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1 Exame Nacional exame nacional do ensino secundário Decreto Lei n. 9/0, de de julho Prova Escrita de Matemática A. Ano de Escolaridade Prova 6/.ª Fase Duração da Prova: 0 minutos. Tolerância: 0 minutos 0 Grupo I Na resposta a cada um dos itens deste grupo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Não apresente cálculos nem justificações.. Num grupo de nove pessoas, constituído por seis homens e três mulheres, vão ser escolhidos três elementos para formarem uma comissão. Quantas comissões diferentes se podem formar com exatamente duas mulheres? Cotações (A) C (B) 6 * C (C) 9 A (D) 6 * A. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é a seguinte. x i 0 P (X = x i ) a a b b Sabe-se que: a e b são números reais; P (X > ) = P (X < ). Qual é o valor médio da variável aleatória X? (A) (B) 7 (C) 7 9 (D) 9. Considere uma variável aleatória X com distribuição normal de valor médio e desvio-padrão s. Sabe-se que s é um número natural e que P (X > ) ) 0,0 7. Qual é o valor de s? 70 (A) (B) (C) 6 (D)

2 . a Fase 0. Seja f a função, de domínio R \ {0}, definida por f (x) = sin (- x) x. Considere a sucessão de números reais (x n ) tal que x = n. Qual é o valor de lim f (x n )? (A) - (B) 0 (C) (D) +? ln x + f (x). Seja f uma função de domínio R +. Sabe-se que lim =. x " +? x Qual das equações seguintes pode definir uma assíntota do gráfico da função f? (A) y = x (B) y = x (C) y = x (D) y = x 6. Considere, para um certo número real a superior a, as funções f e g, de domínio R, definidas por f (x) = a x e g (x) = a - x. Considere as afirmações seguintes. I) Os gráficos das funções f e g não se intersetam. II) As funções f e g são monótonas crescentes. III) f' (- ) - g' () = ln a a Qual das opções seguintes é a correta? (A) II e III são verdadeiras. (C) I é verdadeira e III é falsa. (B) I é falsa e III é verdadeira. (D) II e III são falsas. 7. Na Figura, estão representadas, no plano complexo, as imagens geométricas de quatro números complexos: w, w, w e w. Im (z) Qual é o número complexo que, com n å N, pode ser igual a i 8n * i 8n - + i 8n -? (A) w (B) w w w O w w Re (z) (C) w (D) w Figura 8. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = i e w = - i * z. z Seja a um argumento do número complexo z. Qual das opções seguintes é verdadeira? (A) w = 0 cis aa - p b (B) w = cis aa - p b (C) w = 0 cis aa - p b (D) w = cis aa - p b 7

3 Exame Nacional Grupo II Na resposta a cada um dos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = " + cis p e z = + i... Sabe-se que z z é uma raiz quarta de um certo número complexo w. Determine w na forma algébrica, sem utilizar a calculadora... Seja z = cis a. Determine o valor de a pertencente ao intervalo ]- p, - p[, sabendo que z + z é um número real. 0. Uma caixa contém apenas bolas brancas e bolas pretas, indistinguíveis ao tato. Todas as bolas estão numeradas com um único número natural. Sabe-se que: duas bolas em cada cinco são pretas; 0% das bolas pretas têm um número par; 0% das bolas brancas têm um número ímpar... Retira-se, ao acaso, uma bola dessa caixa. Determine a probabilidade de essa bola ser preta, sabendo que tem um número par. Apresente o resultado na forma de fração irredutível... Admita agora que a caixa tem n bolas. Extraem-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas da caixa. Determine n, sabendo que a probabilidade de ambas as bolas serem brancas é igual a Seja W o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ W e B ƒ W). Sabe-se que: P (B) = 7 P A B = 6 P A B = 7 Determine P (A).

