Grupo I Cada resposta certa...10 Grupo II

Transcrição

1 Provas de Acesso ao Ensino Superior Para Maiores de Anos Candidatura de 0 Exame de Matemática Tempo para realização da prova: horas Tolerância: 0 minutos Material necessário: Material de escrita. Máquina de calcular científica (não gráfica). A prova é constituída por dois grupos, I e II. O grupo I inclui 7 questões de escolha múltipla. Para cada uma delas, são indicadas quatro alternativas, das quais apenas uma está correta. Se apresentar mais do que uma resposta ou se a resposta for ilegível, a questão será anulada. Não apresente cálculos nem justificações. Escreva na folha de respostas apenas a letra correspondente à alternativa que considera correta. O grupo II inclui 4 questões de resposta aberta. Nas questões deste grupo apresente de forma clara o seu raciocínio, indicando todos os cálculos que efetuar e todas as justificações necessárias. Cotações Grupo I Cada resposta certa...0 Grupo II / /7

2 Formulário Área de figuras planas: Triângulo: Losango: Trapézio: Base Altura Círculo: πr ; r raio Diagonal Maior Diagonal Menor Base Maior + Base Menor Altura Perímetro de figuras planas: Circunferência: πr; r raio Volumes: Paralelepípedo retângulo: Área da base Altura Pirâmide: Área da Base Altura Cone: Área da Base Altura Esfera: 4 πr ; r raio Progressões: Termo de ordem n de uma progressão de razão r: Aritmética: u n = u + (n )r Geométrica: u n = u r n Soma dos n primeiros termos de uma progressão de termo geral u n e razão r: Aritmética: S n = u + u n n Geométrica: S n = u rn (r ) r Regras de Derivação: (u ± v) = u ± v (uv) = u v + uv ( u v ) = u v uv v (u n ) = nu n u (sen u) = u cos u (cos u) = u sen u (tg u) = u cos u (e u ) = u e u (ln u) = u u /7

3 Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos: α sen α cos α tg α 0 o o 45 o 60 o 90 o 0 - Fórmulas trigonométricas sen(x) = sen x cos x cos(x) = cos x sen x tg(x) = tg x tg x /7

4 Grupo I. Considere, no( intervalo [0, 4π], a onda ϕ(x) = f(x) g(x), com f(x) = sen x e x ) g(x) = sen. Recorrendo ao gráfico, os valores da variável independente em que ϕ é positiva são: Então: (A) ]0, [ π (C) ]0, [ π ] π, 0 [ π ] [ 0 π, 4π (B) ]0, π[ (D) ] [ π, π. Seis quadrados de lado l formam a figura A área do quadrilátero convexo de vértices [GHJE] é: (A) 6 l (B) l (C) l (D) l. Uma instituição bancária oferece uma taxa de juro de 8% ao ano para depósitos numa certa modalidade. Um cliente desse banco fez um depósito de euros, nessa modalidade. Qual é, em euros, o capital desse cliente, relativo a esse depósito, passados n anos? (A) , 8n (B) 0000, 08n (C) 0000, 8n (D) 0000, 08 n 4/7

5 4. Qual das seguintes expressões é, para qualquer número real x ], + [, igual a 9 +log x+? (A) 9 x + (B) 9 + log x + (C) 9x + 7 (D) 9 + (x + ) 5. Seja f uma função crescente em ]0, [, com f(0) = e f () = 0. Qual dos seguintes gráficos poderá ser a função f? (A) I (C) III (B) II (D) IV 6. A derivada da função h, definida por h(x) = (A) (C) cos x sen x sen ( é: π x), cos x cos(x) (B) ( cos x) ( ) ( ) cos x sen x sen x cos x + (D) + cos x cos x 7. Simplificando-se a expressão (A) (B) 5 (C) + 5 (D) obtém-se: 5/7

6 Grupo II. Seja Q um quadrado de lado l unidades de medida, onde se divide cada um dos lados pelos pontos médios unindo-os. Construa-se Q a partir de Q, unindo os pontos médios dos lados dos quadrados obtidos em Q. Construa-se Q n a partir de Q n (n > ) repetindo, em cada um dos quadrados, a construção indicada. Em cada uma das figuras obtidas pinte-se alternadamente os quadrados interiores... Quantos quadrados brancos há em Q 5? Justifique... Sendo x n o número de quadrados brancos em Q n e a n a área de cada um desses quadrados brancos. Apresente os respetivos termos gerais (x n ) e (a n )... Seja b n a área total branca em cada um dos termos da sucessão. Indique, justificando, o termo geral de b n.. Na entrada de um túnel, existe um arco decorado assente em dois pilares de igual altura. A altura do arco a x metros de distância do pilar da esquerda é dada, em metros, por: (8 + ) 8x x, 0 x < 4 h(x) = x x, 4 x < 8 (8 + ) x x, 8 x.. Mostre que h(0) = 4 e interprete o resultado... Indique a altura máxima do arco... Indique, justificando, o intervalo em que a altura do arco é superior ou igual a 5 metros. 6/7

7 . Na figura esta representado um tria ngulo [ABC]. Tem-se que: x designa a amplitude do a ngulo BAC; a amplitude do a ngulo BCA e igual ao dobro da amplitude do a ngulo BAC; a altura BD e igual a tg x.. Mostre que a a rea do tria ngulo ABC e dada por g(x) =, para tg x π qualquer x ]0, 4 [... Considere o tria ngulo [ABC] quando x = π4. Classifique-o quanto aos a ngulos e quanto aos lados e prove que a sua a rea ainda e dada por g(x). 4. A figura representa uma ponte sobre um rio. A dista ncia mı nima do arco central da ponte ao tabuleiro e 6 metros. Sejam A e B os pontos de intersec a o do arco central da ponte com o nı vel da a gua do rio, e seja O o ponto me dio de [AB]. Considere a reta AB como um eixo orientado da esquerda para a direita, com origem no ponto O e onde uma unidade corresponde a um metro. Para cada ponto situado entre A e B, de abcissa x, a altura do arco, em metros e dada por f (x) = 6 9 e0,06x + e 0,06x 4.. Recorrendo ao estudo da derivada da func a o f, mostre que, tal como a figura sugere, e no ponto de abcissa zero que a altura do arco e ma xima. 4.. Uma empresa esta a estudar a hipo tese de construir uma barragem neste rio. Se tal empreendimento se concretizasse, o nı vel das a guas no local da ponte subiria 7 metros. Nesse caso, a ponte ficaria totalmente submersa? Justifique a resposta. 4.. Mostre que a dista ncia, em metros, entre A e B e um valor compreendido entre 4 e 44. FIM 7/7