Exames Nacionais. Prova Escrita de Matemática A 2009 VERSÃO Ano de Escolaridade Prova 635/1.ª Fase. Grupo I

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1 Exames Nacionais EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Decreto-Lei n. 7/00, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A. Ano de Escolaridade Prova 6/.ª Fase Duração da Prova: 0 minutos. Tolerância: 0 minutos 009 VERSÃO Gruo I Na resosta a cada um dos itens deste gruo, seleccione a única alternativa correcta. Escreva, na folha de resostas, o número do item e a letra que identifica a alternativa seleccionada. Não aresente cálculos nem justificações. Cotações. De um baralho com 0 cartas, reartidas or quatro naies (Coas, Ouros, Esadas e Paus), em que cada naie contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, ela ordem que as recebe. Qual é a robabilidade de o jogador obter a sequência 6 7 Dama Rei, nas cartas recebidas? (A) 6 (B) 6 (C) (D) 0 A 6 0 C 6 0 A 6 0 C 6. Seja W o esaço de resultados associado a uma certa exeriência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos (A ƒ W e B ƒ W). Sabe-se que: P (A) = 0, P (B) = 0, P (A B) = 0, (P designa robabilidade.) Qual é a robabilidade de se realizar A, sabendo que B se realiza? (A) (B) (C) (D) 6

2 .ª fase 009. Considere uma variável aleatória X, cuja distribuição de robabilidades é dada ela tabela seguinte. x i 6 P (X = x i ) k 8 k Qual é o valor de k? (A) (B) (C) (D). Seja x um número real ositivo. Qual das exressões seguintes é igual a e ln x - 0 log x? (ln designa logaritmo de base e ; log designa logaritmo de base 0.) (A) ln x - log x (B) x + x (C) x - x (D) ln x log x. Para um certo número real ositivo k, é contínua a função f, de domínio R, definida or Qual é o valor de k? f (x) = a log (k + x) d b d sin (x) c x se x 0 se x < 0 (A) (B) (C) (D) 6. Na figura, está reresentado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência. Fig. Qual das exressões seguintes reresenta, em função de x, a área da arte sombreada? (A) - sin (x) (B) - sin (x) (C) - sin (x) (D) - sin (x)

3 Exames Nacionais 7. Seja z um número comlexo, em que um dos argumentos é. i Qual dos valores seguintes é um argumento de, sendo z o conjugado de z? z (A) (B) (C) (D) Seja b um número real ositivo, e z = b i um número comlexo. Em qual dos triângulos seguintes os vértices odem ser as imagens geométricas dos números comlexos z, (z ) e (z )? (A) (B) (C) (D)

4 .ª fase 009 Gruo II Nas resostas aos itens deste gruo, aresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando, ara um resultado, não é edida a aroximação, aresente semre o valor exacto. 6 i. Em C, conjunto dos números comlexos, considere z = - i 8 e z = cis. - i.. Determine z na forma trigonométrica, sem recorrer à calculadora... Determine o menor valor de n ån, tal que (- i z ) n =-.. De um bilhete de lotaria sabe-se que o seu número é formado or sete algarismos, dos quais três são iguais a, dois são iguais a e dois são iguais a (or exemlo: ). Determine quantos números diferentes satisfazem as condições anteriores.. Uma caixa contém bolas, indistinguíveis ao tacto, numeradas de a 0. As bolas numeradas de a 0 têm cor verde, e as bolas numeradas de a 0 têm cor amarela. Considere a exeriência aleatória que consiste em retirar, sucessivamente, duas bolas da caixa, não reondo a rimeira bola retirada, e em registar a cor das bolas retiradas... Determine a robabilidade de as duas bolas retiradas da caixa terem cores diferentes. Aresente o resultado na forma de fracção irredutível... Na mesma exeriência aleatória, considere os acontecimentos: A: «A. a bola retirada é verde.» B: «A. a bola retirada é amarela.» C: «O número da. a bola retirada é ar.» Qual é o valor da robabilidade condicionada P ((B C) \A)? A resosta correcta a esta questão é P ((B C) \A) =. 9 Numa equena comosição, sem utilizar a fórmula da robabilidade condicionada, exlique o valor dado, começando or interretar o significado de P ((B C) \A), no contexto da situação descrita e fazendo referência: à Regra de Lalace; ao número de casos ossíveis; ao número de casos favoráveis.

