = f () = Portanto, f () < f () < f e, assim, f no intervalo, e máimo absoluto em = ; f () = 4 e, assume mínimo absoluto em = π Eercício 4 Dada a função f ( ) = sen, calcule f '"( ) f '( ) = sen + cos f "( ) = cos + cos sen = cos sen Assim, f "'( ) = sen sen + cos = sen + cos Para π π π π π =, temos f "' = sen + cos = Eercício 5 Dadas as funções f a seguir, determine os máimos e mínimos relativos e absolutos de f, caso eistam, e determine quais os valores de onde eles ocorrem Utilize o teste da derivada primeira ou derivada segunda a) f ( ) = 9 ; b) 4 f ( ) = ( + 5) ; / / c) f ( ) = ( + ) ; d) f ( ) = a) Vamos encontrar os etremos locais da função f ( ) = 9 Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em R Como f '( ) = 9, tem-se que f '( ) = 0 = ou = Os pontos críticos de f determinam na reta real três intervalos: (, ), (, ) e (, + ) Como a função f ' é contínua em R, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos =, = 0 e = que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, ), (, ) e (, + ) Temos f '( ) = 4 9 = > 0 ; f '(0) = 0 9 = 9 < 0 e

8 f '() = 4 9 = > 0 Pelo teste da primeira derivada concluímos que em = f assume valor máimo local, dado por f ( ) = 6 e em = f assume valor mínimo local, dado por f ( ) = 6 b) Vamos encontrar os etremos locais da função 4 f ( ) = ( + 5) Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em R Como f '( ) = 4( + 5), tem-se que f '( ) = 0 = 5 O ponto crítico de f determina na reta real dois intervalos: (, 5) e ( 5, + ) Como a função f ' é contínua em R, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos = 6 e = 4 que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, 5) e ( 5, + ) Temos f '( 6) = 4( 6 + 5) = 4 ( ) = 4 < 0 e f '( 4) = 4( 4 + 5) = 4 = 4 > 0 Pelo teste da primeira derivada concluímos que em = 5 f assume valor mínimo local, dado por f ( 5) = 0 Como é único o ponto = 5 também é mínimo absoluto c) Vamos encontrar os etremos locais da função f ( ) = ( + ) Como f é uma função polinomial, f é contínua e derivável em R Como f '( ) = ( + ), tem-se que f '( ) = 0 = O ponto crítico de f determina na reta real dois intervalos: (, ) e (, + ) Como a função f ' é contínua em R, o sinal de f ' em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos = e = 0 que pertencem, respectivamente, aos intervalos (, ) e (, + ) Temos f '( ) = ( + ) = = > 0 e f '(0) = (0 + ) = = > 0 Como f ' é sempre positivo em ambos os intervalos, o teste da primeira derivada garante que f não possui pontos de máimos e mínimos relativos e nem absolutos d) Vamos encontrar os etremos locais da função / / f ( ) = Como lim c / / = c c, * c R, a função f é contínua em R Temos que f '( ) =, é contínua em R, e ( ) f '( ) = 0 = 0 =, assim os pontos críticos de f são = e = 0 Os pontos críticos 8 8 de f determinam na reta real três intervalos: (, 0), 0, 8 e, + Como a função ' 8 f é contínua nesses intervalos, o seu sinal em cada um destes intervalos não muda e, por isso, pode ser determinado avaliando f ' em um ponto qualquer de cada intervalo Escolhamos, por eemplo, os pontos =, = e = que 7 pertencem, respectivamente, aos intervalos (, 0), Como 0, 8 e, + 8 Temos f '( ) = ( ) ( ) = + = > 0, f ' = = 9 = > f '() = () () = < 0 f ' é sempre positivo em ambos nos dois primeiros intervalos, o teste da primeira derivada garante que = 0 não é ponto de máimo nem de mínimo relativos de f, mas pelo mesmo teste, temos que em = f 8 assume um máimo local Como a função f é contínua em R e admite um único etremo relativo, esse

