Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 12º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos. Tarefa nº 5 do plano de trabalho nº 1

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1 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 5 do plano de trabalho nº 1 1. Na figura está representado o gráfico da função g, de domínio [ 0, ], definida por g(x) = x + A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de g Sem recorrer à calculadora, resolva as duas alíneas seguintes Mostre que a ordenada do ponto A é e que a do ponto B é Qual o contradomínio de g? 1.. Considere a recta tangente ao gráfico de g no ponto A. Essa recta intersecta o gráfico num outro ponto C. Recorrendo à calculadora, determine um valor aproximado para a abcissa do ponto C (apresente o resultado arredondado às centésimas). Explique como procedeu (na sua explicação, deve incluir o gráfico, ou gráficos, que considerou para resolver esta questão) ª Fase, ª Chamada. Na figura está representado um quadrado [ ABCD ], de lado 1. O ponto E desloca-se sobre o lado [ AB ], e o ponto F desloca-se sobre o lado [ AD ], de tal modo que se tem sempre AE = AF. Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC x, 4. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolva as três alíneas seguintes: Professora: Rosa Canelas 1 Ano Letivo 011/01

2 .1. Mostre que o perímetro do quadrilátero [ CEAF] é dado, em função de x, por.. Calcule x h(x) = + tgx sen x lim h(x) e interprete geometricamente o valor obtido..3. Mostre que h (x) = e estude a função h quanto à monotonia. sen x 00 1ª Fase, ª Chamada 3. Considere a função f, de domínio ], [, definida por Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes. f(x) = Estude a função quanto à existência de assímptotas do seu gráfico. 3.. Mostre que a função f tem um máximo e determine-o Na figura está representada, em referencial o.n. xoy, uma parte do gráfico da função f. Na mesma figura está representado um trapézio [ OPQR ]. O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy, respectivamente. Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f. Sabendo que o ponto R tem ordenada 1 3, determine a área do trapézio. 001 ª Fase Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

3 Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 1º Ano de Matemática A Tema III Trigonometria e Números Complexos Tarefa nº 5 do plano de trabalho nº 1 Proposta de resolução 1. Na figura está representado o gráfico da função g, de domínio [ 0, ], definida por g(x) = x + A e B são pontos do gráfico cujas ordenadas são extremos relativos de g Sem recorrer à calculadora, resolvamos as duas alíneas seguintes Pretendemos demonstrar que a ordenada do ponto de g. A é e que a do ponto B é 5 3, por isso temos que determinar o valor do maximizante e do minimizante. Comecemos por determinar a expressão analítica da derivada g (x) = x + = 1 senx ( ) x 0 5 g (x) = 1 senx g(x) = x + ր Máx ց mín ր Cálculo auxiliar: 1 5 g (x) = 0 1 senx = 0 senx = x = + k x = + k,k Z Como x [ 0, ] então os únicos zeros de g são 5 x = x = O máximo relativo é 3 g = + cos = + = Professora: Rosa Canelas 3 Ano Letivo 011/01

4 O mínimo absoluto da função é g = + cos = = O contradomínio de g é D g =, +, porque o mínimo absoluto é g = e o máximo absoluto é ( ) g = + cos = Consideremos a recta tangente ao gráfico de g no ponto A. Atendendo à interpretação geométrica do conceito de derivada de uma função num ponto, podemos concluir que o declive da recta tangente ao gráfico de g no ponto A é igual a zero, pelo que uma equação desta recta é recta é y =. Com recurso às capacidades gráficas da calculadora, podemos obter o gráfico de g, parte da recta de equação y =, bem como um valor aproximado da abcissa pedida: Conclusão: a abcissa do ponto C é aproximadamente 3,8.. Na figura está representado um quadrado [ ABCD ], de lado 1. O ponto E desloca-se sobre o lado [ AB ], e o ponto F desloca-se sobre o lado [ AD ], de tal modo que se tem sempre AE = AF. Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC x, 4. Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, resolvamos as três alíneas seguintes:.1. O perímetro do quadrilátero [ CEAF] é dado, em função de x, por h(x) = + pois: tgx sen x - Os triângulos rectângulos [ FCD ] [ EBC ] são geometricamente iguais pois têm um ângulo geometricamente igual (o ângulo recto) e como [ ABCD] é um quadrado e AE BE = DF e CB = DC. Logo CE = FC. = AF então - O perímetro pedido é o perímetro da zona que se encontra a sombreado pelo que: Professora: Rosa Canelas 4 Ano Letivo 011/01

