PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO

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1 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JUNHO 06 GRUPO I. Como P ( A B ) P A B P B temos que: P 6, ( A B ) 6 P( B ) P ( A B ) 6 0 P ( A B ) 0 Assim, P ( A B ) P( A ) + P( B ) P ( A B ) Versão : C Versão : D. Dado que X é uma variável aleatória com distribuição normal de valor médio 0, então P ( X < 0 ) P ( X > 0 ) 0, 5 e P ( 7 < X < 0 ) P ( 0 < X < ) 0, Assim, P ( X > ) P ( X > 0 ) P ( 0 < X < ) 0,5 0, 0, Versão : B Versão : C

2 . a e x a a x a a a + a a e x a ( x a ) x + a e x a x a e x a x a a a a x + a ex a x a e x a x a Fazendo a mudança de variável: y x a, Como então y 0 e assim, e x a x a e y y 0!## "## y $ ite notável Versão : B Versão : D. Como então, x x f ( x ) x f ( x ) + e x x x + ex x x x x x ( x ) x f ( x ) f + e x + 0 f ( x ) x x f ( x ) x x + f ( x ) x x Pelo que o declive da assíntota oblíqua ao gráfico de f é igual a. Versão : D Versão : B

3 5. Tendo em conta de que área do trapézio OPQR é dada por: A OPQR PO + QR PQ e que PO e PQ cosα, então QR + Temos então que: A + ( senα ), pois senα no quarto quadrante é negativo. ( senα ) cosα senα cosα cosα senα cosα, Versão : D Versão : C 6. Considerando que: z cisθ cis π cis θ cis( π + θ ) temos que um argumento z é π + θ Como π < θ < π, então π + π < π + θ < π + π π < π + θ < 5π, Pelo que, a imagem geométrica do complexo z pertence ao primeiro quadrante. Versão : A Versão : D 7. Como o triângulo ABC A ˆBC 80º 75º 0º. Logo, BA BC BA BC cos BA # BC é isósceles, então AĈB CÂB 75º, pelo que cos 0º. Versão : C Versão : A

4 8. Tem-se que: ( u n ) kn + n v n ln + n k n n k n ln + n k. Logo, como ( u n ) ( v n ), vem que k n ln( e ). Versão : B Versão : A GRUPO II. Escrevendo + i na forma trigonométrica temos + i ρ cisθ, onde: ρ + i ( ) + ( ) θ é um argumento de + i com θ.º quadrante e tgθ, vem θ π π π (argumento positivo mínimo). Assim, + i cis π Substituindo em z, temos: z. 8cisθ + i z 8cisθ π cis pelo que, z cis θ + π z z cis θ + π e cis θ z cis θ π cis θ + π + θ cis θ + π Para ser um número real θ + π kπ, k! θ π + kπ, k! Se k 0, temos θ π ] 0, π [ Se k, temos θ π ] 0, π [ Se k, temos θ π ] 0, π [ Logo, θ π.

5 ... Seja X : produto dos números das duas bolas retiradas Os produtos podem ser: 8 Logo, os produtos possíveis são,, ou 8 (não pode ser 6, pois só existe uma bola com o número ). P( X ) P( X ) C 9 C 6 C C 9 C 9 P( X ) C C + C 9 C 5 8 P( X 8 ) C C 9 C 9 Assim, a tabela de distribuição da variável aleatória X é: x i 8 P( X x i ) º processo: º processo: º processo: 8!!! 80 8!!! 80 8 C C C 80 Logo, de acordo com as condições do enunciado, podem-se obter 80 números ímpares diferentes.... Como a superfície esférica tem centro no ponto A(,, ) e é tangente ao plano xo y, o seu raio é r dist ( A, x O y ) z A. Assim, uma condição que define a superfície esférica é: ( x +) + ( y ) + ( z )

6 .. Como a pirâmide [ ABCDV ] é quadrangular regular e a sua base [ ABCD] é paralela ao plano xo y, a abcissa e a ordenada do ponto V são iguais à abcissa e ordenada do ponto médio, M, do segmento de reta [ AC]. Então, M, +, +, isto é, M,,. Assim, as coordenadas de V são da forma V (,, z ), com z!. Como V pertence ao plano BCV as suas coordenadas têm de verificar a equação y + z 0 0. Deste modo vem: + z 0 0 z Portanto as coordenadas do ponto V são (,, )... Determinemos uma equação cartesiana do plano α. Como o plano α é perpendicular à reta AC o vetor! AC!!" é um vetor normal ao planoα. AC C A,, (,, ) (,, 0 ) O plano α é definido por uma equação da forma x + y + d 0 Como o ponto P(,, ) pertence ao plano α, temos que: + ( ) + d 0 d + d 6 Assim, uma equação cartesiana do plano α que passa no ponto P e é perpendicular à reta AC é: x + y equivalente a x + y + 0. Seja r a reta de intersecção dos planos α e BCV. A reta r é definida pelas equações cartesianas: x + y + 0 y + z 0 0 y x z + 0 y y x y z 0 x y z 0 A reta r é a reta que passa no ponto de coordenadas, 0, 0! r,,. Portanto uma equação vetorial da reta pedida é: ( x, y, z ), 0, 0 + k,, e tem a direção do vetor, k!

