Proposta de teste de avaliação

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1 Proposta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESCOLARIDADE Duração: 90 minutos Data: O teste é constituído por dois grupos, I e II. O Grupo I inclui cinco questões de escolha múltipla. O Grupo II inclui cinco questões de resposta aberta.

2 Grupo I Os cinco itens deste grupo são de escolha múltipla. Em cada um deles, são indicadas quatro opções, das quais só uma está correta. Escreva, na sua folha de respostas, apenas o número de cada item e a letra correspondente à opção que selecionar para responder a esse item. Não apresente cálculos nem justificações. Se apresentar mais do que uma opção, a resposta será classificada com zero pontos, o mesmo acontecendo se a letra transcrita for ilegível.. Considere a função f definida em R por f ( x) = cos x + sin( x π) π Qual das seguintes expressões também pode definir a função f? (A) cosx + sinx (B) sinx (C) cosx sinx (D) sinx.. Na figura estão representadas duas retas r e t num plano munido de um referencial ortonormado. A reta t tem 60 o de inclinação, interseta o eixo Ox no ponto C e é perpendicular à reta r no ponto B. Sabe-se, ainda, que a reta r interseta o eixo Ox no ponto A ( 6,0). Qual é a equação reduzida da reta r? (A) y = x + (B) y = x + (C) y = x + (D) y = x +. Na figura estão representados, em referencial ortonormado xoy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OBA]. Sabe-se que: os pontos A e B pertencem à circunferência; o segmento [AB] é perpendicular ao eixo Ox; o ponto P tem coordenadas (, 0) e a amplitude do ângulo POA é igual a π 6 radianos. Qual é o valor do produto escalar OA AB? (A) (B) (C) (D) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

3 4. Num certo problema de programação linear pretende-se minimizar a função objetivo definida por L = x + y. Na figura ao lado está representada a região admissível que corresponde ao sistema: 0 x 4 y 5 y x + Numa das opções está a solução desse problema. Identifique-a. (A) x = 0 e y = (B) x = e y = 0 (C) x = e y = (D) x = 0 e y = 5. Considere a função f, real de variável real, definida por f ( x) = + f x +. Quais são as equações das assíntotas ao gráfico de g? Seja g a função definida por g( x ) (A) x = e y = (B) (C) x = e y = (D) x = e y = 0 x = e y = 4x = + x. Grupo II Nas respostas aos itens deste grupo, apresente todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações que entender necessárias.. Considere as funções f e g, definidas em R, por cosx g x =... Determine uma expressão geral dos zeros de f. f x = cos x cosx e.. Determine os minimizantes de g que pertencem ao intervalo [ π,π[... Admita que os gráficos de f e g estão representados no mesmo referencial ortonormado xoy. Determine as abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página

4 . Na figura estão representadas, num referencial ortonormado xoy, parte do gráfico de uma função racional f, uma circunferência e uma reta r. Sabe-se que: a função f é definida por f ( x ) x = x 4 ; o ponto A é a interseção do gráfico de f com o eixo Ox; a circunferência passa no ponto A e tem centro no ponto de interseção das assíntotas ao gráfico de f; a reta r é tangente à circunferência no ponto A... Determine: a) as equações das assíntotas ao gráfico de f; b) as coordenadas do ponto A... Usando o produto escalar, determine a equação reduzida da reta r.. Na figura está representado, num referencial ortonormado Oxyz, o cubo [ABCDEFGH] de aresta 0. Sabe-se que: o ponto A pertence ao semieixo positivo Ox; o ponto B pertence ao semieixo positivo Oy; a face [ABCD] do cubo está contida no plano xoy; o ponto O é o centro da face [ABCD]... Escreva equações cartesianas da reta BG... Seja α a amplitude do ângulo IBG, onde I é o ponto médio do segmento de reta [ED]. Determine α, em radianos, com aproximação às centésimas. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 4

5 4. Fixado um referencial ortonormado do espaço, considere a reta r e o plano α definidos por: x y + z = 4 r: x y = α: x y + k z =, k R 4.. Escreva equações cartesianas da reta r. 4.. Determine o valor real de k de modo que a reta r seja paralela ao plano α. 5. Na figura ao lado estão representados, num referencial ortonormado xoy: parte do gráfico da função f definida por: f x = x + 4 as retas r e s, assíntotas ao gráfico de f; o triângulo [ACB], em que: A é o ponto de interseção das retas r ; B é o ponto de interseção da reta s com o eixo Oy; C é o ponto do gráfico de f de abcissa. 5.. Determine a medida da área do triângulo [ACB]. 5.. Determine os valores de x tais que f ( x ) 0. Apresente o conjunto-solução usando a notação de intervalos de números reais. 5.. Indique o valor dos seguintes limites: a) lim f ( x ) + x 4 b) lim f ( x ) c) x + lim x lim x 4 f x f x COTAÇÕES Grupo I Grupo II Total a).. b) a) 5.. b) 5.. c) Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 5

6 PROPOSTA DE RESOLUÇÕES Grupo I π f x = cos x + sin x π = sinx + sinx = sinx + sinx = sinx. Resposta: (D). Seja m t o declive da reta t e m o declive da reta r. r m t = tan60 = Dado que t e r são perpendiculares, então: mt mr = mr = mr = mr = Assim, a equação reduzida da reta r é da forma y = x + b, b R. Como A r e A ( 6,0), então: 0 = 6 + b b = Logo, a equação reduzida da reta r é Resposta: (D) y = x +.. OA AB = OA AB cos OA, AB π π A cos, sin, ou seja, A, e B 6 6,, logo AB =, ou seja, AB =. Desta forma, OA =, pois o raio do círculo trigonométrico é igual a unidade. π π π ( OA, AB ) = + = 6 π π π π Assim, OA AB = cos = cos = cos π = cos = Resposta: (B) 4. A região admissível é um pentágono. Os seus vértices têm coordenadas (0, ),(0, 5),(4, 5),(4, ) e (, ). Assim, as opções (A) e (B) são excluídas, porque os pontos de coordenadas (0, ) e (, 0) não pertencem à fronteira da região admissível. Relativamente às restantes duas opções, tem-se: Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 6

