Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 15 de junho de 2015 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

Transcrição

1 Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 15 de junho de 2015 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Primeira Parte As oito questões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais uma e apenas uma está correta. Escreva na folha de resposta a letra correspondente à alternativa que selecionar para responder a cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente quaisquer cálculos. 1. A senha de acesso a um determinado serviço na internet é constituído por seis caracteres. Dois desses caracteres são obrigatoriamente algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9) e os quatro restantes são obrigatoriamente uma vogal maiúscula (A, E, I, O ou U). Por exemplo, AI2E2U e U1EEA8 são senhas válidas. Quantas senhas válidas existem? A) B) C) D) A soma dos elementos de uma dada linha do triângulo de Pascal é igual a Qual é o quarto elemento dessa linha? A) 286 B) 495 C) 220 D) Considere a função definida em R + por f(x) = 2log 5. x3 25 /. Qual das seguintes expressões pode também definir a função f? A) 3log 5 (x) B) 6log 5 (x) 4 C) 6log 5. x 25 / D) 6log 5(x) Considere a função f definida em R por f(x) = sin(e 3x ). Qual das seguintes expressões define a função derivada de f? A) cos(3e 3x ) B) 3e 3x cos(3e 3x ) C) 3cos(e 3x ) D) 3e 3x cos(e 3x )

2 5. Considere a função f definida em R + por f(x) = ln(3x) e o ponto M, interseção do respetivo gráfico com o eixo das abcissas. Qual das seguintes equações define a reta tangente ao gráfico da função f no ponto M? A)y = x 1 3 B) y = 6x 2 C) y = 6x 3 D) y=3x 1 6. Considere um número complexo não nulo z tal que Re(z) > 0 e Im(z) = Re(z). A que quadrante do plano de Argand pertence a imagem geométrica de z 27? A) Ao 1.º Quadrante B) Ao 2.º Quadrante C) Ao 3.º Quadrante D) Ao 4.º Quadrante 7. Quantas raízes da equação z 9 = 2 têm por imagem geométrica pontos do segundo quadrante? A) Nenhuma B) Duas C)Três D) Quatro 8. Considere uma função f de domínio R e de contradomínio, 3, 5-. Qual o contradomínio da função g definida em R pela expressão g(x) = f(x 1) + 3? A),6,8] B),5,7- C),3,5- D),3,8-

3 Segunda Parte Nas questões desta segunda parte apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. 9. Considere os números complexos z 1 = i e z 2 = 5(1 + i 7 ). a) Escreva o número complexo w = iz z 2 na forma trigonométrica. b) Determine todos os valores de θ R tais que z = z 1 z 2 cis(2θ) seja um número real positivo. 10. Seja Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Dado um acontecimento X Ω, denota-se por P(X) a probabilidade de X e por X o acontecimento contrário de X. Sejam A e B dois acontecimentos, com P(B) < 1. Prove que P(A B) = P(A) P(B ) + P(A B ) P(B ), começando por justificar que P(B ) Colocam-se ao acaso 5 moedas de um 1 euro e 6 moedas de 50 cêntimos num tabuleiro quadrado de 16 casas. a) Qual a probabilidade de uma das quatro linhas horizontais ficar totalmente por preencher? b) Qual a probabilidade de uma das diagonais ficar preenchida com moedas do mesmo valor? 12. Considere a função f, de domínio R +, definida pela expressão f(x) = 3x 2 ln(x) + 1 x. Utilizando meios exclusivamente analíticos: a) Estude a função f quanto à monotonia e quanto à existência de extremos relativos. b) Estude o sentido das concavidades do gráfico de f. c) Estude a existência de assíntotas ao gráfico de f. d) Faça um esboço do gráfico de f.

4 13. Seja f a função, de domínio R\*0+, definida por 7x { e 3x 1 sin (7x) 3x se x > 0; se x < 0; Responda às seguintes questões utilizando métodos exclusivamente analíticos. a) Indique, justificando, que valor se deve atribuir a f(0) por forma a obter-se uma função contínua em R. b) Mostre, utilize o Teorema de Rolle, a existência de x 0 1 π, π 14 0 tal que f(x 0) = Considere a função f definida em D =,0, +, pela expressão f(x) = ln (3x + e x ). a) Calcule lim x 0 f(x) b) Calcule lim x + f(x) c) Calcule lim x + f (x) 15. Considere um trapézio isóceles,abcd-, com BC = AD = 7cm, AB DC, AB < CD e AB = 5 cm. Seja α 10, π 0 a amplitude, em radianos, do 2 ângulo DCB. a) Mostre que a medida da área de,abcd- é dada, em centímetros quadrados, por A(α) = 49 sin α cos α + 35 sin α. b) Explicite A (α) e calcule, com arrendondamento às décimas, o valor α 0 10, π 2 0 tal que A (α 0 ) = 0. c) Calcule o valor exacto de A(α) sabendo que tan(α) =5.

5 Cotações Primeira parte. 40 pontos Cada resposta certa. 5 pontos Cada resposta errada...0 pontos Cada questão não respondida ou anulada... 0 pontos Segunda parte pontos pontos 9.a..10 pontos 9.b..10 pontos pontos pontos 11.a...5 pontos 11.b.10 pontos pontos 12.a.10 pontos 12.b.10 pontos 12.c.10 pontos 12.d.10 pontos pontos 13.a.10 pontos 13.b...5 pontos pontos 14.a....5 pontos 14.b..10 pontos 14.c..10 pontos pontos 15.a..10 pontos 15.b.. 10 pontos 15.c.. 5 pontos

6