4 . a Fase 0. Considere a função f, de domínio R \ {0}, definida por: e x - f (x) = e x - se x < 0 x ln (x) se x > 0 Resolva os itens.. e.. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora... Estude a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico... Seja g a função, de domínio R +, definida por g (x) = f (x) - x + ln x. Estude a função g quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos em ]0, e]. Resolva o item.. recorrendo à calculadora gráfica... Considere, num referencial o. n. xoy, a representação gráfica da função g, de domínio R +, definida por g (x) = f (x) - x + ln x. Sabe-se que: A é o ponto de coordenadas (, 0) ; B é o ponto de coordenadas (, 0) ; P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico da função g. Para cada posição do ponto P, considere o triângulo [ABP]. Determine as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; indicar as abcissas dos pontos P com arredondamento às centésimas.. Na Figura, está representada, num referencial ortogonal xoy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau. y f Sabe-se que: - e são os únicos zeros da função f ; g', a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio R e é definida por g' (x) = f (x) * e - x ; lim [g(x) - ] = 0. x " +? - - O x - - Figura 7

5 Exame Nacional Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g. I) y II) 7 6 y O x - - O x III) - y -O 6 7 x IV) y O x Nota: Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico. Elabore uma composição na qual: identifique a opção que pode representar a função g ; apresente as razões para rejeitar as restantes opções. Apresente três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado. 6. Considere a função g, de domínio d - p, 0c, definida por g (x) = sin (x) - cos x. Seja a um número real do domínio de g. A reta tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = x +. Determine o valor de a recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 7. Considere, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio [- a, a]. Sabe-se que f ( a) = f (a) e f (a) > f (0). Mostre que a condição f (x) = f (x + a) tem, pelo menos, uma solução em ]- a, 0[. 7 FIM

6 Sugestão de resolução Grupo I. Número de maneiras de escolher um homem em seis e duas mulheres em três: 6 C * C = 6 * C Resposta: (B). P (X = x i ) = i = e a + a + b + b = b + b = a + a P (X > ) = P (X < ) a + b = e b = a a + a = e b = a e 6a = a = b = a µ 6 b = 6 a = 6 µ b = O valor médio da variável aleatória X é m = a * 0 + a * + b * + b * = a + b. Como a = 6 e b =, temos m = * 6 + * = + = 9. Resposta: (D). Como X } N (, s) sabemos que P ( - s < X < + s) ) 0,9. Logo, P (X > + s) ) - 0,9 ou seja, P (X > + s) ) 0,0 7 Dado que s å N e P (X > ) ) 0,0 7 temos que + s =. + s = s = s = 6 Resposta: (C). lim x n = lim n = 0 sin (- x) - sin x sin x lim f (x) = lim = lim = - lim = - x " 0 x " 0 x x " 0 x x " 0 x Como x n å D f, A n å N, pela definição de Heine de limite de uma função num ponto, podemos concluir que lim f (x n ) = lim x " 0 f (x) = -. Resposta: (A) CPEN_MA Porto Editora ln x + f (x). lim = lim x " +? x aln x x " +? x + f (x) x b = lim ln x x " +? x + lim f (x) x " +? x = ln x lim + x " +? x f (x) lim = x " +? x * 0 + f (x) f (x) lim = lim = x " +? x x " +? x Portanto, se o gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua, o seu declive terá de ser igual a. Resposta: (D) 7

7 Sugestão de resolução 6. f (x) = a x e g (x) = a -x. D f = D g = R e a >. f (0) = g (0) = a 0 = Os gráficos das funções f e g intersetam-se no ponto de coordenadas (0, ). A afirmação I é falsa. CPEN_MA Porto Editora Sendo a >, a função f é monótona crescente e a função g é monótona decrescente. A afirmação II é falsa. f ' (x) = (a x )' = a x ln a e g' (x) = (a -x )' = (- x)' a -x ln a = - a -x ln a f ' (- ) - g' () = a - ln a - (- a - ln a) = ln a a + ln a a = ln a a A afirmação III é verdadeira. I é falsa e III é verdadeira. Resposta: (B) 7. i 8n * i 8n - + i 8n - = i 8n * i 8n * i - + i 8n * i - = (i 8 ) n * (i 8 ) n * i (i 8 ) n * i - + = = (i 0 ) n * (i 0 ) n * i + (i 0 ) n * i = n * n * (- i) + n * (- ) = - i - = - - i O número complexo - - i tem imagem geométrica no terceiro quadrante. Portanto, apenas w pode ser igual a - - i. Resposta: (C) 8. z = i 0 z 0 = "(- 8) + 6 = "00 = 0 ; z = 0 cis a w = - i * z z = cis a- p b * (0 cis a) 0 cis a = 00 0 cis a- p + a + ab = 0 cis aa - p b Resposta: (A) = cis a- p b * 00 cis (a) 0 cis (- a) 00 cis a- p + ab = = 0 cis (- a). z = " + cis p ; z = + i.. z = " + cis p = " + acos p + i sin p = " - " + " i = " i = " cis p z = + i 0 z 0 = " + = " e tg (arg z ) = = Grupo II b = " + a- " + " ib = Como, no plano complexo, a imagem geométrica de z pertence ao primeiro quadrante, p é um argumento de z. Então, z = " cis p. 76 w = a z " cis p b = ± z " cis p = " cis a p " - p b = acis p b = cis p = -

