Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II. 2º Teste de avaliação.

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. Em qual das figuras esse ângulo pode ter 6 radianos de amplitude? (A) (B) (C) (D) 2. Considere um vector AB tal que AB = 1 Qual é o valor do produto escalar AB BA? (A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2 3. Considere, num referencial o. n. xoy, a recta r de equação 1 2 y = x Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( 1,4 ). Qual é a equação reduzida da recta s? (A) y = 3x 1 (B) y = 3x + 1 (C) y = 3x + 7 (D) y = 3x + 1 Professora: Rosa Canelas 1

2 4. Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α, de equação x + 2y z = 2 Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto ( 0,1,2 ). Qual das condições seguintes é uma equação do plano β? (A) x + 2y z = 1 (B) x + z = 2 (C) x 2y + z = 0 (D) x y + z = 1 5. Considere, num referencial o.n. xoy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: r : ( x,y) = ( 1,3 ) + k ( 2,0 ),k R e 4 s :y = x Qual é a amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades)? (A) 37º (B) 39º (C) 41º (D) 43º Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto. 1. Observe a figura e determine o comprimento da ponte AC. 2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 4. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do π π ângulo BAP x, 4 2. Resolva as questões seguintes usando valores exactos Mostre que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 8 A x = 16 tgx Professora: Rosa Canelas 2

3 2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é Para um certo valor de x, sabe-se que x, a área da região sombreada. π 12 cos x + =. Determine, para esse valor de Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4. O vértice A pertence ao eixo Oz. O vértice B pertence ao plano yoz. O vértice D pertence ao plano xoz. O vértice C tem coordenadas ( 4,4,4 ). A altura da pirâmide é Justifique que as coordenadas do ponto E são ( 2,2, 2) Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4 x 4 = y = Determine uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta DE. 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R R um ponto fixo, exterior à circunferência Exprima RA em função de RB e BA e mostre que: RA RA = RA RB 4.2. Identifique o conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB PA = 0 A A' O B FIM Professora: Rosa Canelas 3

4 Cotações Questão Cotação Professora: Rosa Canelas 4

5 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação Grupo I 1. (D) Em cada uma das figuras seguintes, está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox. É na figura (D) que está representado um ângulo que pode ter 6 radianos de amplitude porque 6r 344º 2. (B) Considere um vector AB tal que AB = 1 O valor do produto escalar AB BA AB BA = 1 1 cos 180º = 1 é ( ) 3. (D) Considere, num referencial o. n. xoy, a recta r de equação 1 2 y = x Seja s a recta perpendicular a r que passa no ponto de coordenadas ( 1,4 ). A equação reduzida da recta s é é da forma y = 3x + b porque uma recta perpendicular a outra tem declive igual ao simétrico do inverso do declive da recta dada. Porque passa em ( 1,4 ) será 4 = 3 1+ b b = 1. A equação da recta é y = 3x (C)Num referencial o.n. Oxyz, considere o plano α, de equação x + 2y z = 2 Seja β o plano que é paralelo a α e que contém o ponto ( 0,1,2 ). Entãoβ tem uma equação do tipo x + 2y z = D que é verificada pelas coordenadas do ponto = D D = 0 e finalmente a equação do plano β é x + 2y z = 0 x 2y + z = 0 5. (B) Considere, num referencial o.n. xoy, as rectas r e s, definidas, respectivamente, por: r : ( x,y) = ( 1,3 ) + k ( 2,0 ),k R e 4 s :y = x Professora: Rosa Canelas 5

6 A amplitude, em graus, do ângulo destas duas rectas (valor arredondado às unidades) é dado r.s por cos( r ɵ,s ) = onde r = ( 2,0 ) e s = ( 5,4). Então r s + ( ) cos( r,s) cos r,s ɵ = ɵ = pelo que 1 10 r,s ɵ = cos e 2 41 r,s ɵ 39º Grupo II 1. Observemos a figura para determinarmos o comprimento da ponte AC. Considerando a altura do triângulo em relação ao lado [AC] podemos calcular b e h através do ângulo de 30º e do lado que nos são dados: Cálculo de h: h 1 sen( 30º ) = h = 200 h = A a 50º h B b 200 m 30º C Cálculo de b: ( ) b 3 cos 30º = b = 200 b = Calculemos agora a, a partir do ângulo de 50º e de h: Cálculo de a: tg( 50º ) = 100 a = 100 a tg 50º ( ) Finalmente calculamos 100 AC = a + b = ,12m tg 50º ( ) 2. Na figura, está representado o quadrado [ABCD] de lado 4. Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com o ponto C, nem com o ponto D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do π π ângulo BAP x, 4 2. Resolvamos as questões seguintes usando valores exactos. Professora: Rosa Canelas 6