9 etremo também é absoluto, isto é, f = 8 4 = é ponto de máimo relativo e absoluto de f e seu valor máimo é 8 Eercício 6 Dado o gráfico de uma função f definida em R y determine: a) Im f ; b) f (), f ( ), f ( ), f ( 4), f (4), f (0), f (8), f (5) e f (6) ; c) Os etremos relativos e absolutos, se eistirem; d) Intervalos onde f é monótona crescente e onde é monótona decrescente; e) Os pontos 0 tais que f '( 0 ) = 0 ; f) os pontos 0 tais que f '( 0 ) não eiste; g) os pontos de infleão do gráfico de f ; h) f '(7) a) Im f = [0, + ) ; b) Se a curva do gráfico da função f entre = e = for uma circunferência de centro (0, ) e raio, então neste trecho, f ( ) = 4 + e nesse caso, f () = +, caso não tenhamos certeza, podemos dizer apenas f () (, ), para os outros casos, teremos f ( ) =, f ( ) =, f ( 4) =,, f (4) =, f (0) =, f (8) = 0, f (5) não está definido e 8 f (6) = c)em = f assume mínimo relativo Em = f assume mínimo relativo Em = 0 f assume máimo relativo Em = f assume mínimo relativo Em = 8 f assume mínimo relativo e absoluto A função f não assume máimo absoluto d)monótona crescente em [,), [,0], [,5) e [8, + ) Monótona decrescente em (, ], [0,] e (5,8] e) 0 =, 0 = 0 e 0 = 4 f) 0 = 4, 0 =, 0 =, 0 = 5 e 0 = 8 g) os pontos ( 4,) e (4,)

10 h) É o coeficiente angular da reta que passa por (5,4) e (8,0), ou seja, f '(7) = = 8 Eercício 7 Demonstre os seguintes resultados: i n a) Seja n a) Se f ( ) =, n Z, então n f '( ) = n ; n b) Se g( ) = f( ) + f ( ) + + fn( ) = fi ( ), então i = i = n g '( ) = f '( ) + f '( ) + + f '( ) = f '( ), desde que as funções f i sejam deriváveis para * n Z, se n > 0 então já foi provado no teto que assim f ( ) = m Também já foi provado que b) Vamos demonstrar por indução em n n i n f '( ) = n Se n < 0 então m = n > 0 e m f '( ) = m Logo n f '( ) = n Já foi demonstrado que se g( ) = f( ) + f ( ) então g '( ) = f '( ) + f '( ) Logo é válido para n = Suponhamos que seja válido para n = k, ou seja, se g( ) = f( ) + f ( ) + + fk( ) então g( ) = f '( ) + f '( ) + + f '( ) k Assim se h( ) = f( ) + f ( ) + + fk( ) + fk+ ( ) temos h( ) = g( ) + fk+ ( ) Logo k + k k + h '( ) = g '( ) + f ' ( ) = f '( ) + f '( ) + + f '( ) + f ' ( ) Como queríamos Eercício 8 Demonstre as regras de números 07 a da tabela de derivadas dada no final deste teto d (07) Sabemos que sen = cos d d d Seja u = u( ) Pela regra da cadeia temos sen u( ) = [cos u( )] u( ) d d Analogamente demonstram-se as fórmulas (08), (09), (0), () e () Obs As derivadas das funções tg, cotg, sec e cossec foram obtidas no eercício 6 Eercício 9 Demonstre as regras de números a 8 da tabela de derivação dada no final deste teto d () Sabemos que arcsen y =, provado no eemplo dy y Seja u = u( ), pela regra da cadeia temos d d d d arcsen u( ) = arcsen u( ) u( ) = u( ) d du ( ) d Analogamente, provam-se as fórmulas (4), (5), (6), (7) e (8) [ u ] Eercício 0 Utilizando diferenciais, encontre um valor aproimado de 8,0 Considere a função f dada por definição, f ( ) = Vamos determinar dy quando = 8 e = 0,0 Temos, por dy = f '( ) = Se = 8 e = 0,0 temos dy = 0, 0 = 0, 0008 Assim, se 8

