A o ângulo à superior a 180º, na opção B é inferior a 90º e na opção C é superior a 135º. e sen 0.

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1 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Página 55. Sabemos que radianos equivalem a 80º, pelo que a um ângulo de radianos vai corresponder 80,6 graus. Este ângulo só pode estar representado na opção D. Na opção π A o ângulo à superior a 80º, na opção B é inferior a 90º e na opção C é superior a 5º. Resposta: D. Dado que,0, então pertence ao º ou ao º quadrante. Nestes quadrantes, temos que sen 0, pelo que cos 0. Nota que cos sen 0 e sen 0. Então, pertence ao º ou º quadrantes. Se pertencesse ao º quadrante, tg 0, e tgsen 0, o que contradiz o enunciado. Então, pertence ao º quadrante. Repara que, neste caso, tg 0, pelo que tgsen 0 Resposta: D. Consideremos a figura dada, onde acrescentámos o eio das tangentes e prolongámos o lado do ângulo : Repara que BC BD AX. Nota que CD é um arco de circunferência centrado em B. OB pois é o raio do círculo trigonométrico e como AX é o eio das tangentes, temos que AX tg θ. Logo BD tg θ. Pela observação da figura, temos que a abcissa do ponto D é igual a OB BD tg. Resposta: B Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

2 Preparar o Eame 0 06 Matemática A. Ilustremos esta situação, sabendo que π cos : Como o intervalo considerado é π, π, a equação tem soluções. Repara que o intervalo considerado pode ser escrito como a o união de três intervalos: π,0 (ºQ), que não inclui nenhuma solução, 0, (ºQ, ºQ, ºQ e ºQ), que inclui duas soluções, e, (ºQ e ºQ), que inclui uma solução. Resposta: C Página Comecemos por resolver a equação dada: π π π π 5π sen kπ kπ,k M π π π kπ kπ,k π kπ kπ,k Como o intervalo considerado é 0,, obtemos as soluções fazendo o k 0 nas duas condições:. Estas soluções estão representadas na figura da opção C. - 5 Resposta: C 6. Observando a representação gráfica de f, concluímos que Repara que a partir de o gráfico de f repete o que se encontra entre e é período de f.. Resposta: D 7. Achemos os zeros da função dada. k sen 0 sen 0 k, k, k. Resposta: A Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

3 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 7. Para que g seja uma função contínua, temos que ter 0 lim g( ) g(0) acos 0 acos a a lim g ( ) lim g ( ) g (0) 0 0 a a sen sen sen lim g( ) lim lim lim a lim a 8 a Se 0, 0 (limite notável) Então, lim g ( ) lim g ( ) g (0) a 8 a a 0 0 Resposta: B Página Averiguemos se s é contínua em : lim s( ) s(0) lim s( ) lim sen cos sen cos 0 Então, verdadeira. lim s( ) lim s( ) s e s é contínua em, pelo que a opção A não é Para sabermos a veracidade da opção B calculemos muda de sinal positivo para negativo em : s ' e s ' e averiguemos se 0 s s sen cos 0 sen cos lim s lim lim i) 0 s ' Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

4 0 0 Preparar o Eame 0 06 Matemática A cos cos cos cos sen sen cos lim lim lim lim sen sen sen sen 0 lim lim lim 0 cos 0 0 cos cos i) Mudança de variável: Se então 0 Seja, 0. s s s ' lim lim lim Assim, s ' muda de sinal positivo para negativo em e a opção B é verdadeira. Repara que já verificámos que s não é derivável em pois s' s' que s tem um máimo relativo em. (a opção C é falsa) e a opção D também é falsa visto Resposta: B 9. A epressão correta tem de satisfazer as seguintes condições: o valor máimo é o valor mínimo é 7 o período é Se o tempo que decorre entre duas marés consecutivas é de 6 horas, as marés repetem-se de em horas. o valor máimo é t O valor máimo de cos 5, pelo que a opção C está ecluída. Da é t mesma forma, a opção D está ecluída pois o valor máimo de 9 cos 6 é 9 0. Em ambas as epressões das opções A e B o valor máimo é. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

