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Benedita Sintra Fidalgo
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3 1. Uma urna contém 5 bolas, numeradas de 1 a 5 e indistinguíveis ao tato. Retiram-se sucessivamente 3 bolas com reposição e em cada extração anota-se o número obtido. Qual a probabilidade de com esses números poder formar uma capicua? (A) 1 6 (B) 5 24 (C) 1 5 (D) Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio R e contínua em R\{ 2}. As retas de equações x = 2 e y = 1 são as únicas assintotas do gráfico de g. Seja (x n ) uma sucessão tal que lim x + g(x n) = +. Qual das expressões seguintes pode ser o termo geral da sucessão (x n )? (A) n (B) 2 1 n (C) n (D) 1 1 n 3. Seja z um número complexo, em que um dos argumentos é π 3. Qual dos valores seguintes é um argumento de 2i, sendo z o conjugado de z? z (A) π 6 (B) 2π 3 (C) 5π 6 (D) 7π 6 Página 3 de 9

4 4. Seja E o espaço de resultados associado a uma determinada experiência aleatória. A e B são dois acontecimentos contidos em E. Sabe-se que: P(A B ) = 1 5 P(A B ) = 90% P(B) = 60% Qual o valor de P(A B )? (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 4 (D) O número complexo z tem a sua imagem geométrica na parte negativa do eixo real. As imagens das raízes quartas de z são os vértices de um dos quadrados apresentados. Qual poderá ser esse quadrado? (A) (B) (C) (D) 6. Na figura está parte do gráfico de uma função h, de domínio R. Sejam h e h a primeira e segunda derivadas de h, respetivamente. Admita que estas duas funções também têm domínio R. Qual das expressões designa um número positivo? (A) h(0) + h (0) (B) h (0) h (0) (C) h (0) h (0) (D) h(0) h (0) Página 4 de 9

5 7. Para um certo número real positivo k, é continua a função f, de domínio R, definida por: f(x) = { log 3 (k + x) se x 0 2 sin( x 2 ) x se x < 0 Qual o valor de k? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) Nenhum dos anteriores 8. Seja x um número real positivo. Qual das expressões seguintes é igual a 3 2 log 3(x 2 ) 5 log 3 x? (A) x 4 x 5 (B) 2x 2 5x (C) 1 x (D) log 3 x 4 log 3 x 5 1. Considere as 13 cartas do naipe de copas: ás, três figuras (rei, dama e valete) e mais nove cartas (do 2 ao 10). Determine a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, 4 das 13 cartas do naipe de copas, obter pelo menos duas figuras. Apresente o resultado na forma de fração irredutível. Página 5 de 9

6 2. C é o conjunto dos números complexos. i designa a unidade imaginária. ( 3 2i) 2 +(2cis π 9 ) Sem recorrer à calculadora, determine Apresente o resultado na forma algébrica. cis 3π Seja α um número real. Sejam z 1 e z 2 dois números complexos tais que: z 1 = cis α z 2 = cis (α + π) Mostre que z 1 e z 2 não podem ser ambos raízes cúbicas de um mesmo número complexo. 3. Considere a função f, de domínio ] 5; + [ definida por: f(x) = sin(x + 3) x 2 + 8x + 15 se 5 < x < 3 { x 2 e x 2 + kx se x 3 Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora: 3.1. Sabendo que o ponto de coordenadas ( 2; 7) pertence ao gráfico de f, estude-o quanto à existência de assintotas não verticais Suponha que k = Mostre que f é continua em ] 5; + [ \ { 3} e descontinua em x = 3. Página 6 de 9

7 Em apenas um dos intervalos a seguir apresentados é possível aplicar o teorema de Bolzano à equação f(x) = 3. (A) [ 5; 4] (B) [ 4; 2] (C) [ 2; 1] (D) [ 1; 0] Numa pequena composição, explique por que razão não é possível aplicar o Teorema de Bolzano em cada um dos outros intervalos Seja g a função de domínio ] 9 ; 3[ definida por g(x) = log 2 5(2x + 9) + 1. Considera, num referencial o.n. xoy, os gráficos das funções f e g e o triângulo [ABC], sabendo que: A é o ponto de interseção do gráfico de f com o gráfico de g. B é o ponto do eixo Oy com a mesma ordenada de A. C é o ponto de interseção do gráfico f com a reta r: y = g(2). Determine a área do triângulo [ABC] recorrendo à calculadora gráfica. Utilize valores arredondados às centésimas. Na sua resposta deve: Reproduzir os gráficos das funções f e g, devidamente identificados. Incluindo o referencial e a reta r. Assinalar os pontos A, B e C. 4. Seja E o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória e sejam A e B dois acontecimentos compatíveis de E, ambos com probabilidade não nula. Prove que P(A)+P(B) 1 P(A ) P(B A ) Considere a função f, de domínio [0; + [ definida por: f(x) = { e 2 x 1 x 2 x+1 ln(x+1) se 0 x < 2 se x 2 Verifique se a função f admite x = 2 como assintota vertical do seu gráfico. Página 7 de 9

8 6. Uma rampa de skate foi construída entre duas colonas A e B, distanciadas 5 metros, como se mostra na figura. Considere a função h definida por: h(x) = 6 2 ln( x 2 + 5x + 6), 0 x 5 Admita que h(x) é a altura, em metros, do ponto da rampa situado a x metros à direita da coluna A. Sem recorrer à calculadora: Estude a função h quanto à monotonia e conclua dai que, tal como a figura sugere, é num ponto equidistante das duas colunas que a altura da rampa é mínima. 7. Na figura estão representados, no circulo trigonométrico, dois triângulos [ABO] e [CDO]. Sabe-se que: O ponto C pertence ao eixo Oy; [AD] é um diâmetro do círculo; [CD] é paralelo ao eixo Ox; α é a amplitude do angulo AOP; α ] π ; π[; Mostre que a soma das áreas dos dois triângulos é dada em função de α,por: A(α) = sin α(1 cos α) Sem usar a calculadora, determine o valor de α que maximiza a soma das áreas dos dois triângulos. FIM Página 8 de 9

9 COTAÇÕES Grupo I...(8 5 pontos) pontos Grupo II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos Total pontos Página 9 de 9

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