7 Resposta: (C) Opção x y L = x + y (C) L = + = 5 Solução ótima (valor mínimo) (D) 0 L = 0+ = 6 5. f ( x) 4x = + x Recorrendo ao algoritmo da divisão inteira de polinómios: 4x x 4x + f x = + + f x f x x = = x x Portanto, Logo, x = e y = 0 são as equações das assíntotas ao gráfico de f. Por outro lado, o gráfico de g pode-se obter a partir do gráfico de f pela translação de vetor u,. Então, gráfico de g. Resposta: (A) x = x = e y = 0+ y = são as equações das assíntotas ao Grupo II.. f ( x ) x x x ( x ) = 0 cos cos = 0 cos cos = 0 cosx = 0 cosx = 0 cosx = 0 cosx = x = π + kπ x = π + kπ x = π + kπ, k Z Portanto, uma expressão geral dos zeros de f é: π π π x = + kπ x = + kπ x = + kπ, k Z.. Determinemos o contradomínio da função g. x R, cosx x R, cosx x R, cosx Logo, [,] g x R, g x D =, pelo que é o mínimo da função g. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 7

8 Os valores de x que verificam a equação g( x ) = são os minimizantes de g. = x [ π,π[ cosx x [ π,π[ g x = [ [ cosx = x π,π [ π,π[ x = π + kπ, k Z x x = π Portanto, o único minimizante de g que pertence ao intervalo [ π,π[ é π... f x = g x cos x cosx = cosx ± 4 cos x cosx + = 0 cosx = cosx = cosx = x = kπ x = π + kπ x = π + kπ, k Z Portanto, as abcissas dos pontos de interseção dos dois gráficos são: = = π π x kπ x + kπ x = + kπ, k Z.. a) Usando o algoritmo da divisão inteira dos polinómios, temos: x x 4 x + 4 = + = + x 4 x Portanto, f ( x) f ( x) Logo, x = e y = são as equações das assíntotas ao gráfico de f. b) O ponto A pertence ao eixo Ox, logo tem ordenada nula. Por outro lado, sabemos que o ponto A pertence ao gráfico de f, pelo que: x f ( x) = 0 = 0 x = 0 x 4 0 x = x x = x 4 Logo, A,0... O ponto de interseção das assíntotas ao gráfico de f tem coordenadas (, ). Sendo C esse ponto, então tem de coordenadas (, ). Seja (, ) P x y um ponto genérico da reta r. Uma equação desta reta é AP AC = 0. Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 8

9 AP = P A = ( x, y),0 = x, y = =,,0 =, e AC C A Assim: AP AC = 0 x, y, = 0 x + y = 0 y = x Então, y = x + é a equação reduzida da reta r. 4.. Pelo Teorema de Pitágoras: AC = AB + BC Como AB = BC = 0, então Portanto, 0 AC = AC = 0, logo AC = 0. BD = e, consequentemente, B ( 0,0,0) e ( 0,0,0) Um vetor diretor da reta BG é BG (por exemplo). BG = G B = 0,0,0 0,0,0 = 0, 0,0 O ponto B ( 0,0,0) pertence à reta BG, logo cartesianas da reta BG. G. x y 0 z = = são equações E ( 0,0,0) e D( 0, 0,0) I ( 5, 5,0). cos cos cos, ( IBG ˆ ) = ( α ) = ( BI BG) , pelo que I + +,,, isto é, BI = I B = ( 5, 5,0) ( 0,0,0) = ( 5, 5,0) BI = + + = + + = BG = G B = ( 0,0,0) ( 0,0,0) = ( 0, 0,0) BG = + + = + + = = = BI BG ( 5, 5,0) ( 0, 0,0) = 5 ( 0 ) + ( 5 )( 0 ) + 0 = = = 400 BI BG 400 cosα = cosα = BI BG Portanto, α 0,96 radianos. 400 cosα = cosα = cosα = 400 Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 9

10 4.. ( y ) x y + z = 4 + y + z = 4 4y + 6 y + z = 4 x y = x = y + x = y + z y = y + z = x = y + x = y Portanto: x = y = z x = y = z + x z + Assim, = y = são equações cartesianas da reta r. 4.. Seja r um vetor diretor da reta r e n um vetor normal ao plano α. r// α r n ( k ) ( k ) 0,,,, = 0 = k + = 0 k = k = Logo, k =. 5.. As retas r e s são definidas pelas seguintes equações: r: x = 4 s: y = Portanto, A( 4,) e ( 0,) B. Por outro lado, o ponto C pertence ao gráfico de f e tem abcissa, pelo que a sua ordenada é igual a f ( ). f ( ) = f ( ) = + 4 f = Logo, a medida da área do triângulo [ABC] é dada por: A [ ABC] ( ordenada de valor absoluto da ordenada de ) AB A + C = = 4 + = = 6 Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página 0

11 5.. Determinemos a abcissa do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo Ox. f ( x) = 0 = 0 = x + 4 x + 4 = + 4 x ( x ) = x + 4 x 4 x = 4 x x = x 4 x = Assim, a abcissa desse ponto é , 4, +. Portanto, f ( x) x ] [ 5.. a) lim f ( x ) + x 4 b) f ( x) c) = lim = x + x x 4 lim f x lim f x + = = Proposta de teste de avaliação Matemática A,. o ano Página