11 tomarmos dy em lugar de y, o erro cometido é de 0,0008 que pode, em muitos casos práticos, ser desprezado Em termos gerais, para cálculos aproimados, podemos fazer y dy, ou seja, f ( + ) f ( ) + f '( ) Daí, segue que 8,0 = 8 + 0,0008 =,0008 Eercício Calcule os seguintes limites: 4 a) lim cos + ; b) lim ; c) lim 5 + ; 9 sen d) lim ; e) lim sen sen Em todos os itens será aplicada a Regra de L Hospital No item (e) isto será feito duas vezes a) b) c) d) e) lim = lim = 6 lim cos sen = lim = lim = lim = lim = = sen cos cos = = lim lim lim = sen cos 4 cos sen cos sen 0 lim = lim = lim = lim = = 0 sen sen cos + sen cos sen + cos Eercício Esboce o gráfico de uma função f num intervalo I em cada caso: a) I = [0, 0] ; f contínua em I ; f assume máimo relativo em = 4 ; f '(4) não eiste; o gráfico de f tem concavidade para baio em (0, 4) b) I = [, ] ; f contínua em I ; f assume mínimo absoluto em = e em = ; f assume máimo relativo em = e em = 0 ; o ponto (, ) é ponto de infleão do gráfico de f ; o gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo aberto (, 0) Não eiste apenas uma solução, apresentaremos um eemplo particular em cada caso a)

12 y f (4) f (0) f (0) b) y f () f ( ) f ( ) = f () Eercício Esboce o gráfico das seguintes funções fazendo a análise necessária a) a) f ( ) = f ( ) = ; b) d) f ( ) = ; e) 4 4 f ( ) = + ; c) f ( ) = ; f ( ) = + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Como f é polinomial temos que Dom f =R e que f é contínua e diferenciável em R ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Se = 0 temos f (0) = 0 Logo o gráfico de f intercepta o eio Oy no ponto (0,0) f ( ) = 0 = 0 ( ) = 0 Logo o gráfico de f intercepta o eio O nos pontos (0,0), (,0) e (,0) ) Simetrias do gráfico de f

13 Temos f ( ) = ( ) ( ) = + = [ ] = f ( ) Logo f é uma função ímpar e seu gráfico apresenta uma simetria em relação à origem (0,0) 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos que f '( ) = Assim, f '( ) = 0 = = ou = Portanto, = ou = são os pontos críticos de f Os pontos críticos dividem a reta em intervalos, a saber, (, ), Como f '( ) é uma função quadrática, ela é contínua em R Assim, para = (, ), temos crescente em (, ] (, ) e f '( ) = ( ) = > 0, portanto, f '( ) > 0, Tomando = 0 (, ), temos f '(0) = (0) = < 0, portanto, f '( ) < 0, f é decrescente em [, ] Tomando = (, + ), temos é crescente em [, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f cresce em = (, ) e decresce em f '() = () = > 0, portanto, f '( ) > 0, (, ) + (, ) Logo f é (, ) Logo (, + ) Logo f (, ) a função f assume um valor máimo local em Como f decresce em (, ) e cresce em (, ) + a função f assume um valor mínimo local em = 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ) = 6 Portanto f "( ) = 0 = 0 Como f "( ) é uma função linear sabemos que: Em (,0) f " é negativa e, portanto o gráfico de f tem concavidade para baio sobre esse intervalo Em (0, + ) f " é positiva e, portanto o gráfico de f tem concavidade para cima sobre esse intervalo Portanto o ponto (0,0) é o único ponto de infleão do gráfico de f, pois temos aí reta tangente ao gráfico de f e o gráfico muda sua concavidade 7) Valores máimos e mínimos de f Temos Temos f ( ) = e portanto 9 f ( ) = e portanto 9 y = é o valor máimo relativo de f 9 y = é o valor mínimo relativo de f 9

