Grupo I Cada resposta certa...10 Grupo II

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1 Provas de Acesso ao Ensino Superior Para Maiores de Anos Candidatura de 014 Exame de Matemática Tempo para realização da prova: horas Tolerância: 0 minutos Material necessário: Material de escrita. Máquina de calcular científica (não gráfica). A prova é constituída por dois grupos, I e II. O grupo I inclui 7 questões de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma está correta. Se apresentar mais do que uma resposta ou se a resposta for ilegível, a questão será anulada. Não apresente cálculos nem justificações. Escreva na folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera correta. O grupo II inclui 4 questões de resposta aberta. Nas questões deste grupo apresente de forma clara o seu raciocínio, indicando todos os cálculos que efetuar e todas as justificações necessárias. Cotações Grupo I Cada resposta certa...10 Grupo II /1 1/8

2 Formulário Área de figuras planas: Triângulo: Losango: Trapézio: Base Altura Círculo: πr ; r raio Diagonal Maior Diagonal Menor Base Maior + Base Menor Altura Perímetro de figuras planas: Circunferência: πr; r raio Volumes: Paralelepípedo retângulo: Área da base Altura Pirâmide: 1 Área da Base Altura Cone: 1 Área da Base Altura Esfera: 4 πr ; r raio Progressões: Termo de ordem n de uma progressão de razão r: Aritmética: u n = u 1 + (n 1)r Geométrica: u n = u 1 r n 1 Soma dos n primeiros termos de uma progressão de termo geral u n e razão r: Aritmética: S n = u 1 + u n n Geométrica: S n = u 1 1 rn (r 1) 1 r Regras de Derivação: (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv ( u v ) = u v uv v (u n ) = nu n 1 u (sen u) = u cos u (cos u) = u sen u (tg u) = u cos u (e u ) = u e u (ln u) = u u /8

3 Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos: α sen α cos α tg α 0 o o 1 45 o 1 60 o 1 90 o Fórmulas trigonométricas sen(x) = sen x cos x cos(x) = cos x sen x tg(x) = tg x 1 tg x /8

4 Grupo I 1. Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio R Em qual das figuras seguintes poderá estar representada parte dos gráficos de duas funções, g e h, de domínio R, tais que f = g h? (A) (B) (C) (D). Seis quadrados de lado l formam a figura O perímetro do triângulo [BEC] é: (A) ( ) l (B) ( ) l (C) ( ) l (D) ( + + 5) l 4/8

5 . Uma instituic a o banca ria oferece uma taxa de juro de 5% ao ano para depo sitos numa certa modalidade, com capitalizac a o de juros, isto e, no final de cada ano, o juro obtido e adicionado ao capital existente, sendo a taxa de juro, no ano seguinte, aplicada sobre esse valor. Um cliente desse banco fez um depo sito de euros, nessa modalidade. Qual e, em euros, o capital desse cliente, relativo a esse depo sito, passados 6 anos? (A) (B) (C) (D) Seja f a func a o definida em R+ por f (x) = ln(x). Enta o f ( xe ) + f (ex) e igual a: (A) ln (C) 1 e x + ex (B) ln e x ln(ex) (D) 5. Na figura seguinte esta representada parte da representac a o gra fica de uma func a o g, de domı nio R \ {0}. Qual das figuras seguintes podera ser parte da representac a o gra fica da func a o g 0, derivada de g? (A) (B) (C) (D) 5/8

6 6. A derivada da função h, definida por h(x) = cos x 1 sen x, é: (A) 1 + sen x 1 (B) cos x (1 sen x) (C) 1 + sen x cos x (D) 1 1 sen x 7. Simplificando-se a expressão obtém-se: (A) (B) + (C) + 1 (D) /8

7 parte do gráfico de uma função afim g. Qual das seguintes condições pode ter como conjunto solução o conjunto? Grupo II (A) f( x) g( x) 0 (B) f( x) g( x) 0 f( x) 1. Considere a seguinte (C) sequência 0 de figuras, em(d) que ( gx ( ) f g os )( x ) três 0 primeiros termos estão representados abaixo. O quadrado tem cm de lado. 5. Considere a seguinte sequência de figuras em que o quadrado tem cm de lado. Seja a sucessão dos valores das área brancas nas diversas figuras. O termo geral da sucessão é: Em cada quadrado da sequência, todos os círculos sombreados têm o mesmo raio. (A) Internet: (B) (C) (D) 1.1. Indique o número de círculos sombreados na 5 a figura da sequência. 1.. Seja a n a sucessão do valor da área de cada círculo colorido em cada uma das figuras. Determine o termo geral da sucessão a n. ª PARTE Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias. Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto. 1.. Seja b n a sucessão dos valores das áreas brancas nas diversas figuras. Determine o termo geral da sucessão b n. 1. Num certo dia, uma localidade foi invadida por uma praga de insectos.. Pretende-se Verificou-se construir que o número um jardim de insectos junto, aem umilhares, lago, evoluiu conforme com o ilustra tempo t, em a figura. meses, até serem exterminados de acordo com o seguinte modelo matemático: Três lados do jardim confinam com o lago e os outros três ficam definidos por uma rede. Os lados consecutivos do jardim têm de ser sempre perpendiculares. As dimensões indicadas na figura estão expressas em metros. Página / 5 Tal como a figura mostra, x é a medida, em metros, de um dos lados do jardim. Vão ser utilizados, na totalidade, 100 metros de rede. Lago 10 m 0 m Jardim Rede x Rede Rede.1. Mostre que a área do jardim, em m, é dada em função de x por:.. Sem recorrer à calculadora, determine: f(x) = x + 40x a) o valor de x para o qual é máxima a área do jardim; b) a área máxima. 7/8

8 . A pedido de um dos clientes, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima com a forma de um trapézio, em que AB = BC = CD = dm. Designando por θ a medida da amplitude (em radianos) do ângulo ADC, onde θ ] 0, π [ :.1. Exprima a altura h do trapézio e o comprimento da base maior do trapézio em função de θ... Mostre que a área A(θ) do trapézio é dada, em dm, por: A(θ) = 4 sen θ + sen(θ)... Determine o valor de θ para o qual a área do trapézio é máxima e calcule essa área. 4. Num lago onde não havia peixes, introduziram-se, num determinado momento, alguns peixes. Admita que, t anos depois, o número de peixes existentes no lago é dado aproximadamente por 000 f(t) = 1 + ke 0,1t onde k designa um número real Determine o valor de k, supondo que foram introduzidos 100 peixes no lago. 4.. Admita agora que k = 4. Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar cálculos numéricos, resolva analiticamente o problema: Ao fim de quantos anos o número de peixes no lago atinge o meio milhar? Apresente o resultado arredondado às unidades. Notas: 1) Se em cálculos intermédios proceder a arredondamentos, conserve no mínimo três casas decimais. ) Apresente os cálculos efetuados. FIM 8/8