ESCOLA SECUNDÁRIA DA RAMADA. Teste de Matemática A. Grupo I

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1 ESCOLA SECUNDÁRIA DA RAMADA Teste de Matemática A 30 de maio de º A Versão 1 Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. 1. Em C, conjunto dos números complexos, considere os números z = cisθ e w = 2cis ( 7π z2 ). Para que valor de θ se pode garantir que é um número 5 w real negativo? (A) 3π 10 (B) 11π 20 (C) 4π 5 (D) π 2. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = cos ( π 7 ) i sin (π 7 ). Um argumento do número complexo z é: (A) π 7 (B) 6π 7 (C) π 7 (D) 6π 7 Versão 1 1 / 5

2 3. Para um certo número real k, é contínua a função f, definida por: sin( x) f(x) = { 2x se x < 0 log 4 (x + k) se x 0 Qual é o valor de k? (A) 1 4 (B) 1 2 (C) 1 2 (D) 2 4. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico de f, primeira derivada de uma função f, de domínio IR. Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função f, segunda derivada da função f? (A) (B) (C) (D) Versão 1 2 / 5

3 5. Na figura está representada, num referencial o.n. xoy, parte do gráfico da função g de domínio IR, definida por g(x) = e 2x 5x. Sabe-se que a reta r é tangente ao gráfico da função g no ponto de abcissa a e tem inclinação de π 4 radianos. Qual é o valor de a? (A) ln ( 3 ln 6 ) (B) 2 2 (C) 1 2 ln (5 2 ) (D) ln 3 Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Seja f a função, de domínio IR, definida por: 3x + 1 xe x se x < 0 f(x) = { x cos x se x Determine f ( π ) recorrendo à definição de derivada de uma função 2 num ponto O gráfico da função f tem uma assíntota oblíqua quando x. Determine a equação reduzida dessa assíntota. Versão 1 3 / 5

4 2. Relativamente à figura, sabe-se que: O ponto B pertence ao segmento de reta [AC] Os pontos A e D pertencem à circunferência que tem centro no ponto B e raio igual a 4 O segmento de reta [BD] é perpendicular ao segmento de reta [AC] BC = 2 Admita que um ponto P se desloca ao longo do arco AD, nunca coincidindo com A nem com D, e que um ponto E acompanha o movimento do ponto P de forma que o quadrilátero [PBCE] seja um trapézio retângulo. O ponto Q é a interseção do segmento de reta [PE] com o segmento de reta [BD]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo EPB e seja S(x) a área do trapézio [PBCE] Mostre que S(x) = 8 sin x + 4 sin(2x) (x ]0, π [) Estude a função S quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora. Na sua resposta, deve apresentar: O(s) intervalo(s) em que a função é crescente; O(s) intervalo(s) em que a função é decrescente; Os valores de x para os quais a função tem extremos relativos, caso existam Recorrendo à calculadora gráfica, determine entre que valores deve 25 Pontos variar x de modo que a área do trapézio [PBCE] seja superior a S ( π 4 ). Na sua resposta deve: Traduzir o problema por uma condição; Reproduzir o(s) gráfico(s) que achar necessário(s) para a resolução do problema, bem como assinalar os pontos relevantes; Indicar o conjunto solução da condição (valores arredondados às centésimas). Versão 1 4 / 5

5 3. Seja f uma função de domínio IR +, cuja derivada, f, de domínio IR +, é dada por f (x) = Mostre que f (x) = 2 2 ln x x. 4+2 ln x x 2 e estude a função f quanto ao sentido das concavidades do seu gráfico e quanto à existência de pontos de inflexão. 25 Pontos 4. Considere, no plano complexo representado na figura, o pentágono regular [ABCDE] centrado na origem do referencial. Considere também os números complexos z A = 3 e v = 6 2i. Sabe-se que: O vértice A pertence ao semieixo positivo real e é a imagem geométrica de z A O vértice B pertence ao quarto quadrante e é a imagem geométrica do número complexo z B. Resolva os itens seguintes sem usar a calculadora Sabe-se que w = 3 2cis(21π. Mostre que w = z B. 10 ) v Resolva a equação z 3 i 59 v = 0. Apresente as soluções da equação na forma trigonométrica FIM Versão 1 5 / 5

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