5 Preparar o Eame 0 06 Matemática A o valor mínimo é 7 Em ambas as opções A e B temos com valor mínimo o período é Sabemos que o período de uma função do tipo a bcos c d é. Então, na opção A o c período é, enquanto que na opção B é 6. 6 Resposta: A 0. Podemos ecluir de imediato a opção B, pois a área não toma valores negativos. Observando a imagem, observemos algumas das possíveis posições do ponto P: quando P é tal que, a área considerada é mínima (o triângulo considerado degenera num segmento de reta, de área 0). Desta forma, ecluímos a opção D. quando P é tal que 0, a situação é semelhante à anteriormente descrita, sendo a área do triângulo mínima. Assim, ecluímos a opção C. Resposta: A Página 58. Observemos a figura A B Se a ordenada de R é O polígono PQRS é um trapézio, pelo que a sua área é dada pela epressão QP cos QP RS AB. Repara que cos é negativo AB sen Nota que a ordenada de R é, que é o seno de 7 7, então a sua abcissa é cos 6 6. Então, Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 5

6 Preparar o Eame 0 06 Matemática A RS Assim, a epressão pedida é QP RS cos AB sen cos sen Resposta: B. A área da região colorida será a área de um quarto de círculo menos a área do triângulo AOB. Assim, a epressão da área pedida em função do ângulo é: OA BX sen sen Repara que a altura do triângulo AOB é igual à ordenada do ponto B e cos,sen B. Resposta: D Página 59. Consideremos a sucessão u n tal que un n n sen n e cos, pelo que u n n sen cos. Sabemos que e u é limitada. n Resposta: D. tg tg tg tg 9 lim tg 0 lim lim 0 0 tg tg lim lim Se 0, 0 (limite notável) Resposta: B Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 6

7 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 5. Pela definição de derivada num ponto, f f 0 cos 0 cos f ' 0 lim lim lim Resposta: A 5. Para calcular tal que ' f ' sen f '' cos f é máimo, determinemos a epressão de f '' e os seus zeros: f '' 0 cos 0 cos 0 k, k. Como estamos a considerar o intervalo,, obtemos f '' 0, fazendo k k 0. Recorrendo a um quadro de variação do sinal da função f '', vem: f '' 0 0 f ' min. má. min má. Tendo em conta as opções apresentadas, Resposta: C 6. Das condições do enunciado sabemos que f ' 7. Determinemos a epressão de f ': f ' acos f ' 7 acos 7 a 7 a 7 Resposta: C 7. No intervalo, 6, temos que a função dada é crescente, pelo que: f f f sen f sen f 6 Então, Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 7

8 f f 0 0 f Preparar o Eame 0 06 Matemática A 0 f f Assim, o contradomínio da função f é, Resposta: D 8. limu n lim tg lim tg n n n n tg 0 tg Resposta: A Página tg cos cos tg cos sen Observando a imagem, apenas sabemos que tg 5. Através da Resta-nos calcular sen : fórmula tg calculemos cos : cos 5 6 cos cos cos cos cos 6 Como, pela figura, temos que cos 0, então sen sen 5 tg 5 sen 5 sen cos Assim, cos. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 8

9 tg cos cos tg cos sen Preparar o Eame 0 06 Matemática A 9. Visto que o círculo representado é o círculo trigonométrico, temos que Acos, sen. De 9., concluímos que A 5,. 9. Em 9. verificámos que cos. Além disso, pela observação da figura, sabemos que pertence ao º quadrante. Assim, 80 cos 0, 8º 0º 9' Nota que 0,8 60 = 9 9. Repara que a zona colorida a amarelo é composta por um triângulo e por um sector circular de raio r e amplitude, pelo que a sua área será: bh r 5 5 h r sen cos sen 0 sen cos sen cos cos 0 cos sen 0 5 cos 0 sen k k k, k Repara que sen sen sen b Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 9

10 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Página 6 0. sen sen sen lim lim lim lim sen lim sen sen 0 sen lim lim lim sen lim lim ) e e e i 0 i) Mudança de variável: Se então 0 Seja, 0. sen lim cos cos cos cos cos sen cos sen lim lim lim lim sen lim lim sen sen sen lim 0 0. tg tg lim cos cos cos tg 6 tg 6 tg 6 lim lim 5lim lim 5lim tg6 0 5 lim Se 0, 6 0 (limite notável) Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 0

11 Preparar o Eame 0 06 Matemática A sen sen sen lim lim lim lim lim 0 tg 0 0 tg 0 0 tg lim 0 tg Se 0, 0 (limite notável) Se 0, 0 (limite notável) ln 0 ln ln lim lim lim lim lim sen sen sen Se 0, 0 (limite notável) Se 0, 0 (limite notável) lim lim lim lim lim cos sen sen cos cos i) i) Mudança de variável: Se então 0 Seja, 0. sen lim sen cos sen cos sen cos 0 lim lim lim sen sen sen sen 5 lim lim lim lim Se 0, 0 (limite notável) Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