8 . a Fase 0.. z + z = cis a + + i = cos a + i sin a + - i = ( + cos a) + (sin a - ) i Se z + z é um número real, então sin a - = 0. sin a - = 0 sin a = a = p + kp, k å Z Para k = - obtém-se a = p - p = - p que é o valor de a que pertence ao intervalo g- p, pf.. Sejam os acontecimentos: A : A bola retirada é preta. B : A bola retirada tem um número par. É dado que: P (A) = P (B 0 A) = 0% = 0, P B 0 A = 0% = 0,.. Pretende-se determinar P (A 0 B) = P A = - P (A) = P (A B). P (B) 0, B P B 0 A = - P B 0 A = - 0, = 0,6 P (A B) = P (A) * P (B 0 A) = * 0, = A B P (B) = P (A B) + P A B = P (A) * P (B 0 A) + P A * P B 0 A = * 0, + * 0,6 = + 9 = P (A B) P (A 0 B) = = = P (B) A 0,6 0, B B.. Número de bolas existentes na caixa: n Número de bolas pretas existentes na caixa: n Número de bolas brancas existentes na caixa: n CPEN_MA Porto Editora Probabilidade de a.ª bola extraída ser branca: P (B ) = Probabilidade de a.ª bola extraída ser branca sabendo que a primeira bola extraída é branca: P (B 0 B ) = n - n - n - = n - = n - n - Probabilidade de as duas bolas extraídas serem brancas: P (B B ) = P (B ) * P (B 0 B ) = = * n - 9n - = n - n - Sabemos que P (B B ) = n - n - = 7 0 n > 80n - 00 = 7n - 7 n = n = 77

9 Sugestão de resolução. P (B) = P B = ; P A B = 6 ; P A 0 B = 7 P A B = 6 P A B = - P (A B) = P (A B) = P (A B) = 6 P A 0 B = 7 P A B = 7 P B P A B = P B * 7 CPEN_MA Porto Editora P A B = * 7 P A B = 7 6 P (A) = P (A B) + P A B = =. e x - f (x) = e x - se x < 0 x ln (x) se x > 0 ; D f = R \ 06.. Em g-?, 0 f, f é contínua por ser definida pela composta, diferença e quociente de funções contínuas (funções polinomiais e função exponencial). De igual modo, em g 0, +? f, f é contínua por ser definida pelo produto de funções contínuas (função polinomial e função logarítmica). Logo, apenas a reta de equação x = 0 poderá ser uma assíntota vertical do gráfico da função f. lim f (x) = x " 0-0 lim ex a - x " 0 - e x - = 0 b lim x " 0 - e x - * x x e x - * x x = lim ex - * x " 0 - x lim ex - x " 0 - x = * = lim f (x) = x " 0 + lim (0*?) (x ln x) = + x " 0 lim a y " +? y ln y b = = lim a y " +? y ln ln y y- b = - lim y " +? y = 0 Fazendo y = x vem x = y e x " 0 + ± y " +? Portanto, o gráfico da função f não tem assíntotas verticais... Em R +, g (x) = f (x) - x + ln x g (x) = x ln x - x + ln x g' (x) = (x ln x - x + ln x)' = (x ln x)' - + (ln x)' = ln x + x * x - + ln x * x = = ln x ln x * x = ln x + ln x * x = a + x + b ln x = ax b ln x x g' (x) = 0 x å g0, eg a x + b ln x = 0 x å g0, eg a x + = 0 ln x = 0b x å g0, eg x x (x + = 0 x = ) x å g0, eg x = x 0 e g' g - g () = * ln - + ln = - g (e) = e * ln e - e + ln e = e - e + = Mín. Máx. A função g é estritamente decrescente em g0, g e estritamente crescente em f, eg. 78 No intervalo g0, eg, g () = - é um mínimo relativo e g (e) = é um máximo relativo.

