Nome do aluno: N.º: Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas:

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Edson Prada
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1 Teste de Matemática A 018 / 019 Teste N.º 1 Matemática A Duração do Teste (Caderno 1+ Caderno ): 90 minutos 11.º Ano de Escolaridade Nome do aluno: N.º: Turma: Este teste é constituído por dois cadernos: Caderno 1 com recurso à calculadora; Caderno sem recurso à calculadora. Utilize apenas caneta ou esferográfica de tinta indelével, azul ou preta. Não é permitido o uso de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma inequívoca aquilo que pretende que não seja classificado. Escreva de forma legível a numeração dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis ou que não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas uma resposta. Se escrever mais do que uma resposta a um mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lugar. As cotações encontram-se no final do enunciado da prova. Para responder aos itens de escolha múltipla, não apresente cálculos nem justificações e escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra que identifica a única opção escolhida. Na resposta aos itens de resposta aberta, apresente todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente sempre o valor exato.

2 CADERNO 1: 45 MINUTOS É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.

6,3 (C) 6,8 (D) 7,3. Na figura, o triângulo [AAA] é retângulo em A e A pertence ao lado [AA]. Sabe-se ainda que: AA = 4 cm AA A = 30 AA A = 50 Determine a medida da área do triângulo [AAA].

3 1. Considere os triângulos [AAA] e [AAA] da figura. Sabe-se que: AA = 6 AB = BA = BA = 4 AA = 3 O valor de AA, considerando nos cálculos intermédios, sempre que necessário, aproximações com três casas decimais, é aproximadamente igual a: (A) 5,8 (B) 6,3 (C) 6,8 (D) 7,3. Na figura, o triângulo [AAA] é retângulo em A e A pertence ao lado [AA]. Sabe-se ainda que: AA = 4 cm AA A = 30 AA A = 50 Determine a medida da área do triângulo [AAA]. Apresente o resultado arredondado às milésimas. Se, em cálculos intermédios, proceder a arredondamentos, conserve, no mínimo, cinco casas decimais. 3. Seja α um número real. Sabe-se que α é uma solução da equação cos x = 3 4. Considere as seguintes expressões: (I) π +α (II) 3π α (III) π + α (IV) π α Qual ou quais das expressões acima designa uma solução da equação sen x = 3 4? (A) I e IV (B) II (C) II e III (D) IV

4 4. Na figura está representada, num referencial o.n. OxO, a circunferência trigonométrica. Sabe-se que: a reta r é definida pela equação x = 1; o ponto A está no quarto quadrante e pertence à circunferência; o ponto A é a interseção do prolongamento da semirreta OA com a reta r; o ângulo de amplitude α tem por lado origem o semieixo positivo Ox, por lado extremidade a semirreta OA e sentido negativo α π, 0 ; os pontos A e A são, respetivamente, as projeções ortogonais de A e A sobre o eixo OO; o ponto A tem coordenadas (1, 0) Mostre que a área do trapézio [AAAA], representada a sombreado, é dada em função de α por A(α) = 1 tgα sen α. 4.. Recorrendo à calculadora gráfica, determine o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) a área do trapézio [AAAA] é igual à área do setor circular de ângulo ao centro AOA. Na sua resposta: equacione o problema; reproduza, num referencial, o gráfico da função ou os gráficos das funções que visualizar na calculadora e que lhe permite(m) resolver o problema; apresente o(s) valor(es) de α com aproximação às centésimas Suponha que β é tal que π < β < 0 e sen π + β = 3. Determine o valor exato de A(β). FIM DO CADERNO 1 COTAÇÕES (Caderno 1) Item Cotação (em pontos)

5 CADERNO : 45 MINUTOS NÃO É PERMITIDO O USO DA CALCULADORA.

6 5. Seja θ um valor pertencente ao intervalo 3π, π. Qual das expressões seguintes designa um número real negativo? (A) sen θ cos θ (B) sen θ tg θ (C) cos θ + tg θ (D) tg θ cos θ + sen θ 6. Determina o valor exato da expressão seguinte: sen π 9 sen 7π + cos(018π) 3 tg 11π 6 + cos 3π 4 + cos π 9 7. Seja f a função, de domínio R\{x: x = π + kπ, k Z}, definida por: f(x) = sen x cos x 4 cos x Prove, para todo o x onde a igualdade tem significado, a seguinte igualdade: f(x) = 4sen x + sen x + cos x Determine, no intervalo ] π, 3π[\{π}, os valores de x tais que f(x) = Sabendo que sen x + cos x = 1 e x R\ x: x = π + kπ, k Z, determine o valor de tg x. 9. Considere a função f, de domínio A e contradomínio, 1, definida por f(x) = cos x. Qual dos conjuntos seguintes pode ser o conjunto A? (A) π 4, π 6 (B) π 4, π 6 (C) 0, π 6 (D) π 4, π

7 10. Qual é o valor de arcsen 3 + arccos 1? (A) π 3 (B) 0 (C) π 3 (D) π Resolva, em [0, π], a seguinte condição: cos x > 3 sen x 1 FIM DO CADERNO COTAÇÕES (Caderno ) Item Cotação (em pontos)