12 Preparar o Eame 0 06 Matemática A cos 5 cos 0 5 sen 5 sen 5 lim lim lim lim i) sen sen sen sen sen 5 56lim sen 6 Se 0, 0 Se 0, 0 6 (limite notável) i) Mudança de variável: Se então 0 Seja, lim lim lim lim cos cos sen cos sen sen sen lim lim lim lim lim 0 sen 0 sen 0 sen 0 sen 0 sen sen lim lim lim lim lim sen sen sen sen i) lim lim lim lim lim 0 0sen 0 sen 0 0 sen 0 sen sen lim 0 i) Mudança de variável: Se então 0 Seja, 0. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

13 Preparar o Eame 0 06 Matemática A. Se R 8 r temos que 8 A R r r. Como a tg A sen, obtemos tg a tg A sen r tg r sen sen tg sen cos cos 6 cos sen tg 0, cos. Assíntotas verticais 0 0 cos cos sen cos sen lim f lim lim lim sen sen sen sen cos sen sen lim lim cos cos 0 0 Assim, é assíntota do gráfico de f. 0 0 cos cos sen cos sen lim f lim lim lim sen sen sen sen cos sen sen lim lim cos cos 0 0 Assim, é assíntota do gráfico de f. Assíntotas não verticais Como f está definida num intervalo limitado, não eistem assíntotas não verticais do seu gráfico. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

14 . Consideremos 0, tal que tg Preparar o Eame 0 06 Matemática A. Para calcular f determinar sen e cos. Para tal, vamos utilizar a fórmula tg : cos tg cos cos cos cos cos Resta-nos calcular sen : sen sen 6 tg sen sen cos Então, f cos sen precisamos de. Temos de escrever a área do trapézio OABC em função de. Para tal observemos a figura e calculemos as coordenadas de pontos importantes: A OABC 0, OA CB OC Para determinar OA temos de calcular o zero de f : cos 0 cos 0 sen 0 sen, Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

15 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Por observação do gráfico, conclui-se que 0, pelo que A,0 e OA. CB e C tem a mesma ordenada do que B. Como B é o ponto do gráfico de f cuja abcissa é cos, temos que, B sen e, portanto, cos OC sen. A cos cos Assim, OABC sen sen Utilizando o editor de funções da calculadora definem-se as funções cos sen e na janela 0, 0, O a. Obtém-se: Assim, calculando o único ponto de interseção dos dois gráficos em 0, obtém-se: A OABC a, com a 0,76rad. Sabemos que o período de uma função do tipo a bcos c d é. Assim, o período c da função dada é a. Pelo enunciado, temos que a a. a Por outro lado, temos que f 0 bcos 0 bcos b b. cos Assim, a e b a 0 Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 5

16 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Página 6. f f f f f 6 6 lim lim lim f ' cos 6 6 sen O declive da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa é f ' : 6 6 cos f ' 6. 6 sen 6 Então a equação da reta pedida vai ser do tipo b. Como esta reta é tangente ao gráfico no ponto de abcissa considerada., então o ponto,, 6 f 6 6 pertence à reta 6 Substituindo estas coordenadas na equação b, obtemos: b b 6 Então, a equação pedida é.. Para provar que o gráfico de f não tem ponto de infleão basta provar que f '' não muda de sinal no intervalo considerado. Para tal, determinemos a epressão de f ''. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 6

17 Preparar o Eame 0 06 Matemática A cos sen sen sen cos cos f '' ' sen sen sen cos sen cos cos cos sen sen sen sen cos Em 0,, cos 0 e Se 0,, cos sen 0 f '' 0., logo Se 0,, sen 0 Assim, infleão. f '' não muda de sinal no intervalo considerado e o gráfico de f não tem pontos de cos. a) Temos que, pelo enunciado, f ' sen. Por outro lado, se sen f sen f ' bcos sen a bsen cos bcos sen acos bsen cos acos sen sen sen. Assim, cos cos sen a sen a. bsen Além disso, f 6 b b b b. 6 sen sen 6 6 a b, então. b) Assíntotas verticais sen 0 lim f lim 0 0 sen 0 0 Assim, 0 é assíntota do gráfico de f. sen 0 lim f lim sen 0 0 Assim, é assíntota do gráfico de f. Assíntotas não verticais Como f está definida num intervalo limitado, não eistem assíntotas não verticais do seu gráfico. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 7

