ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS COIMBRA 11º ANO DE ESCOLARIDADE MATEMÁTICA A FICHA DE AVALIAÇÃO Nº 2

Transcrição

1 ESOL SEUNÁRI OM º ILO. INIS OIMR º NO E ESOLRIE MTEMÁTI FIH E VLIÇÃO Nº Grupo I s cinco questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta. Escreva na sua folha de respostas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para cada questão. Se apresentar mais do que uma resposta, a questão será anulada, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível. Não apresente cálculos ou justificações. ada resposta certa vale 9 pontos, cada resposta errada vale - pontos, cada pergunta não respondida, ou anulada, vale 0 (zero) pontos. Um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos.. Qual das seguintes equações tem uma única solução em [ 0º,60º [?. cos x = 0. se n x =. tg x = 0. tg x=. Sendo sen x =, qual das afirmações é verdadeira?. cos x =. se n( π + x) =. sen( x) π =. cos + x =. ados dois ângulos a e b e sabendo que 0 < α < β < π pode-se afirmar que:. senα> senβ. cosα > cosβ. senα< senβ. cosα < cosβ.. s razões trigonométricas seno e co-seno têm o mesmo sinal nos:. º e º quadrantes. º e º quadrantes. º e º quadrantes. º e º quadrantes PROFESSOR: Rosa anelas º 00/005

2 5. onsidere a circunferência de diâmetro [] e centro e a recta t tangente à circunferência no ponto. Se P pertence à recta t, necessariamente:..p = 0..P = 0.. = 0..P = 0 t Grupo II Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver que efectuar e todas as justificações necessárias. tenção: quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se sempre o valor exacto.. Na figura está representado um trapézio dividido em y triângulos equiláteros geometricamente iguais. Sabe-se que (,0). a. Mostre que tem como coordenadas ( ; ). O x b. alcule.. c. Sabe-se que P pertence ao eixo das ordenadas e que O.OP = 8. etermine as coordenadas de P, explicando o raciocínio efectuado.. Na figura está representado um jardim com um sistema de rega, que abrange uma região com 5 m de raio. O sistema roda em sentido positivo a uma velocidade constante, completando uma volta em dois minutos. Foi aplicado um referencial o.n., em que a unidade é o metro e a origem O coincide com o centro de rotação do sistema de rega. No instante em que o sistema é posto a funcionar, a água é. libertada na direcção e sentido do vector u, ( ) a. Indique um vector que defina a direcção e sentido em que a água é libertada após 0 segundos do início da rega. b. Uma árvore situa-se no ponto (, ), em que momento a água atinge a árvore, pela segunda vez, após o início da rega? PROFESSOR: Rosa anelas º 00/005

3 c. omente a afirmação: Todos os pontos P do jardim que satisfazem a condição P.OP = 0 são abrangidos pelo sistema de rega.. figura representa o esquema de um painel decorativo com a forma de um losango de lado a, que vai ser colocado na fachada de um edifício. a. Mostre que a área do painel é dada, em função de θ, pela expressão: a π ( θ ) = a se nθcos θ, 0 <θ< ; a > 0 θ b. alcule o valor de. Interprete geometricamente o resultado obtido. c. etermine o valor de ( ) d. alcule o valor de θ para o qual =. π θ, sabendo que 5sen +θ + = 0 e a = 5. PROFESSOR: Rosa anelas º 00/005

4 OTÇÕES Grupo I... 5 ada resposta certa ada resposta errada... - ada questão não respondida ou anulada... 0 Nota: um total negativo neste grupo vale 0 (zero) pontos. Grupo II a b c a b c a b c d TOTL PROFESSOR: Rosa anelas º 00/005

5 ESOL SEUNÁRI OM º ILO. INIS OIMR º NO E ESOLRIE MTEMÁTI FIH E VLIÇÃO Nº proposta de resolução Grupo I.. sen x = é das seguintes equações a que tem uma única solução em [0º,60º que é 70º. cos x = 0 tem duas soluções 0º e 80º. tg x = 0 tem duas soluções 0º e 80º [. tg x= tem duas soluções 5º e 5º.. sen( x) porque:. e π = é a afirmação verdadeira que decorre de se saber que se n x = decorre (fórmula fundamental da trigonometria) que 8 cos x =± cos x =± cos x =± 9. sen( π + x) = é falso porque ( ). cos + x = e não cos x = sen π + x = sen x é falso porque cos + x = sen x sen x =.. ados dois ângulos a e b e sabendo que 0 < α < β < π pode-se afirmar que co s α> cosβ o seno não mantém a monotonia no º e º quadrante (primeiro cresce e depois decresce) e o co-seno é decrescente tanto no º como no º quadrantes... s razões trigonométricas seno e co-seno têm o mesmo sinal nos º e º quadrantes º quadrante º quadrante º quadrante º quadrante Seno o-seno PROFESSOR: Rosa anelas 5 º 00/005