14 8) Assíntotas verticais e horizontais de f A função f é polinomial e, portanto não possui assíntotas O esboço do gráfico está a seguir y b) 4 f ( ) = + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Como f é polinomial é contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio Dom f =R ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f (0) = 0 Logo o gráfico de f intercepta o eio Oy no ponto (0,0) 4 Temos f ( ) = 0 + = 0 ( + 4) = 0 = 0, pois gráfico de f intercepta o eio O apenas no ponto (0,0) para todo R Logo, o ) Simetrias do gráfico de f 4 4 Temos f ( ) = ( ) + ( ) = + = f ( ) Logo, a função f é uma função par e, portanto, seu gráfico tem simetria em relação ao eio Oy 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos f '( ) = + 4 Assim, f '( ) = 0 ( + ) = 0 = 0, pois Logo, = 0 é o único ponto crítico de f O ponto crítico divide a reta em intervalos, a saber, (,0) e (0, + ) Como f ' é uma polinomial, ela é contínua em R Assim, tomando = (, 0), temos Logo f é decrescente em (, 0] + 0 para todo R f '( ) = ( ) + 4( ) = 6 < 0, portanto, f '( ) < 0, (, 0)

15 Tomando = (0, + ), temos é crescente em [0, + ) f '() = () + 4() = 6 > 0, portanto, f '( ) > 0, ( 0, + ) Logo f 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f é decrescente em (, 0] e crescente em [0, + ), f assume um valor mínimo relativo em = 0 Como é único, é mínimo absoluto também 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ) = Logo f "( ) = = 0 Não eiste valor de que anule a segunda derivada, esta função é sempre positiva em R Assim o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e não eiste ponto de infleão 7) Valores máimos e mínimos de f Temos f (0) = 0, portanto y = 0 é o valor mínimo absoluto de f 8) Assíntotas verticais e horizontais de f A função f é polinomial e portanto não possui assíntotas O esboço do gráfico está a seguir y 0 4 c) f ( ) = ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio Dom f = R {,} ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados f (0) = 0 Logo o gráfico intercepta o eio Oy no ponto (0,0) Temos f ( ) = 0 4 = 0 = 0 Logo o gráfico intercepta o eio O apenas no ponto (0,0)

16 ) Simetrias do gráfico de f 4( ) 4 f ( ) = = = f ( ) Dom f e, portanto, a função f ímpar Logo, o gráfico de f é ( ) simétrico em relação à origem (0,0) 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f 4( ) 4 ( ) Temos f '( ) = = = ( 4) ( ) ( ) ( ) Dom f ' = Dom f, conclui-se que f não possui pontos críticos Analisemos o comportamento da função f nos intervalos (, ), (,) e (, + ) Como f '( ) 0, Dom f e Em (, ) (,) (, + ) f ' é sempre negativa e, portanto, f é decrescente em (, ), em (,) e em (, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f A função f não apresenta tais pontos, pois não há pontos críticos 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos ( 8 )( ) + (4 + 4)( ) ( )[( 8 )( ) + 4 (4 + 4)] f "( ) = = = 4 ( ) ( ) ( )[( 8 )( ) + 6 ( + )] 8 [( )( ) + ( + )] 8 ( + ) = = = ( ) ( ) ( ) 4 Então f "( ) = 0 = 0 Assim, (0, 0) é candidato a ponto de infleão 8( )(( ) + ) Em (, ), f "( ) = = < 0 e, portanto, f "( ) é negativa em (, ) Assim, o (( ) ) gráfico de f tem concavidade voltada para baio nesse intervalo Em (,0) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima nesse intervalo Em (0,) f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio nesse intervalo Em (, ) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima sobre esse intervalo Como f (0) = 4, eiste reta tangente ao gráfico de f no ponto (0,0) Então o ponto (0,0) é o único ponto de infleão do gráfico de f 7) Valores máimos e mínimos de f A função não possui valores máimos e mínimos relativos, nem absolutos, pois não possui pontos de máimos e mínimos relativos, nem absolutos 8) Assíntotas verticais e horizontais de f Temos 4 lim = 4 Temos lim = e lim+ e lim+ 4 4 Temos lim = lim = 0 e + + de f O esboço do gráfico está a seguir 4 = + 4 = + 4 lim = 0 Então a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f Então a reta = é uma assíntota vertical do gráfico de f Então a reta y = 0 é a única assíntota horizontal do gráfico