5 Exames Nacionais. Sejam f e g duas funções, ambas de domínio R +. Sabe-se que: lim (f (x) - x) = 0 ; x "+? a função g é definida or g (x) = f (x) + x. Prove que o gráfico de g não tem assimtotas oblíquas.. Considere a função g, de domínio R +, definida or g (x) = e x + ln x... Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, elo menos, um zero no intervalo ]0, ; 0,[. Nota: A calculadora ode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos... O gráfico de g contém um único onto A com abcissa ertencente ao intervalo ]0, ] e cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa. Traduza esta situação or meio de uma equação. Resolva a equação, recorrendo às caacidades gráficas da sua calculadora. Indique as coordenadas do onto A, com aroximação às décimas. Reroduza, na folha de resostas, o gráfico, ou os gráficos, visualizado(s) na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial. Assinale o onto A em que se baseou ara dar a sua resosta. 6. Sejam as funções f e h, de domínios ], +?[ e ]-?, [, resectivamente, definidas or f (x) = log (x - ) e or h (x) = log ( - x). Determine, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, o conjunto-solução da condição f (x) + h (x). Aresente o resultado sob a forma de intervalo real. 7. Num certo dia, o Fernando esteve doente e tomou, às 9 horas da manhã, um medicamento cuja concentração C (t) no sangue, em mg/l, t horas aós o medicamento ter sido ministrado, é dada or C (t) = t e - 0,t (t 0) Resolva, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, os dois itens seguintes. 7.. Calcule lim C (t) e interrete esse valor no contexto da situação aresentada. t "+? 7.. Determine a que horas se verificou a concentração máxima. 0 Aresente o resultado em horas e minutos, arredondando estes às unidades. Nota: A calculadora ode ser utilizada em eventuais cálculos numéricos; semre que roceder a arredondamentos, use três casas decimais. FIM

6 Sugestão de resolução. Número de casos ossíveis: Gruo I 0 A 6 (número de sequências de quatro cartas que é ossível definir no conjunto das 0 cartas.) Número de casos favoráveis: * * * * * = 6 (no baralho há Dois, Quatros, Seis, Setes, Damas e Reis.) Probabilidade edida: P = Resosta: (A). 6 0 A 6. P (A) = 0, ; P (B) = 0, ; P (A B) = 0, P (A B) Pretende-se determinar P (A \B) que é igual a. P (B) Comecemos or determinar P (A B) : Como P (A B) = P (A) + P (B) - P (A B), vem 0, = 0, + 0, - P (A B) P (A B) = 0,7-0, P (A B) = 0, P (A B) Portanto, P (A \B) = = 0, 0, = P (B) Resosta: (D).. Tem-se que P (X = x i ) =. ^ i = k Vem então, = k + + k = 8 k = 6 k = k Resosta: (B).. e ln x - log x = = e ln x - log x = x - x log a x = log a x, (a år + \ {}, x år +, år) log a a x = x, (a å R + \ {}, x å R) Resosta: (C). CAESMA Porto Editora. a log (k + x) se x 0 f (x) = d b d sin x se x < 0 c x lim x " 0 + lim x " 0 - f (x) = lim log (k + x) = log k = f (0) x " 0 + sin (x) sin (x) f (x) = lim = lim = * = x " 0 - x x " 0 - x f contínua em R ± f contínua no onto x = 0 lim f (x) = f (0) log k = k = k = Resosta: (D). x " 0

7 Exames Nacionais 6. Se o triângulo [ABC] está inscrito numa circunferência, na qual [BC] é um diâmetro, então o triângulo é rectângulo em A. Atendendo a que o raio da circunferência é igual a vem que BC =. Tem-se, então: AC AC = cos x = cos x AC = cos x BC AB AB = sin x = sin x AB = sin x BC Finalmente, temos: A sombreada = A círculo - A triângulo = r AB * AC - = * sin x * cos x - = - sin x cos x = - sin x Resosta: (A). CAESMA Porto Editora 7. Se é um argumento do número comlexo z, - é um argumento de z, conjugado de z. i z cis r - - Então, = = cis = cis = cis. r cis - i Portanto, é um argumento de. 6 z Resosta: (C). r + r 6 8. Se z = b i, com b år +, tem-se: (z ) = (b i) = b * i = b * (- ) = -b (z ) = (b i) = b * i = b * (- i) = -b i Temos, então, que: a imagem geométrica de z é o onto de coordenadas (0, b) com b > 0 ; a imagem geométrica de (z ) é o onto de coordenadas (- b, 0) com - b < 0 ; a imagem geométrica de (z ) é o onto de coordenadas (0, - b ) com - b < 0. Resosta: (C). Gruo II i. z = - i 8 ; z = cis - i 6 i * ( + i).. z = - i i + i = i + (- ) - (- ) = + = ( - i) * ( + i) - i - (- ) - + i - + i + + i = + = = = + i O resto da divisão inteira de 8 or é.