6 5.. onsidere a circunferência de diâmetro [] e centro e a recta t tangente à circunferência no ponto. Se P pertence à recta t, necessariamente:.p = 0 este par de vectores é perpendicular. pois só t P Grupo II. Na figura está representado um trapézio dividido em triângulos equiláteros geometricamente iguais. y Sabe-se que (,0). y a. tem como coordenadas ( ; ) porque: x = porque num triângulo equilátero a altura O x x divide o lado ao meio. y = porque aplicando o teorema de Pitágoras podemos agora calcular: y = y = y =. = cos 0º = 6 = 8. e b. ( ) acordo com a figura, depois de desenharmos os dois vectores com a mesma origem verificamos ser o ângulo igual a dois dos ângulos do triângulo. y x O y Podíamos ter resolvido pelas coordenadas: (,0) e (, ) e então. =,0., = + 0 = 8 ( ) ( ) ( ) x c. eterminemos as coordenadas de P sabendo que P pertence ao eixo das ordenadas (tem abcissa zero) e que O.OP = 8. a observação da figura podemos concluir que P só pode estar na parte negativa de Oy porque se estivesse na parte positiva o ângulo dos dois vectores seria 0º e o produto escalar não podia ser negativo. Então o ângulo dos dois vectores é 90º+60º=50º e a ordenada de P será o simétrico da sua norma. alculemos essa norma: 8 8 O.OP = 8 OP cos( 50º ) = 8 OP = OP = OP = s coordenadas de P serão ( 0, ). PROFESSOR: Rosa anelas 6 º 00/005

7 Podíamos resolver a questão usando coordenadas: O(, ) por y a ordenada de P. ( ) ( ) 8 8 =,. 0,y 8 = y y = y = s coordenadas de P serão ( 0, ). e OP( 0,y ), representando. Na figura está representado um jardim com um sistema de rega, que abrange uma região com 5 m de raio. O sistema roda em sentido positivo a uma velocidade constante, completando uma volta em dois minutos. Foi aplicado um referencial o.n., em que a unidade é o metro e a origem O coincide com o centro de rotação do sistema de rega. No instante em que o sistema é posto a funcionar, a água é. libertada na direcção e sentido do vector u, ( ) a. pós 0 segundos do início da rega o sistema de rega já rodou 90º pois o sistema roda em sentido positivo a uma velocidade 5 y constante, completando uma volta em dois minutos. Então um vector perpendicular a (,) com a mesma norma podia ser (-,) ou (,-). Escolhemos (-,) porque o sistema roda em sentido (-,) (,) x positivo e então, como mostra a figura o vector tem que apontar para o º quadrante e não para o º. (-,) é então um vector que -5 define a direcção e sentido em que a água é libertada 0 segundos após o início da rega. b. Uma árvore situa-se no ponto (, ), e pela figura verificamos que a direcção da água que a atinge é a mesma do início da rega, só com sentido contrário. liás os vectores (,) e (-,-) são colineares. ssim a água atinge a árvore, pela primeira vez ao fim de minuto e pela segunda vez, minutos após o início da rega. c. afirmação: Todos os pontos P do jardim que satisfazem a condição P.OP = 0 são abrangidos pelo sistema de rega traduz que todos os pontos que pertencem à circunferência de diâmetro [O] são abrangidos pelo sistema de rega. e facto todos esses pontos, como se vê na figura estão dentro da circunferência de centro na origem e raio 5 que é a área varrida pelo sistema de rega. Isto fica claro também porque o ponto mais distante de O é cuja distância a O é ( ) ( ) + = 0 inferior a 5. PROFESSOR: Rosa anelas 7 º 00/005

8 . figura representa o esquema de um painel decorativo com a forma de um losango de lado a, que vai ser colocado na fachada de um edifício. a. área do painel é dada, em função de θ, a pela expressão: π ( θ ) = a senθcos θ, 0 <θ< ; a > 0 θ d porque = onde = e d= d = senθ d = a senθ e = cosθ = acosθ. a a a cosθ a senθ Finalmente = = a senθ cosθ b. O valor de é dado por Geometricamente o resultado obtido significa que quando π π a sen cos a a = = =. π θ = o losango é um quadrado de área a o que resulta de os ângulos serem rectos por o ângulo interno em ser o dobro de c. omo de ( θ) π θ =. π 5sen +θ + = 0 5cosθ= cosθ= 5, falta-nos calcular senθ. Vamos usar a ea= 5, para determine o valor fórmula fundamental da Trigonometria. 9 sen θ + = sen θ = sen θ = senθ = porque θ é um ângulo agudo. 5 5 ( ) θ = 5 = 5 5 θ - π +θ d. Se = o triângulo [] é equilátero e por isso o π ângulo interno em mede 60º e é o dobro de θ. Podemos então dizer que θ = rad. 6 PROFESSOR: Rosa anelas 8 º 00/005