8 TESTE N.º 1 Proposta de resolução Caderno 1 1. Opção (B) Pela lei dos cossenos, sabemos que: 4 = cos (FB D) Logo: 16 = cos FB D 1 cos FB D = 3 cos FB D = 1 4 FB D = arccos 1 4 ou seja: FB D 1,83 Então: CB A π 1,83 1,319 Novamente, pela lei dos cossenos, vem que: AC = cos (CB A) Logo: AC = cos (1,319) ou seja: AC = 40,041 Daqui se conclui que: AC 6,3. Consideremos o triângulo [ADC]: AD C = = 130 AC D = = 0 Aplicando a lei dos senos ao triângulo [ADC], vem que: Logo: sen(0 ) 4 = sen(30 ) DC DC = 4 1 sen(0 )

isto é: ou seja: DC = sen(0 ) DC 5,84761 Aplicando a lei dos senos ao triângulo [DBC], vem que: ou seja: sen(90 ) DC = sen(50 ) BC 1 5,84761 = sen(50 ) BC isto é: BC = sen(50 ) 5,84761 Daqui se

9 isto é: ou seja: DC = sen(0 ) DC 5,84761 Aplicando a lei dos senos ao triângulo [DBC], vem que: ou seja: sen(90 ) DC = sen(50 ) BC 1 5,84761 = sen(50 ) BC isto é: BC = sen(50 ) 5,84761 Daqui se conclui que: BC 4,47953 Assim, a área do triângulo [ADC] é igual a: AA BB = 4 4, ,959 u.a. 3. Opção (B) Sabemos que cosα = 3 4. Logo: sen π + α = cosα = 3 4 π + α não é solução da equação senx = 3 4. sen 3π α = cosα = 3 4 3π α é solução da equação senx = 3 4. sen(π + α) = senα e sen α = sen α = 7 7 senα = ± 16 4 π + α não é solução da equação senx = 3 4. sen(π α) = senα π α não é solução da equação senx = 3 4.

10 Sabemos que A(cos α, sen α) e B(1, tg α) e que cos α > 0, sen α < 0 e tg α < 0 A área do trapézio [ABCD] é igual a: BB+AA DC = 1+cosα ( tgα senα ) = = 1+cosα ( tgα + senα) = = 1 (1 + cosα)(tgα senα) = = 1 (tgα senα + cosαtgα senαcosα) = = 1 (tgα senα + senα senαcosα) = = 1 senα senαcos α cosα cosα = 1 tgα(1 cos α) = = 1 tgα sen α = 4.. A área do setor circular de ângulo ao centro EEA é igual a α. Pretendemos, então, determinar o(s) valor(es) de α para o(s) qual(is) 1 tgα sen α = α. Recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, vamos determinar o valor pretendido: y 1 = 1 tgα sen α y = α I(a, b) a 0,96 O valor pretendido com aproximação às centésimas é 0, Sabemos que sen π + β = 3, logo cosβ = 3 cosβ = 3. Pela Fórmula Fundamental da Trigonometria, tem-se que sen β + cos β = 1. Logo: ou seja: sen β = 5 9 sen β = senβ = ± 5 3

11 Como π Logo: < β < 0, então senβ = 5 3. tgβ = Daqui se conclui que A(β) = = = 5 Caderno 5. Opção (C) Se θ 3π, π, então θ pertence ao.º quadrante. Logo, senθ > 0, cosθ < 0 e tgθ < 0. Assim, concluímos que: senθ cosθ > 0 senθ tgθ > 0 cosθ + tgθ < 0 tt θ cosθ + senθ > 0 6. sen π 9 sen 7π + cos(018π) 3tg 11π 6 + cos 3π 4 + cos π 9 = = sen π 9 + cos π 9 sen 3π + cos(0) 3tg π 6 + cos 3π 4 = 1 = 1 ( 1) = = = = f(x) = senx+ cosx+1 + 4cosx 4 = = senx++4(cosx 1)(cosx+1) cosx+1 = senx++4(cos x 1) cosx+1 = senx++4( sen x) cosx+1 = 4sen x+senx+ cosx+1 = = =

$7.. Seja x pertencente ao domínio de f: f(x) = 0 4sen x + senx + = 0 senx = ± 4 4 ( 4) 8 senx = ±6 8 senx = 1 senx = 1 x = π + kπ x = π 6 + kπ x = 7π 6 + kπ, k Z Em ] π, 3π[ \{π} x = 5π 6 ou x = π 6$

12 7.. Seja x pertencente ao domínio de f: f(x) = 0 4sen x + senx + = 0 senx = ± 4 4 ( 4) 8 senx = ±6 8 senx = 1 senx = 1 x = π + kπ x = π 6 + kπ x = 7π 6 + kπ, k Z Em ] π, 3π[ \{π} x = 5π 6 ou x = π 6 ou x = π ou x = 7π 6 ou x = 11π 6 ou x = 5π 8. senx + cosx = 1 (senx + cosx) = 1 sen x + 4senxcosx + 4cos x = 1 sen x + cos x + 4senxcosx + 3cos x = 1 1 4senxcosx + 3cos x = 0 cosx(4senx + 3cosx) = 0 cosx = 0 4senx + 3cosx = 0 condição impossível em R\ x:x= π +kk,k Z Como x k + kk, k Z, então cosx 0. Logo, 4senx + 3cosx = 0. Ora 4senx + 3cosx = 0 4senx = 3cosx senx cosx = 3 4 tgx = Opção (B) Se π x π 3, então cosx 4 6 Se π x π, então cosx 1 4 6

Se 0 x π 3, então cosx 1 6 Se π x π, então 0 cosx 4

11. cos x > 3 0 x < π 6 0 x < π 6 senx 1 0 x π 11π 6

13 Se 0 x π 3, então cosx 1 6 Se π x π, então 0 cosx Opção (C) arcsen 3 + arccos 1 = π 3 + π 3 = π cos x > 3 0 x < π 6 0 x < π 6 senx 1 0 x π 11π 6 < x π 0 x π 6 5π 6 11π 6 < x π x π C.S. = 0, π 11π, π 6 6

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