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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A 11 O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II O Grupo I inclui quatro questões de escolha múltipla O Grupo II inclui seis questões de resposta aberta

2 Grupo I Os quatro itens deste grupo são de escolha múltipla Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item Não apresente cálculos nem justificações Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível 1 Um ângulo de amplitude π 19 radianos tem como lado extremidade o mesmo lado que o ângulo cuja amplitude, em radianos, é igual a: (A) π 11 (B) π 7 (C) 11π (D) 7π Qual das seguintes expressões designa um número real positivo, para qualquer x pertencente π ao intervalo,0? (A) sinx+ tanx (B) cosx tanx (C) tan x cosx (D) sinx cosx π Seja θ um número real pertencente ao intervalo 0, Sabe-se que θ θ= sin cos 1 Assim, o valor de ( θ+ θ) sin cos é: (A) 5 (B) (C) 1 (D) 1 4 Relativamente à figura ao lado, sabe-se que: o triângulo [ ABO ] é retângulo em B; o círculo representado é o círculo trigonométrico; α designa, em radianos, a amplitude do ângulo suplementar do ângulo AOB; AO = Qual é o valor de? (A) (B) (C) (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página

3 Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações que entender necessárias 5 Determine, usando intervalos de números reais, os valores de m para os quais é possível a condição: m 1 π cos α= α,π 9 Sem recorrer à calculadora, mostre que: π π π π cos tan sin sin = 4 Sugestão: Pode, se assim o entender, associar desenhos de círculos trigonométricos para justificar determinadas igualdades 7 Na figura ao lado está representado o triângulo equilátero [ABC] de lado igual a 4 unidades no qual foi inscrito um círculo de centro O Sabe-se, ainda, que [ OD ] é um raio desse círculo e [ ] [ ] Determine o valor exato da área da região sombreada OD AB π π 8 Considere α, = 1 4, tal que sin( π α ) π α Determine o valor exato de sin + tan( 4 π α ) 9 Prove que, sempre que as expressões têm significado, se tem: 1 sin( π α) cos( α) tan( π+ α) + = 1 tanα 10 Considere, num plano munido de um referencial ortonormado xoy, os pontos ( cos β,sinβ) (,0) B Seja d a distância entre os pontos A e B Mostre que d = 5 4cosβ A e Grupo I 5 Grupo II Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página

4 PROPOSTA DE RESOLUÇÕES Grupo I 1 19π 1 π = π= π π Portanto, um ângulo de amplitude π 19 radianos tem π π como extremidade o mesmo lado que um ângulo de amplitude, em radianos, π = 7 Resposta: (B) Para qualquer x pertencente ao intervalo π,0, tan < 0 x, sinx < 0 e cosx > 0, pelo que das quatro expressões apresentadas a única que representa um número positivo é cosx tanx Resposta: (B) sinθcosθ= 1 sinθcosθ= 1 ( ) sinθ+ cosθ = sin θ+ sinθcosθ+ cos θ= 1+ sinθcos θ 1 5 sin + cos = 1+ = Portanto, ( θ θ) Resposta: (A) 4 Temos que ( ) Assim, Resposta: (C) BO 1 cosπ α= = = AO = = = = = α cos m 1 π 5 Dado que cos α= α,π 9 Grupo II, então 0< 1, ou seja, m 1 0< 1 m 1> 0 m 1 9 m 1> 0 m 5 0 (1) 9 m 1= 0 m= 4 m = 4 e m 5= 0 m= 5 m = 5 Voltando a (1): m 1 0< 1 9 (] [ ] [) [ ] [ [ ] ] m 1> 0 m 5 0, 4 4, + 5,5 5, 4 4,5 m Portanto, [ 5, 4[ ] 4,5] Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 4

5 π π π π cos tan sin sin = 4 π π π π = cos π + π + + = tan 4 sin sin π π π π = + + = 1 cos tan sin 1 tan + = 4 4 = 1 1+ = 7 = o o OD OD DAO 0, pelo que tan( 0)= = OD= AD Assim, a área do círculo é igual a π 4 = π o CD CD Por outro lado, tan( 0)= = CD= AD 4 Assim, a área do triângulo [ ABC ] é igual a = 4 Portanto, a área da região sombreada é igual a 4 4 π π π 8 Sabemos que α, sin( π α) = 1 sinα= tal que sin( π α ) = 1 4 Por outro lado, α pode pertencer ao 1 o ou ao 4 o quadrante, mas sinα< 0, pelo que α pertence ao 4 o quadrante π sin α + tan( 4 π α ) = cos α + tan( α ) = cos α tan α Pela fórmula fundamental da trigonometria: α cos + = 1 = 1 = = = No entanto, α pertence ao 4 o quadrante, pelo que > 0, então = sinα 1 15 tanα= = 4 = = Voltando a (1): α α 15 = cos tan = + = π α = 0 Portanto, sin tan( 4 π α ) (1) Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página 5

6 1 1 sinπ α cos α tan π+ α+ = sinα tanα+ = tanα tanα 9 ( ) ( ) ( ) α α sin cos α α α α α α sin + cos = sin cos + = sin cos = sinα α α sin cos 1 sinα = sinα = = 1 sinα sinα 10 Utilizando a fórmula da distância entre dois pontos do plano: ( ) ( ) d= AB= cosβ + sinβ 0 = cos β 4 cosβ+ 4+ sin β= = 1 4cosβ+ 4= 5 4cosβ Se d = 5 4cosβ, então d = 5 4cosβ Proposta de teste de avaliação Matemática A, 11 o ano Página

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