Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. TPC nº 12 (entregar em ) GRUPO I
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- Thomaz Madureira Antunes
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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº (entregar em -0-0) GRUPO I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio. Um dos lados do triângulo é um diâmetro de circunferência. Qual das epressões seguintes representa, em função de, a área da parte sombreada. π (A) π sen( ) (B) sen( ) (C) π sen( ) (D) sen( ) π. Seja um número real positivo. Qual das epressões seguintes é igual a ln log e 0? (ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo da base 0.) (A) ln log (B) + (C) (D) ln log 3. De um baralho com 0 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, pela ordem que as recebe. Qual é a probabilidade de o jogador obter a sequência 7 Dama Rei, nas cartas recebidas? (A) A 0 (B) C 0 (C) 0 A (D) 0 C Professora: Rosa Canelas
2 . Considere uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades é dada pela tabela seguinte. Qual é o valor de k? (A) (B) (C) 3 (D). Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função afim f, de domínio IR. Seja h a função definida por h( ) = f ( ) + e Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função h, segunda derivada de h? GRUPO II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efetuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eato.. Efetua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de a. Considere que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baio. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam A e B os acontecimentos seguintes: A: «sair número ímpar»; B: «sair número maior do que». Sabe-se que: P( A B) 0, = P( A) P( A) P A B = 0,8 = ( ) Professora: Rosa Canelas
3 Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado». Construa a tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X. Nota: apresente todas as justificações e todos os cálculos que efetuar na determinação dos valores das probabilidades.. Considere a função f, de domínio IR, definida por f ( ) 3 = + ln se < se.. O gráfico de f admite uma assíntota horizontal. Seja P o ponto de interseção dessa assíntota com a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e. Determine as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos eclusivamente analíticos... Eistem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas. Determine as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. Na sua resposta, deve: equacionar o problema; reproduzir o gráfico da função ou os gráficos das funções que tiver necessidade de visualizar na calculadora, devidamente identificado(s), incluindo o referencial; assinalar esses pontos; indicar as coordenadas desses pontos com arredondamento às centésimas. 3. Na figura estão representados: O círculo trigonométrico; A reta BC definida pela equação = ; π O ângulo EOD de amplitude α 0, ; O pentágono [OABCD]. Seja f a função que a cada valor de α faz corresponder a área do pentágono [OABCD]. α = α α. 3.. Mostre que f ( ) sen( ) sen( ) 3.. Calcule a área do pentágono se 3.3. Calcule lim f ( ) π π α =. α e interprete, em termos geométricos, o significado do valor encontrado. Questões Total Cotações: Professora: Rosa Canelas 3
4 Professora: Rosa Canelas
5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº Proposta de resolução GRUPO I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 0 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos.. (A) Na figura, está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio. Um dos lados do triângulo é um diâmetro de circunferência. A área da parte sombreada, em função de é dada por: sen cos A = π = π sen ( ). (C) Seja um número real positivo. ln log ln log e 0 = e 0 = (ln designa logaritmo de base e; log designa logaritmo da base 0.) 3. (A) De um baralho com 0 cartas, repartidas por quatro naipes (Copas, Ouros, Espadas e Paus), em que cada naipe contém um Ás, uma Dama, um Valete, um Rei e seis cartas (do Dois ao Sete), foram dadas sucessivamente, ao acaso, seis cartas a um jogador, que as coloca na mão, pela ordem que as recebe. A probabilidade de o jogador obter a sequência 7 Dama Rei, nas cartas recebidas é A. 0. (B) Considere uma variável aleatória X, cuja distribuição de probabilidades é dada pela tabela seguinte. Professora: Rosa Canelas