7 ... Para determinar o máximo e o mínimo absolutos da função h no intervalo 0, [ ] é necessário calcular os extremos relativos de h naquele intervalo. Comecemos por determinar a expressão analítica da primeira derivada de h h ( t ) ( 0 ) + cos ( πt ) π + ( t sen( πt ) ) 0 + π π ( cos( πt ) ) + t sen πt ( π sen( πt ) ) + sen πt sen πt + t sen( πt ) + t π cos( πt ) + sen( πt ) + πt cos( πt ) πt cos πt Calculemos os zeros da derivada da função h, para 0 t : h ( t) 0 πt cos( πt ) 0 t 0 cos( πt ) 0 t 0 πt π + kπ,k Z k + t 0 t,k Z t 0 t t Estudando a variação do sinal da derivada e relacionando com a monotonia da função, vem: t 0 h ( t) π h( t) h h 0 Por observação da tabela, verificamos que h 0 h( ) são máximos relativos de h. Como h( 0 ) 0 + h( ) 0 + π e h h h( ) são mínimos relativos e que h π 0,6 ; h 0,5 ; h 0,6, podemos afirmar que os extremos absolutos de h são: 9,5 M h 0,5 e m h 9,5, respetivamente máximo e mínimo absolutos de h. Assim, A M m 0,5 9,5 De onde se conclui que, a amplitude A da oscilação do tabuleiro da ponte, no intervalo 0, de metro. e e [ ], é

8 .. Na figura estão representados, de acordo com o enunciado, o gráfico da função h e a reta de equação y 9,5, obtidos na janela de visualização [ 0, ] [ 9, ], bem como os pontos A e B, de interseção dos dois gráficos. O conjunto solução da condição h( t ) < 9,5 é um intervalo da forma ] a, b [ são as abcissas dos pontos A e B, respetivamente. em que a e b Recorrendo à calculadora gráfica, obtém-se para a e b os valores aproximados às milésimas: a 0,606 e b 0,877. Assim, o valor arredondado às centésimas de b a é 0,7. No contexto da situação descrita, podemos concluir que no primeiro minuto, a distância de um ponto P do tabuleiro a um ponto fixo do vale, foi inferior a 9,5 metros durante cerca de 0,7 minutos Sabemos que p corresponde ao valor da derivada da função f no ponto de abcissa. Assim, f ( x ) f ( ) p f ( ) e ( ) + ( ) + x x + e e Logo, q p e e. Como q é igual ao simétrico do inverso de p (declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x ), então podemos afirmar que q é igual ao declive de uma reta perpendicular à reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x.

9 5.. Para estudar o sentido das concavidades e a existência de pontos de inflexão do gráfico de f, determinemos a expressão analítica da segunda derivada de f. f ( ) ( e x ) ( x + x + ) + e x ( x + ) ( x ) e x x + x + e x x + x + e x x + x + Calculemos os zeros da segunda derivada de f : f ( x ) 0 e x x + x + 0 e x 0!# " $# x + x + 0 equação impossível x + x + 0 x x Assim, estudando a variação de sinal da segunda derivada e relacionando com o sentido das concavidades do gráfico de f, temos: x + e x x + x f ( x ) f ( x ) P. I. P. I. Podemos então concluir que o gráfico da função f tem: a concavidade voltada para baixo no intervalo ], [ ; a concavidade voltada para cima em ], [ e em ], + [ ; dois pontos de inflexão de abcissas e.

10 Como f é uma função contínua em ], [ e em ], + [ (porque resulta de operações entre funções contínuas neste domínio), então as retas de equação x e x são as únicas retas verticais que podem ser assíntotas do gráfico de f. Para averiguar se as reta de equação x e x são assíntotas do gráfico de f, calcule-se: x f x f ( x ) e x + f ( x ) ( x ) : x ln x x + ln + ln 0 ln + + f ( x ) ln x x + x + x + ln ln ln( 0+ ). Assim, como ambos os ites são infinitos, podemos concluir que as duas retas de equação x e x são assíntotas verticais do gráfico de f e que não existe qualquer outra assíntota vertical. 6.. Calculando o declive da reta que contém os pontos de abcissas a e a, temos: m f ( a ) f a a a ln a a + ln a a + a + a ( a ) ( a ) ( a + ) a ln ln ( a + ) ( a ) ( a + ) ( ( a + ) ) a a a ln a + ln a a + ln a a + a a a ln a a + a a + a ln a a + a Como a reta contém o ponto de coordenadas a, ln a a +, substituindo as coordenadas e o declive na equação y mx + b, podemos determinar o valor da ordenada na origem: ln a a + a ln a + a a + b ln a a + ln a a + + b ln a a + ln a a + b b 0 Como a ordenada na origem é zero, podemos concluir que a reta passa na origem do referencial.