18 Preparar o Eame 0 06 Matemática A. c) sen sen g f ln ln 0 sen sen ln 0 ln 0 sen sen Utilizando o editor de funções da calculadora define-se a função ln janela 0,,. Obtém-se: sen na Assim, calculando os zeros de, obtém-se a b, com a 0,7 e b,8 Então, as soluções inteiras de g f são e. O a b 5. Observando a figura dada, podemos concluir que a área da região colorida é a diferença entre a área do triângulo [OCB] e a área do sector circular de raio e amplitude. Calculemos, então, cada uma destas áreas: A BOC OB BC e A setor circular r Como o círculo representado é o círculo trigonométrico, temos que r e OB. BC Além disso, BC é tal que tg tg BC. Assim, A BOC tg, A setor circular e A região colorida tg tg Aregião colorida - Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 8

19 5. lim A Preparar o Eame 0 06 Matemática A tg lim. Este resultado significa que quando tende para, a área da região sombreada tende para. 5. A' cos sen tg ' cos cos cos tg Para estudar a função A quanto à monotonia, recorre-se ao estudo do sinal da derivada de A : A função A' não pertencem a 0,. tg é positiva no seu domínio. Nota que tg 0 k, k, mas estes valores Assim, a função A é crescente no seu domínio. Para determinarmos a equação da reta tangente ao gráfico de A no ponto de abcissa comecemos por calcular A' : tg A'. Então a equação da reta pedida vai ser do tipo b. Calculemos as coordenadas de um ponto que pertença à reta pedida; como esta é tangente ao gráfico no ponto de abcissa, então o ponto, A pertence à reta considerada. Calculemos a ordenada deste ponto: tg A. Substituindo estas coordenadas na equação b, obtemos: Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 9

20 Preparar o Eame 0 06 Matemática A b b b b b 6 6 Então, a equação pedida é. 5. A equação que permite resolver este problema é tg A tg tg BOC A tg tg Utilizando o editor de funções da calculadora definem-se as funções tg e na janela 0, 0,. Obtém-se: tg Assim, calculando o único ponto de interseção dos dois gráficos em 0, obtém-se: A BOC A a, com a 0,97rad tg O a Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 0

21 Preparar o Eame 0 06 Matemática A Página 6 6. Sabemos que f asen bcos c e f ' cos sen. Sabendo que f asen bcos c, temos que Então, cos sen a cos bsen cos sen cos sen sen cos sen cos sen sen a b c a a b c cos sen a cos a cos bsen cos sen cos cos sen cos sen a cos bsen c a a a b c a c c f ' acos bsen c. a a Assim, comparando os dois membros, concluímos que b b a c 0 c 6. A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é do tipo '0 Determinemos a epressão de f ' e, de seguida, calculemos f '0 : sen cos cos f ' cos ' sen sen f cos 0 ' 0 sen 0 0 O ponto f b. 0, f 0 pertence à reta considerada. Calculemos a sua ordenada utilizemos as suas coordenadas para determinar o valor de b em f sen cos 0 0 0b b Então, a equação da reta pedida é. f '0 b : Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

22 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 6. cos sen f '' sen ' cos sen cos sen sen cos cos cos sen Para estudar a função f quanto ao sentido das concavidades e à eistência de pontos de infleão do sue gráfico recorre-se ao estudo do sinal da segunda derivada de f : f '' cos sen f '' 0 cos sen 0 cos 0 sen 0 k sen k k k, k 6 6 Como,, então Recorrendo a um quadro de variação do sinal da função f '', vem: sen cos f '' f p.i. p.i. p.i. p.i. Assim, o gráfico da função f tem a concavidade voltada para baio em,, em 6, e em em 5, 6, tem a concavidade para cima em, 6 e em 5, 6 e tem pontos de infleão 5, em, em e em A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é do tipo '0 Determinemos os parâmetros desconhecidos: f ' sen cos ' cos cos sen sen. f b. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

23 Preparar o Eame 0 06 Matemática A f ' 0 cos 0cos0 sen 0sen Então, a equação pedida será b O ponto f pertence à reta considerada. 0, 0 0 0b b 0 Assim, a equação pedida é f 0 sen 0 cos Então, 7. Observa a representação gráfica da função f e da reta de equação 0, na janela 0, 0, b, com o triângulo ABC desenhado: Calculando o máimo da função f obtemos b, com a 0,6 e b 0,77 triângulo ABC é igual a b 0, 0,7. a e. A medida da altura do Calculando os pontos de interseção dos dois gráficos em O c a d 0, obtém-se c d, com c 0,5 e d,5. A medida da base do triângulo ABC é igual a d c. d c b 0, 0, 7 Então, A 0, ABC 8. Sabemos que o quadrado EFGH tem de área 8 cm. Então, FG 8 Considerando o triângulo retângulo FBG, temos que cm. FB GB cos FB 8cos e sen GB 8sen. Assim, 8 8 A FBGB 8cos 8sen 6cos sen 8sen FBG Então, A 8sen sen região azul sen sen cos Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