6 O valor de k é dado pela solução de k + + k = k + + k = 8 3k = k =. 8. (A) Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico de uma função afim f, de domínio IR. Seja h a função definida por h( ) = f ( ) + e h, segunda derivada de h é dada por h ( ) = 0 + e = e logo parte do seu gráfico é GRUPO II. Efetua-se um único lançamento de um dado tetraédrico, com as faces numeradas de a. Consideremos que o «número que sai» é o número que está na face que fica voltada para baio. O dado não é equilibrado, pelo que os quatro números não têm a mesma probabilidade de sair. Sejam A e B os acontecimentos seguintes: A: «sair número ímpar»; A = {,3 } B: «sair número maior do que». B = { 3,} Sabe-se que: P( A B) 0, = P( A) P( A) Sabendo que A B = { 3} podemos concluir que ( ) P A B = 0,8 = ( ) P X = 3 = 0, Sabendo que A B = {,3, } podemos concluir que A B { } P( X = ) = P( A B) = P( A B) = 0,8 = 0, Como P( A) P( A) 0, = e que = = podemos então concluir que ( ) ( ) concluímos que P( X = ) = 0, 0, = 0, e que ( ) ( ) ser: P( X = ) = 0, 0, = 0,3 P X = + P X = 3 = 0, donde P X = + P X = = 0, donde concluímos Seja X a variável aleatória «número saído no lançamento efetuado». A tabela de distribuição de probabilidades da variável aleatória X é: i 3 P( X = i ) 0, 0, 0, 0,3 Professora: Rosa Canelas
7 . Consideremos a função f, de domínio IR, definida por f ( ) 3 = + ln se < se 3.. O gráfico de f admite uma assíntota horizontal, porque lim = 0 e + ln ln lim = lim + lim = = A equação da assíntota é y = 0 Seja P o ponto de interseção dessa assíntota com a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e. Determinemos a equação da tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa e: Como e > calculemos a derivada: lne f = = e e ( e) Calculemos f ( e) + lne 3 = = e e A equação da tangente é ( ) ( ln ) ln + + ln ln = = = e 3 3 y = e y = + + y = + e e e e e e e Determinemos as coordenadas do ponto P recorrendo a métodos eclusivamente analíticos. e y = y 0 y 0 y 0 e + e = = e = e = = então e P,0.. Eistem dois pontos no gráfico de f cujas ordenadas são o cubo das abcissas ou seja y = 3 Determinemos as coordenadas desses pontos recorrendo à calculadora gráfica. Os pontos têm coordenadas ( a,b ) com a, e b, e ( c,d ) com c, e d,80 3. Na figura estão representados: O círculo trigonométrico; A reta BC definida pela equação = ; Professora: Rosa Canelas 7
8 π O ângulo EOD de amplitude α 0, ; O pentágono [OABCD]. Seja f a função que a cada valor de α faz corresponder a área do pentágono [OABCD]. α = α α : 3.. Mostremos que f ( ) sen( ) sen( ) Calculemos OA = senα O outro cateto do triângulo a tracejado mede cosα Assim podemos calcular a área do pentágono ou adicionando a área do trapézio onde está marcado o ângulo com a do retângulo com comprimento e altura OA subtraindo ao trapézio maior a área do triângulo a tracejado: + cosα senα senα cos α + senα A = senα + senα = = senα cos α senα = senα sen α Ou ( ) + cosα + cosα cosα senα cos α senα A = senα = senα = senα sen ( α ) 3.. Calculemos a área do pentágono se π α = : 8 f π sen π sen π = = = 3.3. Calculemos ( ) π = senα ou π lim f α = sen senπ = 0 = este valor representa a área do quadrado de lado, para que tende o pentágono quando tende para π, evidentemente por valores menores, para poderem estar dentro domínio. Professora: Rosa Canelas 8
9 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos TPC nº Critérios de classificação GRUPO I Concluir que P( X = ) Concluir que P( X = ) Concluir que P( X = 3) Concluir que P( X = ) Construir a Tabela de probabilidades Calcular lim 3 + ln Calcular lim + 3 Escrever equação da assíntota Calcular + ln Calcular f ( e) Calcular f ( e ) Escrever equação da reta tangente a f em = e Escrever y = y 0 e + e = Obter e y = 0 = Professora: Rosa Canelas 9
10 Escrever as coordenadas de P Escrever a equação y = 8 Apresentar o/os gráficos 0 Assinalar os pontos Apresentar as coordenadas na forma pedida Calcular OA Calcular o outro cateto do triângulo tracejado Calcular área do trapézio Calcular área do triângulo ou do retângulo Concluir a área do trapézio π Escrever A = f π Calcular A = f Calcular lim f ( ) π α 0 Interpretar geometricamente o resultado 0 Total 00 Professora: Rosa Canelas 0
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