17 y - 0 d) f ( ) = ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Dom f = [0, + ) Como seu domínio e como lim ( ) = c c, > 0 c / c + lim ( ) = 0, a função f é contínua em 0 f '( ) = =, esta é uma função diferenciável em (0, + ) ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f (0) = 0 Logo o gráfico de f intercepta o eio Oy no ponto (0,0) Temos f ( ) = 0 = 4 =, 0 ( 4) = 0, 0 Então o gráfico de f intercepta o eio O nos pontos (0,0) e (4,0) ) Simetrias do gráfico de f Como o domínio da função não é simétrico em relação ao ponto = 0 a função não é par nem ímpar 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos f '( ) = =, e assim, único ponto crítico de f é = Analisemos o comportamento de f nos intervalos (0,) e (, + ) Em (0,) f ' é positiva e, portanto, f é crescente em (0,] Em (, + ) f ' é negativa e, portanto, f é decrescente em [, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f * / Dom f ' =R + Logo f '( ) = 0 = e como 0 (0, + ), o Como f é crescente em (0,] e decrescente em [, + ) concluímos que f assume um valor máimo relativo em = e como é único é absoluto também 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos f "( ) = = 0, (0, + ) Logo, não eistem pontos de infleão Como f " é sempre negativa, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio sobre todo o seu domínio 7) Valores máimos e mínimos de f Temos que f () = = Portanto, y = é o valor máimo de f

18 8) Assíntotas verticais e horizontais de f O gráfico não tem assíntotas O esboço do gráfico está a seguir y 0 4 e) f ( ) = + ) Domínio, continuidade e diferenciabilidade da função Esta é uma função racional, portanto contínua e diferenciável em todos os pontos de seu domínio, e como + 0, R, temos que Dom f =R ) Interseção do gráfico de f com os eios coordenados Temos f (0) = 0, portanto o gráfico de f intercepta o eio Oy no ponto (0,0) f ( ) = 0 = 0 = 0 Portanto o gráfico de f intercepta o eio O apenas no ponto (0,0) ) Simetrias do gráfico de f ( ) Temos f ( ) = = = f ( ), R Logo f é uma função par e, portanto, seu gráfico tem + ( ) + simetria em relação ao eio Oy 4) Pontos críticos e intervalos de crescimento e decrescimento de f Temos ( + ) + f '( ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) Então f '( ) = 0 = 0 = 0 Tomando = (,0), temos que f '( ) < 0 e, portanto, f é decrescente em (,0] Tomando = (0, + ), temos que f '() > 0 e, portanto, f é crescente em [0, + ) 5) Pontos de máimo e mínimo de f Como f é decrescente em (, 0] e crescente em [0, + ) concluímos que f assume um valor mínimo relativo e também absoluto em = 0 6) Concavidade e pontos de infleão do gráfico de f Temos ( + ) ( + ) ( + ) 8 ( + ) ( + )[ ( + ) 8 ] f "( ) = = = = ( + ) ( + ) ( + ) = = ( + ) ( + )