5 h(x) = EC + EA = EC + ( 1 EB) Como o triângulo [ EBC] é rectângulo podemos escrever que: CB 1 1 senx = senx = CE = e CE CE senx CB 1 1 tgx = tgx = EB = EB EB tgx Então 1 1 h(x) = + 1 tgx senx = + tgx senx.. Sabemos que Quando x tende para lim h(x) = lim + = + = 4 0 = 4 tgx sen x + 1 x x significa que o ponto E se desloca para B e F para D. O quadrilátero tende a coincidir com o quadrado [ ] para o perímetro do quadrado que é Comecemos por determinar h. ABCD pelo que o seu perímetro vai tender h (x) = + = + = + = tgx sen x tgx sen x tg x sen x tg x sen x = = sen x sen x sen x Temos que h (x) > 0 para qualquer x, 4 pelo que a função é crescente. 3. Considere a função f, de domínio ], [, definida por Sem recorrer à calculadora, resolva as três alíneas seguintes. f(x) = Estude a função quanto à existência de assímptotas do seu gráfico. Assímptotas verticais: 1 lim f(x) = lim = = x + x + + vertical do gráfico. 1 lim f(x) = lim = = x x + do gráfico. Como a função f é contínua em ], [ verticais., pelo que a recta de equação x = é assímptota, pelo que a recta de equação x = é assímptota vertical então o gráfico de f não tem outras assímptota Professora: Rosa Canelas 5 Ano Letivo 011/01

6 O gráfico de f não tem assímptotas não verticais, uma vez que o domínio de f é limitado. 3.. Mostre que a função f tem um máximo e determine-o. 1 1 senx 1 senx f (x) = 1 = = ( ) ( ) ( ) ( ) senx senx + senx senx = = ( 1+ ) ( 1+ ) ( 1+ ) senx f (x) = 0 = 0 senx = 0 Como x ], [ ( ) ( ) ( ) concluímos que a função tem apenas um zero quando x = 0 x 0 f (x) n.d n.d. Max. f(x) n.d. ր 1 f(0) = ց n.d. n.d. não definida A função f tem um máximo, que é igual a Na figura está representada, em referencial o.n. xoy, uma parte do gráfico da função f. A área do trapézio é dada por B + b A = h. Na mesma figura está representado um trapézio OPQR. [ ] O ponto O é a origem do referencial, e os pontos P e R pertencem aos eixos Ox e Oy, respectivamente. Os pontos P e Q pertencem ao gráfico de f. Sabendo que o ponto R tem ordenada 1 3, determinemos a área do trapézio. Necessitamos de determinar a abcissa de P, pois será o comprimento da base maior. f(x) = 0 = 0 x ], [ = 0 x ], [ x = x = 1+ Como x > 0 concluímos que a abcissa do ponto P é. O comprimento da base menor do trapézio é a abcissa do ponto Q. Como a ordenada do ponto Q é 1 3 tem-se: Professora: Rosa Canelas Ano Letivo 011/01

7 1 1 f(x) = = x, 3 = 1+ x, ] [ ] [ 1 = 1 x ], [ = x ], [ x = x = 3 3 Como a abcissa de Q é positiva é Por isso, a área do trapézio 3 = = = Professora: Rosa Canelas 7 Ano Letivo 011/01