7 2.1. Mostremos que a área da região sombreada é dada em função de x, por ( ) 8 A x = 16 tgx Pela expressão dada verificamos que esta área é a área do quadrado menos a área do triângulo [ADP]. A área do quadrado é 16. π o triângulo [ADP] é um triângulo rectângulo com um ângulo igual a x e outro a x. 2 Sendo x a amplitude do ângulo APD podemos tirar que 4 4 tgx = DP =. DP tgx A área do triângulo é 4 4 tgx 8 A = A = 2 tgx A área da região sombreada é em função de x, ( ) 8 A x = 16 tgx 2.2. Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é = 16 48tgx 8 3tgx = 48tgx tgx = 24 tgx = 3 tgx π π π tgx = tgx = 3 x =, considerando que x, Para um certo valor de x, sabe-se que valor de x, a área da região sombreada. π 12 cos x + =. Determinemos, para esse 2 13 Ora π cos x + = senx = senx = A partir de senx calculemos cosx cos x = 1 cos x = 1 cos x = ± cos x = 13 Sabendo senx e cos x podemos calcular A área da região sombreada é neste caso tgx = tgx = π π e como x, A = 16 A = 16 A = será Professora: Rosa Canelas 7

8 3. Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular. A base da pirâmide está contida no plano de equação z = 4. O vértice A pertence ao eixo Oz. O vértice B pertence ao plano yoz. O vértice D pertence ao plano xoz. O vértice C tem coordenadas ( 4,4,4 ). A altura da pirâmide é Justifiquemos que as coordenadas do ponto E são ( 2,2, 2). A cota é 2 porque a altura da pirâmide é 6 e a base está num plano de cota 4, pelo que a cota de E é 4 6 = 2 A abcissa e a ordenada de E são a abcissa e a ordenada do centro da base que dadas as condições da figura tem coordenadas ( 2,2,4 ). Finalmente E( 2,2, 2) 3.2. Mostre que uma condição que define a recta DE é z 4 x 4 = y =. 3 O ponto D tem coordenadas ( 4,0,4 ) pelo que DE = ( 2,2, 6) 1 DE 1, 1,3. 2 vector de coordenadas = ( ), vector este paralelo ao A condição que define a recta que passa em D e tem a direcção de x 4 y z 4 z 4 = = x 4 = y = DE é Determinemos uma equação do plano que contém o ponto B e é perpendicular à recta DE. Trata-se de um plano que passa por B e pode ter como vector normal o vector de coordenadas ( 1, 1,3 ). Uma sua equação será do tipo x y + 3z = D e verificada pelas coordenadas do ponto B( 0, 4,4 ) fica = D D = 8. Uma equação do plano é x y + 3z = 8 4. Seja [AB] um diâmetro qualquer da circunferência de centro O e R um ponto fixo, exterior à circunferência. Professora: Rosa Canelas 8

9 4.1. Comecemos por: exprimir RA em função de RB e BA. RA = RB + BA R mostremos que: RA RA = RA RB A' Ora RA RA = RA RB + BA = RA RB + RA BA = RA RB ( ) porque RA BA = 0 por os vectores serem A O B perpendiculares O conjunto dos pontos P que satisfazem a equação vectorial PB PA = 0 é a circunferência de diâmetro AB. P Professora: Rosa Canelas 9

10 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema I Geometria no Plano e no Espaço II 2º Teste de avaliação Critérios de correcção Grupo I D B D C B Grupo II Desenhar a altura relativa a [AC] 2 Representar por letras a altura e as partes em que se divide [AC] 3 Calcular h 4 Calcular a 4 Calcular b 4 Calcular AC Identificar a expressão como diferença entre a área do quadrado e a do triângulo 2 Calcular a área do quadrado 2 Exprimir DP em função da tgx 5 Calcular a área do triângulo 4 Calcular a área da região sombreada Escrever a equação 5 Resolver a equação 8 Apresentar a solução π Simplificar cos x + 2 Calcular cos x 4 Calcular tgx 4 Calcular a área pedida 3 Professora: Rosa Canelas 10 4

11 Justificar a abcissa 5 Justificar a ordenada 5 Justificar a cota Identificar pelas coordenadas um ponto da recta 2 Identificar pelas coordenadas um vector director da recta 3 Escrever uma equação da recta 5 Provar que são equações equivalentes Identificar o vector director da recta como normal ao plano 5 Calcular as coordenadas de B 5 Escrever a equação do plano Exprimir RA em função de RB e BA 10 Mostrar que: RA RA = RA RB Identificar o lugar geométrico 10 Justificar 10 Total 200 Professora: Rosa Canelas 11