19 Temos f "( ) = 0 6 = = = ± e (, f ( )) = (, ) e 4 / / f ( ) = = = = f ( ) Portanto, + / 4/ 4 (, f ( )) = (, )) são candidatos a pontos de infleão do gráfico de f 4 Como ( + ) é sempre positivo, analisando o sinal de 6 + concluímos que: Em (, ) f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio em (, ) Em (, ) f " é positiva e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para cima em (, ) Em (, ) + f " é negativa e, portanto, o gráfico de f tem concavidade voltada para baio em (, + ) Conclui-se assim que o gráfico de f muda a concavidade em (, ) e em (, ) e nesses pontos, o 4 4 gráfico de f tem reta tangente Portanto, esses pontos são pontos de infleão do gráfico de f 7) Valores máimos e mínimos de f Como = 0 é ponto de mínimo relativo e absoluto, tem-se que f (0) = 0 é o valor mínimo relativo e absoluto da função 8) Assíntotas verticais e horizontais de f O gráfico não apresenta assíntotas verticais, pois Dom f =R Temos lim = lim = e + gráfico de f O esboço do gráfico está a seguir lim = lim = y, logo a reta y = é a única assíntota horizontal do /4 / 0 / Eercício 4 Um campo retangular vai ser cercado ao longo da margem de um rio e não precisa de cerca ao longo do rio Se o material da cerca custa R$ 40,00 por metro para o lado paralelo ao rio e R$ 5,00 por metro para os outros dois lados, encontre as dimensões do campo de maior área que pode ser cercado com um custo fio de R$ 0000,00

20 A área a ser cercada será dada por A = y m água O comprimento da cerca é dado por P = ( + y) m O custo da cerca é dado por C = [(5) + y(40)] reais y Devemos procurar o máimo da área sujeita a condição de um custo fio de R$ 0000, Então 0000 = y y = = (*) Substituindo (*) na epressão da área obtemos A = A( ) = = 4 4 Se y = 0 temos que = 00 ; se = 0, temos que y = 50 Como e y não podem ser negativos, temos que Dom A = (0, 00) Temos A '( ) =, daí A '( ) = 0 0 = 000 = 00 4 Em (0,00) A' é positiva e, portanto A é crescente nesse intervalo Em (00, 00) A ' é negativa e, portanto, A é decrescente nesse intervalo Então A assume um máimo relativo em = 00, como é único, ele também é máimo absoluto Se = 00 temos y = = 5, e assim, A( ) = 500 m 4 Portanto, as dimensões que maimizam a área cercada a um custo fio de R$ 0000,00 são 00 metros nos lados perpendiculares à margem do rio e 5 metros no lado paralelo à margem Eercício 5 Determine as dimensões do retângulo de maior área que tem dois vértices no eio O e os dois outros vértices sobre a parábola y = 6 4 acima do eio O Encontre a área máima desse retângulo 6 y = 6 4 Devemos determinar a área máima ( A = y) sujeita à condição y = 6 4 (*) Substituindo (*) na epressão da área obtemos A A = ( ) = (6 4 ) = 8 y Podemos considerar o domínio de A como Dom A = (0,) - Temos A'( ) 4 =, logo: 4 A '( ) = 0 4 = 0 4 = 6 = 8 = 4 = = ± Somente a solução algébrica Como = pertence ao domínio da função A A ' é uma função quadrática concluímos que:

21 Em (0, ) Em (,) A ' é positiva e, portanto, A é crescente nesse intervalo A ' é negativa e, portanto, A é decrescente nesse intervalo Portanto, A atinge um valor máimo relativo em = Quando =, temos y = 6 4 = = Assim, as dimensões do retângulo procurado são quadradas, como é único, também é máimo absoluto 4 e, e sua área é A = 8 = 9 unidades Eercício 6 Encontre o número no intervalo,, tal que a soma do quadrado desse número com o dobro de seu inverso multiplicativo, seja a menor possível Determine essa soma Denotemos o número procurado por Queremos que (, ) e que + seja o menor possível Chamemos s( ) = +, com Dom s = (, ) Temos s '( ) = 0 = 0 = 0 = 0 = = Devemos estudar o sinal de s ' nos intervalos (,) e (,) (0, 8) Tomemos 0,8 (,), temos s '(0,8) = < 0 Logo s é decrescente em (0,8) Tomemos,8 (, ), temos (,8) s '(,8) = > 0 Logo s é crescente em (,) (,8) (,) Portanto s tem mínimo relativo em = Como é único, é mínimo absoluto também Assim, o valor mínimo absoluto é s () = + = Assim, soma mínima procurada é obtida quando = e vale Eercício 7 Um incêndio em um campo aberto se alastra em forma de círculo O raio do círculo aumenta à razão de 0,5 m/min Determine a taa à qual a área incendiada está aumentando quando o raio é de m Temos a área incendiada dada por A = πr, onde r é o raio do círculo e, portanto, r (0, + ) Como o raio depende da variável tempo (t) dado em minutos escrevemos: A( t ) = π [ r( t )] Daí obtemos por derivação em relação a t a seguinte equação da dr = π r( t ) dt dt dr Para r = m e 0,5 dt =, tem-se que da = π = π m /min dt Logo, a taa à qual a área incendiada está aumentando, quando o raio é metros, é igual a π m /min Eercício 8 Enche-se um balão esférico de tal modo que seu volume aumenta à razão de m³/s Qual a razão do aumento de seu raio por unidade de tempo, quando o mesmo atinge o valor de 5 m?

22 4 Temos o volume do balão esférico de raio r é dado por V = πr e r (0, + ) Como o volume depende da 4 variável tempo (t) dado em segundos, o raio também depende de t, e podemos escrever V ( t ) = πr ( t ) e conseqüentemente, derivando a epressão do volume em relação a t obtemos a equação: dv 4 π dr π dr dt dt dt = r ( t ) = 4 r ( t ) dv Por hipótese, temos que = m /s, logo, quando r = 5 m temos 4π 5 dt dr dt =, ou seja, Portanto, a taa à qual o raio do balão está aumentando quando o mesmo é 5 metros é de 50π m/s dr dt = 50π m/s Eercício 9 O diâmetro e altura de um cilindro circular reto são, num determinado instante, 0 cm e 40 cm, respectivamente Se a altura crescer a uma taa de cm/min, como variará o raio do cilindro, se seu volume permanecer constante? A relação entre o volume, o raio e a altura é dada por V = πr h, que pode ser reescrita como V( t ) = π r ( t ) h( t ) dv Como o volume é constante, temos = 0 dt V( t ) = π r ( t ) h( t ) em relação a t obtemos: dh e por hipótese, = cm/min; derivando a epressão dt dv dr dh = π + dt dt dt r h r No instante em que diâmetro é igual a 0 cm (portanto r = 0 cm) e a altura igual a 40 cm, temos Segue que nesse instante, dr dt = 4 cm/min A variação do raio do cilindro no instante descrito é de dr 0 = π dt cm/min 4 Eercício 0 Os lados e y de um retângulo estão variando a taas constantes de 0,5 cm/s e 0,4 cm/s, respectivamente A que taas estarão variando a área e o perímetro do retângulo no instante em que é igual a 40 cm e y é igual a 50 cm? Temos que a área de um retângulo é epressa em função do tempo t por A( t ) = ( t ) y( t ) e o perímetro de um retângulo epresso em função do tempo t por P( t ) = ( t ) + y( t ) d dy Por hipótese, = 0, 5 cm/s e = 0,4 cm/s Deseja-se saber ' dt dt A e Assim, da d dy = y ( t ) + ( t ) + = = = 4 cm /s e dt dt dt 5 P ' quando = 40 cm e y = 50 cm dp d dy 4 9 = + = + = cm/s dt dt dt 5 5