Proposta de teste de avaliação

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1 Matemática A 1. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data:

2 Caderno 1 (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identifica a opção escolhida. Na resposta aos restantes itens, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato. 1. Um saco contém treze bolas sendo nove brancas, numeradas de 1 a 9, e quatro pretas iguais entre si. As bolas apenas se distinguem pelo número e pela cor Tiram-se, ao acaso, sucessivamente e sem reposição, duas bolas do saco. Qual é a probabilidade de a segunda bola extraída ter um número par sabendo que a primeira bola extraída foi preta? (A) 13 (B) 1 3 (C) 5 1 (D) Suponha agora que as treze bolas vão ser colocadas numa fila, encostadas umas às outras, da esquerda para a direita. Quantas filas diferentes é possível formar de modo que as bolas com número ímpar fiquem no início da fila? (A) (B) (C) 800 (D) 860. Seja h uma função real de variável real, contínua, de domínio 1,1. Pode afirmar-se que: (A) A função h tem mínimo. (B) A função h tem pelo menos um zero. (C) h 1 é o máximo da função h. (D) O gráfico da função h pode ter uma assíntota.

3 3. Através da colocação de uma rede, pretende-se dividir em três partes um terreno agrícola retangular como é sugerido D x G C no esquema da figura ao lado: F 50 m O retângulo ABCD representa o terreno e a linha formada pelos segmentos de reta EF, FD e FC representa a A E 100 m B rede. Sabe-se que: o ponto E é o ponto médio de AB ; o ponto G é o ponto médio de DC ; o ponto F é um ponto móvel que pertence a EG ; x é a amplitude, em radianos, do ângulo FDG, com 0x ; os lados representados por AB e BC medem, respetivamente, 100 m e 50 m Mostre que o comprimento, L, em metros, da rede pode ser dado, em função de x, por L x 50 sinx 50 cosx 3.. Sabendo que 0 5 etan, mostre que para 1 a 137,5 m. x o comprimento da rede é igual 3.3. Determine o comprimento da rede se o campo ficar dividido em três partes com a mesma área. Apresente o resultado em metros arredondado às décimas. 3.. Mostre que a função derivada de L é dada por L x 50 sinx Determine o valor de x para o qual o comprimento da rede é mínimo. Fim do Caderno 1 COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos)

4 Caderno (não é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos itens de escolha múltipla, selecione a opção correta. Escreva, na folha de respostas, o número do item e a letra que identificam a opção escolhida.. Considere a função g, de domínio,, definida por g x x x se x0 sinx se 0x x sinx.1. Mostre que a função g é contínua no ponto x 0... Estude a função g quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico. 5. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de f, segunda derivada de uma função f, de domínio R. y f O 5 x Qual das afirmações seguintes é falsa? (A) O ponto do gráfico da função f com abcissa 5 é um ponto de inflexão. (B) f0 f5 (fé a primeira derivada de f ). (C) O gráfico da funçãof tem a concavidade voltada para baixo em 0,5. (D) A reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abcissa 5 é, entre todas as retas tangentes ao gráfico, a que tem declive máximo.

5 6. Seja f a função, de domínio 0,, definida por sin cos tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa. f x x x x e seja r a reta 6.1. Mostre que a reta r é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. 6.. Qual dos pontos cujas coordenadas a seguir se indicam pertence à reta r? (A) A, (C) C0, (B) B, (D) D, 6.3. Mostre que f, segunda derivada de f, é definida por f x xsin x. 6.. Estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 7. Um ponto P desloca-se numa reta numérica durante um intervalo de tempo I, de tal forma que a respetiva abcissa é dada por sin 3 x t Qual é o ângulo de fase deste oscilador harmónico? t, com ti. (A) 3 (B) (C) (D) 6 Fim da prova COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em pontos) TOTAL (Caderno 1 + Caderno ) 00 5

