PROVA MODELO N.º 8 JULHO DE 2016 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO MATEMÁTICA A 12.º ANO DE ESCOLARIDADE

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1 EXME NINL ENSIN SEUNÁRI MTEMÁTI.º N E ESLRIE Site: Facebook: PRV MEL N.º 8 JULH E 06 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8

2 GRUP I Na resposta aos itens deste grupo, seleccione a opção correcta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida.. onsidere todos os números pares de cinco algarismos. Quantos destes números têm exactamente um 0 e um em posições consecutivas? 76 B Numa certa linha do triângulo de Pascal sabe-se que o quociente entre o oitavo elemento e o décimo quinto elemento é. Escolhem-se, ao acaso, sucessivamente e sem repetição, três elementos desta linha. onsidere os acontecimentos: : «a soma dos dois primeiros elementos escolhidos é» B: «o produto dos três elementos escolhidos é igual ao valor do décimo primeiro elemento» Qual é o valor de PB? 0 B 9 0 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8

3 . Seja f uma função de domínio,, cujo gráfico está parcialmente representado na figura. Sabe-se que: a função f é par; a recta de equação x é assimptota vertical do gráfico de f y f f x Qual é o valor de xlim ln f x f x? B 0 4. Na figura está representada parte do gráfico de uma função g de domínio Sabe-se que: y a recta r é assimptota do gráfico de g quando x a recta s é assimptota do gráfico de g quando x g s as rectas r e s são perpendiculares r a equação reduzida da recta s é yx x Qual é o valor de g x xg x lim x? x x 5 B 5 Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8

4 5. onsidere a função h de domínio definida por hx sen nx, com n. Qual é o valor de h x lim x? x n B n n n 6. Na figura está representada, no plano complexo, as imagens geométricas dos números complexos w, z, z z e z 4. Im z z z z z 4 w Re z Qual dos seguintes pode ser igual a iw i 4 n 09? z B z z z 4 7. onsidere, num referencial o.n. xyz, o plano definido por o ponto P de coordenadas,, pertence ao plano., com a \ 0 4ax a y a z 0. Sabe-se que Qual das seguintes condições define a recta perpendicular ao plano que contém o ponto P? B x, y, z,,0 k,, x y z, k x y z x, y, z,, k,,, k Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 4

5 8. Seja v n uma progressão tal que v6 e v8 9. os seguintes números, qual não pode ser a razão da progressão v? n B Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 5

6 GRUP II Na resposta aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exacto. Na figura está representada, no plano complexo, o losango B centrado na origem. Sabe-se que: Im z o vértice é a imagem geométrica do número complexo z o vértice B é a imagem geométrica do número complexo z um argumento de z é 5 B Re z a área do losango B é 8 z z etermine as raízes quartas do número complexo, apresentando-as na forma trigonométrica, e calcule a área i do polígono cujos vértices são as imagens geométricas dessas raízes.. Seja S, conjunto finito, o espaço de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam e B dois acontecimentos possíveis ( S e B S ). Mostre que, P B P B PB P se e só se e B são acontecimentos independentes.. Na figura está representado, num referencial o.n. xyz, o octaedro BEF. Sabe-se que: F z o quadrado FE está contido no plano xz; G B o ponto pertence ao eixo x e o ponto pertence ao eixo z E y o ponto G é o centro do octaedro x os vértices do octaedro pertencem à superfície esférica de equação x y z x z Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 6

7 Resolva os itens seguintes por métodos analíticos, sem recorrer à calculadora... etermine as coordenadas do ponto G... Escreva uma equação do plano BE... Seja r a reta definida pela condição x 4z y. 4 onsidere um ponto T pertencente ao eixo y com a mesma ordenada de B e Q um ponto que se desloca sobre a recta r. Quais são as coordenadas de Q de modo que o triângulo FQT seja rectângulo em Q?.4. onsidera os seis vértices do octaedro e o seu centro. Escolhendo, simultaneamente e ao acaso, três dos sete pontos, qual é a probabilidade de definirem um plano paralelo ao eixo y? presente o resultado na forma de fracção irredutível. daptado de um exercício do livro Preparar o Exame 06 Matemática da Raiz Editora 4. Uma substância radioactiva desintegra-se segundo a lei: t B ln m, t 0 em que m é a massa medida em miligramas, t anos após uma amostra da substância ter sido colocada em repouso, e e B são constantes reais. Uma amostra de uma certa substância radioactiva foi colocada em repouso. Resolva os itens seguintes por métodos analíticos, sem recorrer à calculadora. 4.. Passados dezoito meses a massa da amostra era de,66 miligramas e ao fim de dois anos essa massa tinha diminuído 0, miligramas em relação ao seu peso seis meses antes. etermine o valor de e mostre que B 8,05 presente o resultado de arredondado às centésimas. 4.. etermine o valor real de x de modo que t mt m x 0,8. presente o resultado em anos e meses, meses arredondados às unidades, e interprete o resultado no contexto do problema. Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 7

8 5. onsidere a função g, de domínio, cuja derivada, também de domínio é definida por: n ln g x x x, com n Resolva os itens 5.. e 5.. recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 5.. Sabendo que x lim x g ln 56 g x determine o valor de n. Interprete o resultado no contexto da situação descrita. 5.. Estude a função g quando ao sentido das concavidades do seu gráfico e à existência de pontos de inflexão. Na sua resposta deve indicar: o(s) intervalo(s) onde o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo; o(s) intervalo(s) onde o gráfico de g tem a concavidade voltada para cima; a(s) coordenada(s) do(s) ponto(s) de inflexão. 5.. onsidere n. Mostre que no intervalo,k k, com k, o gráfico de g contém pelo menos um ponto onde a recta tangente ao seu gráfico nesse ponto é paralela ao eixo x. Recorrendo à calculadora gráfica, determine a abcissa desse ponto. Na sua resposta deve: mostrar analiticamente a existência de pelo menos uma abcissa nas condições do problema; reproduzir, num referencial, o(s) gráfico(s) da(s) função(ões) que visualizar na calculadora, devidamente identificado(s); apresentar a abcissa pedida, arredondada às centésimas. Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 8

9 6. onsidere a função f de domínio,, definida por: f x ln x se x x e e cos x sen x se x Resolva os itens seguintes recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. 6.. Estude a função f quanto à existência de assimptotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados. 6.. Para x,, mostre que sen monotonia e à existência de extremos relativos. Na sua resposta deve indicar: f x x sen x e estude, neste intervalo, a função f quando à o(s) intervalo(s) onde a função f é crescente; o(s) intervalo(s) onde a função f é decrescente; a(s) abcissa(s) do(s) extremo(s) relativo(s). F I M SLUINÁRI GRUP I. B B GRUP II. 4 cis, 4 cis, 4 7 cis, 4 5 cis ;. 6 6 polígono..,0, G.. x y z..,,4 Q ou Q 6,, Matemática.º no Exame Nacional do Ensino Secundário Prova Modelo n.º 8 9

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