24 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 8. A área da região azul é máima quando sen for máimo, ou seja, quando sen k k, k Como 0,, obtemos. sen : 8. Para temos que Aregião azul. Como Aregião rosa A, a razão entre as EFGH duas áreas consideradas é, o que significa que para pintada a rosa. a área pintada a azul é igual à área 9. Consideremos o gráfico dado: Por observação desta representação gráfica, concluímos que: para os valores de,,5,7,9,,.,,5,7,9,, a função g tem etremos, pelo que os zeros de g ' são tendo em conta a monotonia de g, concluímos que g ' é positiva em 0,,5 7,9, e negativa em, 5,7 9,, em que g ' é positiva, g é crescente, e nos intervalos em que. Nota que nos intervalos g ' é negativa, g é decrescente. 9. O período positivo mínimo da função g é 6. Repara que a função em tem o mesmo comportamento do que em 6. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página

25 Preparar o Eame 0 06 Matemática A 9. g A Bsen C. Então, como o período positivo mínimo é, temos que C. O período de uma função do tipo C. a bsenc d é. Vamos considerar C c por observação do gráfico, por observação do gráfico, g Assim, 0sen g 0 0 A Bsen 0 0 A B0 0 A 0 g 0 Bsen 0 B 0 B 0. Se considerássemos C iríamos obter g 0sen à epressão encontrada pois sen é uma função ímpar. que é equivalente Página 6 0. As três horas da tarde corresponde a t 5. Então, 5 P5 cos 8 cos 8 cos cos cos Assim, às três horas da tarde, a profundidade da água na marina é 8 metros. 0. P P cos 8 cos 8 cos cos 8 cos 8 cos ,5 P, P 9,8 a função P é contínua no seu domínio Nota que,5 Então, pelo teorema de Bolzano, c Pc, : 9,5, o que significa que eiste pelo menos um instante entre as h e as h em que a profundidade da água na marina é 9,5 metros. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 5

26 0. P t P t t t ' sen 0 sen t t ' 0 sen 0 sen Preparar o Eame 0 06 Matemática A t k t 6 k, k. Como t 0,, obtemos t 0, t 6, t, t 8, t. 6 Recorrendo a um quadro de variação do sinal da função P ', vem: t P't P má. min. má. min. má Assim, a profundidade mínima da água da marina nesse dia é 6 8 P6 cos Repara que, da mesma forma, P cos g 0 sen cos 0 sen cos Para resolver esta equação temos de pensar que sen cos e desenhar um círculo trigonométrico para visualizarmos a situação: π o π B Assim, sen cos k, k. Como,, obtemos. π +π Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 6

27 g sen cos sen cos 0. Preparar o Eame 0 06 Matemática A Consideremos a função f tal que f sen cos. Temos de provar que esta função tem pelo menos um zero no intervalo, 6. f sen cos sen cos f sen cos f 0 f 6 Nota que f 0 e 0 f 6 a função f é contínua no seu domínio, logo é contínua em Então, pelo teorema de Bolzano,, : 0 6, 6. c, : 6 g c. c f c, ou seja,. a) Repara que o octógono ABCDEFGH pode ser decomposto em quatro quadriláteros congruentes ao quadrilátero OABC. Assim, A A. Nota que não podes dividir o octógono em triângulos ABCDEFGH OABC congruentes pois os triângulos variam com o X OABX OC OX A A A OABC OAB OBC sen cos sen cos Assim, sen cos A g sen cos sen cos ABCDEFGH g Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 7

28 . b) A sen cos 0. Quando 0 e quando (portanto de lado ) cuja área é : Preparar o Eame 0 06 Matemática A, a figura que se obtém é um quadrado de diagonal igual a C=D E=F o A=B G=H. c) Para estudar a função A quanto à monotonia, recorre-se ao estudo do sinal da derivada de A : A sen cos 0. A ' e A ' sen cos ' cos sen A ' 0 cos sen 0 cos sen 0 cos sen k, k Como 0,, obtemos. Recorrendo a um quadro de variação do sinal da função 0 A ', vem: A 0 A ' min. má. min Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 8

29 Preparar o Eame 0 06 Matemática A A função A é decrescente em,, é crescente em 0,, tem máimo em A e mínimo em 0 e em 0 A A. O valor máimo que a área do octógono ABCDEFGH pode assumir é. Proposta de Resolução dos Eercícios do Subcapítulo Trigonometria Página 9