Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. 5º Teste de avaliação versão A.

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1 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos 5º Teste de avaliação versão A Grupo I As cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que selecionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. 1. Considere todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De entre estes números, quantos têm, eatamente, três algarismos 5? (A) C A (B) 5 4 C 4 (C) 5 A 4 (D) 5 A C 5 4. Considere a função g, de domínio IR, definida por: g( ) 1 Considere a sucessão de termo geral un = n Qual é o valor de ( ) n lim g u n +? e se 0 = ln se > 0 (A) + (B) 1 (C) 0 (D). De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; ( ( ) ) lim h = 0 + Qual é o valor de lim h ( )? (A) + (B) (C) 0 (D) Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 011/01

2 4. Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, primeira derivada da função f. Seja a IR + um ponto do domínio de f, tal que ( ) Qual das afirmações seguintes é verdadeira? (A) A função f tem um mínimo para = a. (B) A função f tem um ponto de infleão para (C) A função f é crescente em ] 0,a [. (D) A função f é decrescente em IR. f a = 0. = a. 5. Na figura está representado, em referencial o.n. Oy, uma circunferência, de centro na origem do referencial e raio. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a região colorida. Sabe-se que: OP = ; TOP = θ( radianos ),0 θ π. Qual das epressões seguintes dá a área da região colorida, em função de θ? (A) π 16 senθ cosθ (B) π 8 senθ cosθ (C) π 8 senθ cos θ (D) 4π 16 senθ cosθ Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos ou esquemas que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Atenção: quando não é indicada a aproimação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor eacto. 1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por eemplo, em Portugal há uma delegação cujo código é 77. Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e os três últimos algarismos identificam a delegação Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, qual é a probabilidade de esse código ter eatamente dois algarismos iguais? Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

3 1.. O código das delegações em França começa por 5. Qual é a probabilidade de escolher, ao acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter eatamente três algarismos iguais?. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por: + 1 ( ) = e g( ) = f 4.1. Resolva a condição g( ) > g( ).. Mostre, por via analítica, que: f ( ) =.. Resolva, analiticamente, a condição f ( ) = g( ). Considere a função f, real de variável real, definida por: f ( ) = ln.1. Determine, caso eistam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa... A função f tem um etremo absoluto. Determine o valor desse etremo... A reta de equação y = + e é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determine as coordenadas desse ponto. 4. Na figura está representado um triângulo [ABC]. Tem-se que: designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAC. a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC. a altura BD é igual a 10. Seja g( ) = tg 75 5tg 4.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por ( ) 4.. Considere o triângulo [ABC] quando aos lados e prove que a sua área ainda é dada por g( ). π g, para qualquer 0, 4. π =. Classifique-o quanto aos ângulos e quanto 4 Questão total Cotação Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

4 Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 011/01

5 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos 5º Teste de avaliação versão A Proposta de resolução Grupo I 1. (B) Consideremos todos os números de cinco algarismos que se podem formar com os algarismos 5, 6, 7, 8 e 9. De entre estes números, 5 C 4 têm, eatamente, três algarismos 5. (D) Considere a função g, de domínio IR, definida por: g( ) 1 Considere a sucessão de termo geral un = n O valor de lim g( u ) n + n = lim ln = n e se 0 = ln se > 0. (A) De uma função h, de domínio R, sabe-se que: h é uma função par; ( ( ) ) lim h = 0 (h tem uma assíntota de + equação y O valor de lim h ( ) = ) = +? 4. (C) Na figura, está representada, num referencial o.n. Oy, parte do gráfico da função f, primeira derivada da função f. Seja a IR + um ponto do domínio de f, tal que ( ) A afirmação A função f é crescente em ] 0,a [ é verdadeira porque a derivada é positiva nesnte intervalo. f a = 0. Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 011/01