6 6

7 Proposta de resolução Caderno 1 1. Bolas brancas: 9 Bolas pretas: Se a primeira bola extraída foi preta, ficaram no saco 1 bolas entre as quais quatro são numeradas com número par (,, 6 e 8). Logo, a probabilidade pedida é igual a Resposta: (B) 1.. As cinco bolas com número ímpar podem ser ordenadas, no início da fila, de 5! maneiras diferentes. Os lugares para as quatro bolas com números pares podem ser escolhidos, nos restantes oito lugares da fila, de 8 A maneiras diferentes. As quatro bolas pretas, por serem iguais entre si, ocuparão os restantes quatro lugares de forma única. 8 Portanto, é possível formar 5! A filas diferentes. Em alternativa, poderíamos considerar: Resposta: (A) 8! 5! ! Número de maneiras de ordenar 8 bolas entre as quais há iguais. Sendo h uma função real de variável real contínua em 1,1 então h admite máximo e mínimo absolutos (teorema de Weierstrass). Logo, a funçãoh tem mínimo. Resposta: (A) FG FG tanx tanx FG 50 tanx DG 50 D 50 x G C DG cosx cosxdf DF DF cosx EF 50FG 50 50tanx LEFDFFC EF DF A F E 100 m 50 m B 50 Lx5050tanx 50sinx 100 Lx50 cosx cosx 10050sinx Lx50 cosx 50 sinx Lx50 cosx 7

8 3.. 0 e 1 tan 5 tan 1 1 cos cos 1 cos 1 cos cos cos cos Como 0, 1 cos sin 5 5 tan sin cos 1 cos sin L sin cos , L 137,5m 3.3. Área do terreno = 10050m 5000m Como os trapézios AEFD e EBCF têm áreas iguais, para que o campo fique dividido em três partes com a mesma área basta que a área do triângulo DFC seja igual à terça parte da área total. Área DFC DCFG 10050tanx 500 tanx Área 500 tanx tanx DFC Como 0x, tanx xarctan 3 3 arctan 0, 588 rad 3 50 sin0,588 L0, , 9 cos0,588 O comprimento da rede é aproximadamente igual a 136,9 metros. 8

9 3.. Lx sinx sinxcosxsinxcosx cosx cosxcosx sinx sinx sinx sinx sin xsinx 1sinx sinx1 Lx 3.5. L x 50 sinx1 0 00x sinx10 00x 1 sinx 0x x 6 O sinal de L x depende apenas do sinal de sinx 1. x 0 L L ց ր Mín. O comprimento da rede é mínimo para x rad. 6 Caderno..1. g é contínua em x 0 se existir x0 x0 limg x x 0 lim g x lim x x 0 0 x x0 x0 x0 x0. x 0 sin sin sinx 0 limgx lim lim x lim x xsinx xsinx sinx 1 x x x sin siny lim lim x0 y0 x y 1 sinx 1 lim 11 x0 x g00 0 Como limgx limgx g0, existe lim x0 x0 Logo, a função g é contínua no ponto x 0. g x x 0. y x Se x0, y0 9

10 .. Como g é contínua em,0, o seu gráfico não tem assíntotas verticais. Seja y mx b a assíntota quando x, se existir. 1 1 x x x x g x x x x x m lim lim lim lim x x x x x x x x x x 1 1 xx x 1 x x 1 lim x x lim lim x x x x x x x b lim gxmx lim x xx lim x x x x Não existe assíntota quando x. Dado que D, g, o gráfico de g também não tem assíntota quando x. Portanto, o gráfico de g também não tem assíntotas. 5. Do conhecimento do sinal de f podemos tirar as conclusões a seguir resumidas sobre as funçõesf e f : Assim, x 5 f 0 + f ց Mín ր f P.I. o ponto do gráfico da função f com abcissa 5 é um ponto de inflexão; como f é decrescente em 0,5, f0 f5 ; o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em 0,5. f tem um mínimo para x 5. Logo, é falso que a reta tangente ao gráfico da função f no ponto Resposta: (D) de abcissa 5 tenha declive máximo. 6. f xxsinx cosx, x0, 6.1. f x xsinx cosx xsinxx sinx x sin x sin x x sin x x sin x O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é igual a f cos sin f. cos sin 011 Portanto, a reta r tem declive 1, ou seja, é paralela à bissetriz dos quadrantes pares. 10

11 6.. Como a reta r tem declive 1, a sua equação reduzida é da forma y x b. f sin cos sin cos 10 O ponto de coordenadas, pertence à reta r: bb b é a ordenada na origem. Logo, o ponto de coordenadas 0, Resposta: (C) pertence à reta r f x xcosx sinx xcosx xcosx xcosx x x x x x x cos sin cos sin 6.. fx 0xsinx 0 x 0, x 0 sinx 0 x 0, x0x0x x0, x0x x 0 x 0 sinx f f 1 P.I. f sin cos sincos 011 O gráfico da função f tem a concavidade voltada para baixo em 0, e voltada para cima em,. O ponto de coordenadas, 1 é um ponto de inflexão. 7. x t sin t cos t cos t cos t O ângulo de fase do oscilador harmónico é 6. Resposta: (D) 11

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