8 .ª fase 009 \- z = Seja q um argumento de z : z = Œ + = Œ + Œ = = œ a d tg q = = b d c q é do. quadrante œ cis ± é um argumento de z.. (- i z ) n = n = n = cis - cis 6 cis cis n = cis n (- i z ) n n =- cis n = cis = + k, k åz n = + 6k, k åz n = + 6k, k åz - = cis Para k = 0 obtém-se o menor valor ara n ån que é n =.. Pretende-se saber quantos números de sete algarismos é ossível formar com os algarismos O total de números diferentes que é ossível formar é dado or: 7 C * C = * 6 = 0 fl fl " Número de maneiras de escolher a osição dos dois algarismos iguais a entre as quatro fl osições restantes. fl fl " Número de maneiras de escolher a osição dos três algarismos iguais a entre as sete osições ossíveis.. 0 bolas verdes numeradas de a 0. 0 bolas amarelas numeradas de a 0... Número de casos ossíveis: 0 A = 0 * 9 = 80 (Número de sequências de duas bolas que é ossível definir com as 0 bolas disoníveis.) Número de casos favoráveis: 0 * * 0 = 00 fl fl " Número de maneiras de escolher uma bola verde seguida de uma bola amarela. fl fl " Número de maneiras de escolher uma bola amarela seguida de uma bola verde. 00 O valor da robabilidade edida é dado or P =. 80 = 0 9 CAESMA Porto Editora.. P ((B C ) \A) significa a robabilidade de a segunda bola retirada ser amarela e ter número ar, sabendo que a rimeira bola extraída é verde. Dado que não há reosição, aós ter sido extraída uma das vinte bolas, existem 9 bolas ossíveis ara a segunda extracção. Logo, há 9 casos ossíveis. O número de casos favoráveis é ois, aós a extracção de uma bola verde, existem na caixa bolas amarelas com número ar (as bolas amarelas com os números,, 6, 8 ou 0). Segundo a Regra de Lalace, a robabilidade de um acontecimento é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis a esse acontecimento e o número de casos ossíveis, se estes forem todos equirováveis. Assim, alicando a Regra de Lalace, a robabilidade edida é dada or. 9

9 Exames Nacionais. D f = D g =R + g (x) = f (x) + x lim x "+? Dado que (f (x) - x) = 0, odemos concluir que a recta de equação y = x é assimtota do gráfico da função f. f (x) Como o declive desta recta é igual a vem que lim =. x "+? x A assimtota oblíqua do gráfico de g, a existir, terá um declive m dado or g (x) f (x) + x f (x) m = lim = lim = lim f (x) = lim + lim x = +?=+? x + x x "+? x x "+? x x "+? x "+? x x "+? Como m R, não existe assimtota do gráfico de g quando x "+?. Também não existe assimtota do gráfico de g quando x "-? orque o domínio de g é R +. Logo, o gráfico de g não tem assimtotas oblíquas. CAESMA Porto Editora. g (x) = e x + ln x ; D g =R +.. g é uma função contínua or ser definida ela comosta e soma de funções contínuas. Logo, g é contínua em [0, ; 0,] ƒ R + g (0,) = e * 0, + ln 0, ) -,08 < 0 g (0,) = e * 0, + ln 0, ) 0,6 > 0 Assim, g (0,) * g (0,) < 0, e, ortanto, elo corolário do Teorema de Bolzano, odemos concluir que E c å ]0, ; 0,[ : g (c) = 0, ou seja, a função g tem, elo menos, um zero no intervalo ]0, ; 0,[... O onto do gráfico de g cuja abcissa ertence ao intervalo ]0, ] e cuja ordenada é o dobro da abcissa é o onto de intersecção do gráfico de g com a recta de equação y = x. É, ortanto, o onto cuja abcissa é solução da equação g (x) = x e x + ln x = x com x å ]0, ]. Recorrendo à calculadora obteve-se a reresentação gráfica da função g e da função definida or y = x, bem como as coordenadas do onto de intersecção das duas linhas. Foram obtidas as coordenadas do onto A, que, com aroximação às décimas, são A (0, ; 0,6).

10 .ª fase f (x) = log (x - ) ; D f = ] ; +?[. g (x) = log ( - x) ; D g = ]-?; [. O domínio da condição f (x) + h (x) é D = D f D g = ] ; +?[ ]-?, [ = ], [ Para x å ], [ vem: f (x) + h (x) log (x - ) + log ( - x) log (x - ) log + log ( - x) log (x - ) log ( ( - x)) x - ( - x) x - - x x x Como o domínio da condição é o intervalo ], [, o conjunto-solução é. 7. C (t) = t e - 0,t, (t 0) 7.. C (t) = (t e - 0,t lim lim ) = lim t 0,t = lim 0,t = * 0 = 0 t "+? t "+? t "+? e 0, t "+? e 0, e x Atendendo a que se lim x = +?, lim = 0 x "+? x x "+? Este resultado significa que, com o assar do temo, a concentração do medicamento no sangue tende a anular-se, ou seja, o medicamento tende a desaarecer do sangue. 7.. C' (t) = (t e - 0,t )' = (t)' e - 0,t + t (e - 0,t )' = = e - 0,t + t (- 0,) * e - 0,t = e - 0,t ( - 0,6t) e x, = log C'(t) = 0 e - 0,t ( - 0,6t) = 0 e - 0,t = 0-0,6t = 0 0-0,6t = 0 t = t = 0,6 e - 0,t 0 0, A t å R Sinal de C' (t) e variação de C : t 0 C' (t) ? C (t) Máx. CAESMA Porto Editora 0 0 Como = +, h são h e 0 min, ois um terço da hora corresonde a 0 min. Dado que o medicamento foi tomado às 9 h da manhã, a concentração máxima ocorreu às h e 0 min, isto é, h e 0 min deois de ser tomado.