6 5. (C) Na figura está representado, em referencial o.n. Oy, uma circunferência, de centro na origem do referencial e raio. O ponto P move-se ao longo da semicircunferência que limita a região colorida. Sabe-se que: OP = ; TOP = θ( radianos ),0 θ π. A área da região colorida, em função de θ é Porque OA = cosθ e AP = senθ a área colorida é π A = cos θ senθ A = π 8senθcos θ Grupo II 1. Uma empresa tem delegações espalhadas por vários países do mundo. Cada delegação é identificada por um código constituído por 5 algarismos de 1 a 9. Por eemplo, em Portugal há uma delegação cujo código é 77. Os dois primeiros algarismos (da esquerda) identificam o país a que pertence a delegação e os três últimos algarismos identificam a delegação Escolhido, ao acaso, um código possível de ser utilizado em Portugal, a probabilidade de esse código ter eatamente dois algarismos iguais é a probabilidade de os últimos 8 A 6 11 algarismos serem todos diferentes e diferentes de. Será então P = = = O código das delegações em França começa por 5. A probabilidade de escolher, ao acaso, um código possível de ser utilizado em França e ter eatamente três algarismos iguais é a probabilidade de nesses códigos haver três algarismos iguais a ou iguais a 5 ou ainda iguais a um dos outros algarismos sem ser o ou o 5. Assim o nº de casos favoráveis é probabilidade é C = e o número de casos possíveis é 55 P = 79 9 = 79. Finalmente a. Sejam f e g duas funções definidas, em IR, por:.1. Resolvamos a condição + 1 ( ) = e g( ) = f 4 g( ) > g( ) > > < < A solução é ],[. Professora: Rosa Canelas 6 Ano Letivo 011/01

7 .. Mostremos, por via analítica, que: f ( ) =. De facto temos que: ( ) = = = = f Resolvamos, analiticamente, a condição f ( ) g( ) =. f ( ) = g( ) = = = 1 = 0 A solução é { 0 }.. Consideremos a função f, real de variável real, definida por: f ( ) = ln.1. Determinemos, caso eistam, as coordenadas do ponto do gráfico da função f, em que a ordenada é metade da abcissa. De y = ln ln 0 0 ln 0 e = = = = > = = e As coordenadas do ponto são 1 1, e e... A função f tem um etremo absoluto. Determinemos o valor desse etremo. Comecemos por calcular a derivada de f: ( ) Calculemos os zeros da derivada: 1 f = ln ln 1 + = f ( ) = 0 ln 1= 0 ln = 1 = e > 0 = e Completemos a tabela para o estudo do sinal da derivada em IR + : 0 1 e ( ) f f ( ) ր M ց e = = = e 1 e e e O valor do máimo é f ln ln( e).. A reta de equação y = + e é tangente ao gráfico da função num ponto P. Determinemos as coordenadas desse ponto começando por igualar a derivada a. 1 1 f ( ) = ln 1= ln = 1 = e > 0 = e + Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 011/01

8 f e = eln = e 1 = e e A ordenada é ( ) ( ) As coordenadas de P são ( e, e) 4. Na figura está representado um triângulo [ABC]. Tem-se que: designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAC. a amplitude do ângulo BCA é igual ao dobro da amplitude do ângulo BAC. a altura BD é igual a 10. Seja g( ) = 75 5tg tg 4.1. Mostremos que a área do triângulo [ABC] é dada por ( ) base = AD + DC e A área do triângulo vai ser 10 ( ) 10 AD = e CD = tg tg π g, para qualquer 0, 4 : tg tg + tg tg ( ) 1 tg tg A = = = + 5 = tg tg tg tg 75 5tg 5 = = tg tg tg 4.. Consideremos o triângulo [ABC] quando π =. Quanto aos ângulos o triângulo é 4 retângulo e quanto aos lados é isósceles pois tem um ângulo reto e dois de 4 π radianos. Provemos que a sua área que é π 75 5tg π g 50 4 = = = π 1 tg A 50 = = ainda é dada por ( ) g, calculando Professora: Rosa Canelas 8 Ano Letivo 011/01

9 Escola Secundária com º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Compleos 5º Teste de avaliação versão A Critérios de classificação Grupo I (50 pontos) Cada resposta certa vale 10 pontos, cada pergunta errada, não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos B D A C C Grupo II (150 pontos) Nº de casos favoráveis 5 Nº de casos possíveis Probabilidade pedida Nº de casos favoráveis 5 Nº de casos possíveis Probabilidade pedida Escrever > 5 Resolver a inequação Escrever Escrever Concluir que = = =.. 10 Escrever = 5 Resolver a equação Professora: Rosa Canelas 9 Ano Letivo 011/01

10 Escrever Escrever y = ln = Resolver a equação 7 Calcular a ordenada e dar as coordenadas.. 0 Calcular a derivada 5 Calcular os zeros da derivada 5 Fazer a tabela de sinal da derivada 5 Calcular o máimo Igualar a derivada a Resolver a equação 5 Calcular a ordenada 5 Apresentar as coordenadas Concluir que base = AD + DC 10 Calcular AD = 5 tg 10 Calcular CD = 5 tg ( ) Aplicar a fórmula de tg() 6 Obter a epressão pedida Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4 Classificar o triângulo quanto aos ângulos 4 Calcular a área 5 π Calcular g 4 Concluir 5 Total 00 Professora: Rosa Canelas 10 Ano Letivo 011/01