10 . a Fase 0.. Tomando para base do triângulo [ABP] o lado [AB], temos que a altura do triângulo é igual a 0 g (x) 0. Como AB = 0-0 =, a área do triângulo [ABP] é dada por * 0 g (x) 0. Pretende-se, portanto, resolver graficamente a equação * 0 g (x) 0 Introduziram-se na calculadora as funções Y = 0 g (x) 0, ou seja, Y = 0 x ln x - x + (ln x) 0, Y = e calcularam-se as abcissas dos pontos de interseção dos respetivos gráficos. Foram obtidos os seguintes resultados: =. y Y O 0, 0,6,6, x As abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é igual a são: x ) 0, x ) 0,6 x ),6 x ),.. i) lim x " +? fg (x) - g = 0 ± a reta de equação y = é uma assíntota do gráfico da função f, quando x " +?. ii) g' (x) = f (x) * e -x Dado que e -x > 0, A x å R, o sinal e os zeros de g' coincidem com o sinal e os zeros da função f. Tabela de variação da função g : x -? - +? g' g Mín. CPEN_MA Porto Editora A função g pode ser representada pela opção IV. A opção I é de rejeitar porque, relativamente ao gráfico apresentado nesta opção, a tangente no ponto de abcissa - tem declive manifestamente negativo quando g' (- ) = 0. A opção II é de rejeitar porque, nesta opção, é apresentado o gráfico de uma função que não tem um mínimo relativo para x =. A opção III é de rejeitar porque, nesta opção, é apresentado o gráfico de uma função em que a reta de equação y = não é uma assíntota quando x " +?. 79

11 Sugestão de resolução 6. g (x) = sin (x) - cos x, D g = d- p, 0 c Se a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é paralela à reta de equação y = x +, então g'(a) =. CPEN_MA Porto Editora g' (x) = (sin (x) - cos x)' = (x)' cos (x) - (- sin x) = cos (x) + sin x g'(a) = cos (a) + sin a = (cos a - sin a) + sin a = ( - sin a - sin a) + sin a = - sin a + sin a - = 0-8 sin a + sin a - = 0 8 sin a - sin a - = 0 Fazendo y = sin a, temos: 8y - y - = 0 y = y = 0 6 " - * 8 * (- ) 6 y = y = - Como y = sin a, vem sin a = sin a = -. y = "00 6 No intervalo d- p, 0 c, a equação sin a = é impossível porque sin a < 0, A a å d- p, 0 c. sin a = - a å d- p, 0 c sin a = sin a- p 6 b a å d- p, 0 c a = - p 6 7. f é contínua e D f = f- a, ag f (- a) = f (a) e f (a) > f (0) Seja h a função definida por h (x) = f (x) - f (x + a). h é contínua em f- a, 0g por ser definida pela composta e pela diferença de funções contínuas neste intervalo (uma função polinomial e a função f ); h (- a) = f (- a) - f (- a + a) = f (- a) - f (0) Como f (- a) = f (a), f (- a) - f (0) = f (a) - f (0) f (a) - f (0) > 0 porque f (a) > f (0) Logo, h (- a) > 0. h (0) = f (0) - f (0 + a) = f (0) - f (a) f (0) - f (a) < 0 porque f (a) > f (0) Logo, h (0) < 0. Portanto, h (- a) * h (0) < 0. Como h é contínua em f- a, 0g e h (- a) * h (0) < 0, podemos concluir, pelo corolário do Teorema de Bolzano, que a função h admite pelo menos um zero em g- a, 0f h (x) = 0 f (x) - f (x + a) = 0 f (x) = f (x + a) 80 Portanto, a condição f (x) = f (x + a) tem, pelo menos, uma solução em g- a, 0f.

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